多元函数的极限与连续习题精品资料

1、多元函数的极限与连续习题1. 用极限定义证明 : lim (3x2 y)14 。x 2 y 12. 讨论下列函数在（ 0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（ 1） f (x, y)xy；xy(2)f ( x, y)(x11y)s i n s i n ；xy(3)f ( x, y)x3y3x2；y(4)f ( x, y)1。y s i nx3.求极限 （ 1） lim ( x2y2 )x 2 y 2；x0y0（2） limx2y2；22x01xy1y0（3） lim (xy)sin1；y2x0x2y0（4） limsin( x2y2 )。x2y2x0y0试证明函数 f (

2、x, y)ln(1xy)x0 在其定义域上是连续的。4.xyx01. 用极限定义证明 : lim (3x22 y) 14 。x2y1因为x2,y1，不妨设 | x2 |0, | y1| 0，有 | x2 | | x24 | | x2 |45 ，|3x22y14 | | 3x2122y2 |3| x2 | x2 |2 | y1|15| x2 |2 | y1|15| x2 | y1|0 ，要使不等式| 3x22y14 | 15| x2 | y1|成立取min,1 ，于是300 ，min ,10， (x, y) ： | x 2 | , | y 1|30且 ( x, y)(2,1) ，有 |3x22

3、y14 | ，即证。2. 讨论下列函数在（ 0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。xy（ 1） f (x, y)；xylim limx y， l i ml i mx y1，1x 0 y 0 x yy 0 x 0 x y二重极限不存在。或lim xy0 ， l i mxy1 。x0 xyx0 xy3yxy2 x(2)f ( x, y)(xy)sin 1 sin 1；xy0 | (xy) sin 1 sin 1| x | y |xy可以证明lim (|x|y|)0所以limfx y) 0。x0( ,x0y0y0当 x1， y0时， f (x, y)(x y) sin 1 si

4、n1 极限不存在，kxy因此lim lim (x11y) s i n s i nx 0 y 0xy同理l i ml i m(x11y) s i n s i ny 0 x 0xy不存在，不存在。(3)x3y3f ( x, y)2；xylim f ( x, y)lim 2x30，x0x 0 x2xy x当 P(x, y)沿着 yx2x3 趋于（ 0,0）时有x3(x3x2 )3，l i m f ( x, y) l i m2x3x21x0x0 xyx2x3所以lim f (x, y) 不存在；x 0y 0lim lim f (x, y) 0， l i ml i m ( , ) 0 。f x yx0

5、y0y0 x01(4)f (x, y)y sin0 | ysin 1 | | y | xlim f (x, y)0，x 0y 0l i ml i my s i n10 ，l i ml i mys i n1不存在。x 0 y 0xy 0 x 0x3. 求极限（1） lim ( x2y2 ) x 2 y 2；x0y00 | x2 y2 ln( x2y2 ) |(x2y2 )2| ln( x2y2 ) |，4又 lim ( x2y2 )2ln( x2y2 )limt 2ln t0 ，x04t04y0y 2 ) x2 y2limx2 y 2 ln( x 2 y 2 )lim (x2e( x, y )(

6、0,0)1。x0y0（2） limx2y2；22x01 xy1y0limx2y2(x2y2 )( 1 x2y21)22lim222。x 01 xy1x01 x y 1y 0y 0（3） lim (x1；y)siny2x0x2y0| ( x y) sin12 | | xy |，x2y而 l i m(xy)0x0y0故 l i m(xy) s i n10。2y 2x0xy0sin( x2y2 )。（4） limx2y2x0y0令 x r cos， yr sin，( x, y)(0,0) 时， r0 ，limsin( x2y 2 )lim sin r 21 。x0x2y2r0r 2y0试证明函数 f

7、 ( x, y)ln(1xy)x0 在其定义域上是连续的。4.xyx0证明：显然 f(x, y)的定义域是 xy>-1.当 x0 时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y 轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（ 1） 在原点（ 0,0）处f(0, 0)=0,当 x0 时f ( x, y)ln(1xy)01y0,xy ln(1xy)xyy01由于l i ml n1( xy) xy1x0y011不妨设| l n1(xy) xy1 |1，| l n1(xy) xy| 2，从而0 ， 取2，当 0 | x |, 0| y |时，| ln(1xy)10 | yln(1xy) xy |x1| y | ln(1xy) xy |2 | y |，于是，无论 x0,x0 ，当 | x |, | y |时，都有limf (x, y)0f(0,0)x0y0（ 2） 在 (0, y) 处。（ y0)1当 x0时，|f( ,)f(0,y) | |yln(1xy) xyy|x y1| y( l n1(xy) xy1)( yy) |1| y | ln(1xy) xy1 | yy |当 x=0 时,| f ( x