大学物理力学作业分析(4)精品资料

1、大学物理作业分析（四） （2007/04/22）4.1 一人从 10m深的井中提水，开始时桶中装有10kg 的水，由于水桶漏水，每升高1my要漏出 0.2kg 。忽略桶的质量，问此人要将水桶从井底匀速拉升到井口，需要做多少功。用变力做功计算。o设井中水面为坐标原点， y 轴竖直向上。依题意，当桶提升高度为y 时，桶中水的质习题 4.1 图量 mm00.2 y100.2 y 。匀速提升时，外力F mg (100.2 y) g ，故做功1010A0 Fdx0(100.2 y) gdx 882 J4.5 设两粒子之间的斥力fk / r 3 ，式中 k 为常数， r 为两粒子之间的距离。试求两粒子相距

2、为 r 时的势能。设 f =0 的状态为势能零点。空间某点的势能E p (r ) 等于保守力从该点（r）到零势能点 ( r0 ) 的积分， E pr0(r )F drr本题要求将零势能点设置在Fk0 处，即 r，故E p (r )kk30r r 3dr2r2r注：以上两题做得很好！4.8 长 l 的绳一端固定， 另一端系一质量为 m 的小球，如图 4-21 所示。今小球以水平速度 v05 gl从 A 点抛出，在竖直平面内作圆周运动，由于存在空气阻力，小球在C 点 (90 ) 脱离圆轨道，求阻力所做的功。将小球与地球视为一个系统。在小球由A 至 C 的运动过程中，系统受空气阻力作用，根据功能原理

3、，空气阻力做的功等于系统机械能的增量，即A E cE A 。取 A 点为重力势能零点，有A Ec12mgR(1cos )12cE Amvc2mv02在 C 点时，小球脱离圆轨道，绳松驰，拉力T0 ，应有mg cosvc2voml3 mgl (cosA联立求解、式，得：A1)习题 4.8图2注：此题很多同学计算结果出错！4.10 如图 4-22所示，弹簧下面悬挂着质量分别为m1 、 m2 的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把m1 与 m2 的联线剪断后，m1 的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数k 8.9N/m ， m1 500g ， m2 300g 。本题研究的是剪断m1 与 m2 间连

4、线后的情况。将 m1、弹簧、地球构成一系统，该系统不受外力作用，内部没有非保守力做功，机械能守恒。取剪断连线的瞬间为初态，速率最大时为末态，弹簧为原长时作为弹性势能和重力势能的零点，则初态时弹簧形变x1 ，且k xm gmg1112末态时因速率要达到最大（动能最大），必是势能0EP (x2 )12m1 gx2为最小。令dE Pkx2m1 g 0 ， 解 得 在x2kx2dxmlml2x1x2m1 g 处 EP 有极小值，即m1 在 x2m1 g 处速率最大，根据机械能守m2kkx恒 E1E2 ，有1 kx122m1 gx21 m1v2m1 gx11 kx2习题 4.10 图222将 x1 及

5、x2 代入上式，解得：v10.3 9.811.40m / sm2 g0.58.9m1k注：此题做得很好！4.13 一质量 m 2.0g 的子弹，以水平速度 v1 500m/s 飞行，射穿一个用轻绳悬挂的冲击摆，穿出后的子弹速度 v2 100m/s ，如图 4-24 所示。设摆锤质量 M=1.0kg ，求摆锤能够上升的最大高度( 取 g=10m/s2) 。可将整个过程分解为两个分过程：（）子弹与摆的碰撞过程。将子弹和摆构成一个系统，系统水平方向动量守恒。设子弹射出摆后，摆以速度V 开始运动，有m1v1m1v2m2V（）摆的上升过程。将摆与地球构成一个系统，系统机械能守恒。设摆在竖直位置处为初态，

6、此时速度 V，摆上升到最大高度h 处为末态，此时速度为零，1 m V 2mgh222联立求解、式，可得摆上升的最大高度m12 ( v1v2 ) 2(210 3)2( 500 100) 2102mh2m22 g2 1.02103.24.15 测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定在弹簧上的木块中，由弹簧压缩的距离就可求出子弹的速度， 如图 4-26所示。已知子弹的质量 0.02kg ，木块质量8.98kg ，弹簧的劲度系数 100 N m1 ，子弹射入木块后，弹簧被压缩10.0cm ，求子弹的速度。设木块与平面间的摩擦因数为0.20 。将问题分解为两个过程讨论：( ) 子弹射入木块过程。这

7、是子弹与木块的完全非弹性碰撞，将子弹与木块构成一个系统，系统动量守恒。设子弹的初态速度为v0 ，碰后子弹与木块的共同速度为v，有m1 v0(m1m2 )v( ) 弹簧压缩过程。 将子弹、 木块、 弹簧构成一系统， 有摩擦力 f( m1m2 ) g 做功，根据功能原理，摩擦力的功等于系统机械能的增量，(m m)gx1 kx 21 (m m)v2122122联立求解、式，可得子弹的初速度v01(m1m2 ) 2 (m1m2 ) gkxxm11( 0.02 8.98)20.2(0.02 8.98) 9.8 100 0.10.13 1 9m / s0.024.17一框架质量为 200g，悬挂在弹簧上，

8、使弹簧伸长了10cm，另有一块粘性物质质量为 200g，从框架底面上方30cm高处自由落下，粘在框架底盘上，见图 4-28 。试求框架向下移动的最大距离。将问题分解为三个分过程讨论( )粘性物质 m1 从 h 高度处自由下落至框架面上，v2 gh( ) 粘性物质 m1 与框架 m2 发生完全非弹性碰撞，撞后共同的速度为V ，根据碰撞过程动量守恒，m1v(m1m2 )V( ) 碰后的运动。将粘性物质m1，框架 m2，弹簧和地球看作一个系统，系统无外力和非保守内力做功，机械能守恒。设m1、m2 开始以速度 V 运动时为初态，此时弹簧伸长x0 ，m2 g kx0弹簧最大伸长 x 时为末态，此时二物体

9、速度为零。 取弹簧的原长为弹性势能和重力势能零点，由机械能守恒，有1mm V 21 kx2mm2 )gx1 kx2(mm )gx(12 )20( 101222弹簧最大下移sx x0联立求解式，得s30 cm注：以上三题有少数同学计算过程对了但结果不对，！4.20 图 4-30 为卫星绕地球运转的示意图，若分别用 m 和 M 表示卫星和地球的质量，v1 和 v 表示卫星在近地点和远地点的速率，关于v1 和 v2 的关系，以下3 个方程中哪些是正确的？(1)角动量守恒mv1r1mv2r2(2)机械能守恒1mv12G mM1mv22G mM2r12r2(3)牛顿第二定律mMv2,GmMv2Gm 1r

10、 2m 2r 2r1r212(1) 正确。卫星在椭圆轨道上运动时，所受地球的万有引力对地心的力矩为零，根据角动量守恒定律，卫星对地心的角动量应守恒。(2) 正确。将卫星与地球构成一系统，系统只有万有引力做功，万有引力是保守力，故系统机械能守恒。v 2和v2(3) 不正确。 两式的右侧含有法向加速度，分别用12 表示， 式中分母的 r 、r应r1r 212分别为在近地点和远地点时椭圆轨道的曲率半径1和2 ，而不是图上标出的r1和 r 2 ，r11 r22 。注：此题第三问做得不好！4.21在光滑的水平面桌面上，有一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定于O点，另一端连结一质量为 M的木块， 处于静止状

11、态。 一质量为 m的子弹， 以速度 v0 沿与弹簧垂直的方向射入木块，与之一起运动，如图4-31 所示。设木块由最初的A点运动到 B 点时，弹簧的长度由原长 l0 变为 l ，求 B 点处木块速度v 的大小和方位角。将问题分解为两个分过程讨论：( ) 子弹射入木块。将子弹与木块看作一个系统，碰撞过程动量守恒。设碰后速度为v1,m2v0 ( m1 m2 )v1( ) 碰后从 A 运动到 B。在碰后的运动过程中， （ m1m2 ）作为一个整体，水平面上只受弹簧的弹力作用，弹力指向 0 点，对 0 点的力矩为零，故子弹、木块系统对 0 点的角动量守恒，(m1 m2 )v1l 0( m1m2 )vl sin再将 m1、 m2 及弹簧看作一个系统，系统无外力和非保守内力做功，机构能守恒，1 (m1m2 )v12 1 (m1m2 ) v2 1 k (l l 0 )2222联立求解式，得：v1222arcsinl 0 m2 v0m2m2 v0k(m1 m2 )(l l 0 )m12v02k( m1m2 )( l l 0 )2m2注：很多同学不会求方位角4.22 A、 B粒子之间有万有引力作用， B固定不动， A 从远处以初速 v0 按图示轨道运动。在图 4-32 中 D和 A、 B的最近距离 d 均已知。求 A在离 B 最近点时的速率 v 和 B 的质量。将 A 、