多元复合函数求导法则

1、精品文档§4 多元复合函数的求导法则【目的要求】1 、掌握多元复合函数及几种特殊复合函数的求导法则；2 、理解全导数的概念；3 、会利用多元函数的一阶全微分形式不变性求偏导数【重点难点】各类型复合函数求导公式及计算；各变量之间的复合关系【教学内容】在第二章中，我们学习了一元函数的复合函数求导，现将一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，按照多元函数的不同复合情形，分三种情形讨论 .一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形.定理 4.1如果函数 u(t ) 及 v(t) 都在点 t 可导，Z且函数 zf (u , v) 在对应点 (u , v) 具有连续偏导数，则复合函数 zf

2、(t),(t) 在点 t 可导，且其导数为dzz duz dv 。dtu dtv dt证设 t 取得增量t ,这时 u(t) ， v(t) 的对应增量为utv图 4-25u ,v ,函数zf (t),(t ) 相应地获得增量z .由于函数 zf (u,v) 可微 ,所以有z可以表示为随意编辑精品文档zzuzo()uvv其中( u) 2( v) 2 .将上式两端同除以t,得zzuzv o()tutvtt由于 u(t ) ,v(t ) 在点 t 可导 ,所以当t0 时, u0 ,v 0 ，从而0 ,并且有udu,vdv .tdttdt于是lim o( )22lim0o()limo()uv0 ,tt

3、t0tt0tt所以limzz duz dv 。t0tu dtv dt这就证明了复合函数zf (t ),(t)在点 t 可导 ,且公式成立 .导数 dz 称为全导数dt同理，我们可以把定理推广到对于中间变量多于两个的复合函数情形。例如，若 zf (u,v, w) ， u(t) ， v(t) ， ww(t) 复合而的复合函数zf(t ),(t), w(t )满足定理条件，则有全导数公式dzz duz dvz dw 。dtu dtv dtw dt例 1设函数 ux y ，而 xet ， ysin t ，求全导数 du dt解duu dxu dyyx y 1etx y ln x costet sin

4、t (sin t t cost) dtx dty dt例 2设 z arctan(xy) ，xt， yet ，求 dz。dt t0随意编辑精品文档解由dzz dxz dyy1xt，dtx dty dt 122exy1 xy以及当 t0 时， x0， y1 ，可得 dz1。dt t 0二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 4.2 若 u( x, y) 及 v( x, y) 在点 ( x, y) 具有对 x 、 y 的偏导数，而函数 zf (u,v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数，则复合函数 z f ( x, y), ( x, y)在点 ( x, y) 两个偏导数存在，且有zzu

5、zv ；xuxvxzzuzv 。yuyvy例 3设函数 zu v ，而 uxy ， v x y ，求 z和 z xy解zz uz vvuv 1 y u v ln uxu xv xy( xy)( xy) xy 1( xy)x y ln( xy )zz uz vvuv 1x uv ln uyuyvyx(xy)( xy) xy 1( xy) x y ln( xy) 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复uxZ合关系图如下：vy首先从自变量 z 向中间变量u, v 画两个分枝，然后图 4-26再分别从 u, v 向自变量 x, y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数求z （ z ）时，我们

6、只要把从 z 到 x （或 y ）的每条路径xy随意编辑精品文档上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到zzuzv ，（zzuzv ）xuxvxyuyvy类似地，对于中间变量多于两个的复合函数情形，有同样的结论。例如，设函数 u( x, y) ， v( x, y) ， ww( x, y) 都在点 ( x, y) 有对 x 、 y 的偏导数，而函数 zf (u, v, w) 在对应点 (u,v, w) 偏导数连续，则复合函数zf( x, y),( x, y), w(x, y)在点 ( x, y) 的两个偏导数存在，且有zzuzvzw ；xuxvxwxzzuzvzw yuyvywy三、复合函数的

7、中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理 4.3设函数 u(x, y) 具有偏导数，而函ux数 z f (u, x, y) 可微，则复合函数 zf ( x, y), x, y 在Zxy点 (x, y) 偏导数存在，且有公式zfuf；yxuxxzzuf图 4-27yuyy特别要强调的是，z 与f有很多的区别：z 是把函数 f( x, y), x, y 中的xxxy 看成常数，对 x 求偏导， f是把 f (u, x, y) 中 u, y 看常数，对 x 求偏导前者是x复合后对 x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数由此可见，多元复合函数微分法的关键在于区分清楚函数结构中哪些是中间变量，哪些

8、是自变量。随意编辑精品文档对于抽象函数的复合函数的求偏导数问题，如函数 zf (x sin y, exy ) ，z 是因变量， x, y 是自变量。若设中间变量ux sin y, vexy ，则在这个函数关系中，中间变量 u, v 与自变量 x, y 的函数关系 f 没有具体给出，这就是“抽象”的意义。这样的函数求偏导数时， 要按复合函数求偏导数公式计算，但是最后结果中， 因变量 z 对中间变量 u 和 v 的偏导数只能以“抽象”的形式出现。例 3设 zf ( xsin y,exy ) ,其中 f具有连续偏导数 ,求 u和 u .xy解 设 ux sin y,vexy ,则zzuzvsin y

9、fuyexy fvx uxvxzzuzvx cos yfuxexy fvyuyvy例 4设函数 uf (x, y, z)ex2y 2z2，而 zx 2 sin y ，求 u 和 u xy解uffzx2 y2 z2x2y2z22xsin yxxzx2xe2ze2x(12x2sin2y) ex2y2x4 sin 2 yuffz2ye x2y2 z 22zex 2y2z2x 2 cos yyyzy2( yx 4 sin y cos y)ex2y 2 x 4 sin 2 y 若函数 zf (u, v) ， u( x, y) ， v( x, y) 二阶偏导数连续，则复合函数z f (x, y),( x,

10、 y) 存在二阶偏导数记号 f112 z2， f 122 z ， f 212 z ， f 222 2z uu vv uv例 5设复合函数 zf (2x 3y, x ) ，其中 f (u, v) 对 u, v 具有二阶连续偏导y2数，求z x y随意编辑精品文档解设 u2x3y ， vxyzz uz v2 f11 f2xu xvxy2 zy(2 f 11 f 2 )2 f1y( 1 f2 )x yyyy2( f 11 3f 12 (x2)12 f21 ( f 2 3f 22 (x2 )yyyy6 f11x3 f223 yy22x f 1212 f 2 yy四、全微分形式不变形设函数 zf (u,

11、 v) 具有连续偏导数，则全微分dzz duz dv，uv若函数 u( x, y) ， v(x, y) 有连续偏导数，则复合函数 z f ( ( x, y), ( x, y)的全微分为dzz dxz dyxy(zuzv)dx( zuzv )dyuxvxuyvyzudxuy)zvxv y)(xd(xdduyvyz duz dv uv可见无论 z 是自变量 x, y 的函数或中间变量u, v 的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性例 6利用全微分形式不变性求微分dzd( eu sin v) ，其中 uxy ，vxy 随意编辑精品文档解因为 dzd(eu sin v)eu sin vdueu cosvdv又因为 du d( xy)ydxxdy ， dvd( xy)dx dy ，所以dz eusinvy x x y)euv(dxy)(ddcosd(e