高数多元函数的微分法学习教案

1、会计学1高数多元函数的微分法高数多元函数的微分法第一页，编辑于星期三：七点 二十六分。( ( ),( )zftt 在点 t 可导, 则复合函数且有链式法则若定理中 偏导数连续减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立.定理 若函数( ),( ),utvt( , )zf u v 在点(u,v)处的偏导连续, 在 t 可导，vutt1. 链式法则第1页/共37页第二页，编辑于星期三：七点 二十六分。1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形. 例如,z第2页/共37页第三页，编辑于星期三：七点 二十六分。当它们都具有可微条件时, 有注意:这里zx

2、 zx 表示固定 y 对 x 求导,fx 表示固定 v 对 x 求导口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同, 3) 复合函数中自变量与中间变量共存时. 例如第3页/共37页第四页，编辑于星期三：七点 二十六分。解 uz vz注意：也可由z=exysin(x+y) ，直接对x、y求偏导。 注意两种方法的区别。z第4页/共37页第五页，编辑于星期三：七点 二十六分。而z=x2siny。求 xu yu 解： 例2 第5页/共37页第六页，编辑于星期三：七点 二十六分。解zt注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技

3、巧与常用导数符号.第6页/共37页第七页，编辑于星期三：七点 二十六分。2. 多元复合函数的高阶偏导数 通过例题介绍多元复合函数的高阶偏导数解令记同理有第7页/共37页第八页，编辑于星期三：七点 二十六分。于是第8页/共37页第九页，编辑于星期三：七点 二十六分。例6 设z=f(2x+y)+f (2x y，ysinx)，求zxy。解 zx =2f(2x+y) + f1 2 + f2 ycosxzxy = 2f (2x+y) +2(f11 (1) + f12 sinx)+ f2 cosx+ ycosx(f21 (1) + f22 sinx)= 2f (2x+y) f11+2 f12 sinx+

4、f2cosx y f21 cosx + y f22 sinxcosx第9页/共37页第十页，编辑于星期三：七点 二十六分。设z=f (u,v)具有连续的偏导数，则有 二、多元复合函数的全微分第10页/共37页第十一页，编辑于星期三：七点 二十六分。由此可见，不论z是自变量u、v函数，或是中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的，都是dvvzduuzdz 这个性质叫全微分形式的不变性。 利用这一性质，可求复合函数、隐函数的偏导数。第11页/共37页第十二页，编辑于星期三：七点 二十六分。解第12页/共37页第十三页，编辑于星期三：七点 二十六分。小结 本部分主要讨论了多元复合函数的求导法则。

5、 本节要求理解多元复合函数的概念；熟练掌握多元复合函数（特别是抽象函数）的一阶、二阶偏导数的计算。第13页/共37页第十四页，编辑于星期三：七点 二十六分。1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共37页第十五页，编辑于星期三：七点 二十六分。2y11f )(2yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共37页第十六页，编辑于星期三：七点 二十六分。1f 2f 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共37页第十七页，编辑于星期三：七点 二十六分。隐函数的求导公式1. 一个方程的情形三、 隐函数的求导公式第17页/共37页第十八页，编辑于星期三：七点 二十六分。这个定理

6、我们不证。现仅就公式作如下推导。 将方程所确定的函数y=f (x) 代入原方程 由于Fy 连续,且Fy(x0,y0) 0,所以存在(x0,y0) 的一个邻域,在这邻域内Fy0 ,于是得得恒等式 F(x，f (x)0，第18页/共37页第十九页，编辑于星期三：七点 二十六分。解令则第19页/共37页第二十页，编辑于星期三：七点 二十六分。第20页/共37页第二十一页，编辑于星期三：七点 二十六分。解令则yxFFdxdy 例2第21页/共37页第二十二页，编辑于星期三：七点 二十六分。第22页/共37页第二十三页，编辑于星期三：七点 二十六分。由于 F(x，y，f (x ，y)0， 将上式两端分别

7、对x和y求导，应用复合函数求导法则得 因为Fz连续,且Fz(x0,y0,z0)0 ，所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内Fz0 ,于是得第23页/共37页第二十四页，编辑于星期三：七点 二十六分。解令则,2xFx 第24页/共37页第二十五页，编辑于星期三：七点 二十六分。 例4 设(u，v) 具有连续的偏导数，证明由方程 (cxaz，cybz)=0 确定的函数z=f (x,y) ，满足 方程的两端对x 求导有 证明 方法一 利用复合函数求导法则可得 第25页/共37页第二十六页，编辑于星期三：七点 二十六分。方程两端对y 求偏导有 可得 于是有 第26页/共37页第二十七页

8、，编辑于星期三：七点 二十六分。方法二 公式法 记(cxaz，cybz)=F (x，y，z)，则Fx=cu，Fy=cv，Fz=aubv 所以 第27页/共37页第二十八页，编辑于星期三：七点 二十六分。方法三 利用全微分形式的不变性移项 cudx+cvdy=(au+bv)dz所以 于是 . cyzbxza d(cxaz，cybz)=ud（cxaz）+vd(cybz) =u(cdx-adz)+v(cdy-bdz)=0 第28页/共37页第二十九页，编辑于星期三：七点 二十六分。2. 方程组的情形第29页/共37页第三十页，编辑于星期三：七点 二十六分。第30页/共37页第三十一页，编辑于星期三：七点 二十六分。第31页/共37页第三十二页，编辑于星期三：七点 二十六分。解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对 求导并移项x第32页/共37页第三十三页，编辑于星期三：七点 二十六分。将所给方程的两边对 求导，用同样方法得y第33页/共37页第三十四页，编辑于星期三：七点 二十六分。注从中解出第34页/共37页第三十五页，编辑于星期三：七点 二十六分。解