SnS-第2章 线性时不变系统的时域分析(1)

1、信号与系统多媒体教学课件多媒体教学课件(第第2章章 Part 1)宁波大学信息科学与工程学院宁波大学信息科学与工程学院2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课2第第2章章 线性时不变系统的时域分析线性时不变系统的时域分析2.0 引言引言2.1 用微分用微分(差分差分)方程描述方程描述LTI系统系统2.2 LTI系统的时域响应系统的时域响应2.3 卷积积分卷积积分2.4 卷积和卷积和2.5 LTI系统性质系统性质2.6 LTI系统的框图表示系统的框图表示2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课32

2、.0 引言引言用用常系数常系数的的微分方程微分方程或是或是差分方程差分方程来描述来描述LTI系统的输入信号与输出信号之间的关系系统的输入信号与输出信号之间的关系两个重要基本概念：两个重要基本概念：零输入响应零输入响应和和零状态响零状态响应应LTI系统的性质：如果将输入信号用一组基本系统的性质：如果将输入信号用一组基本信号的线性组合来表示，那么输出信号就是信号的线性组合来表示，那么输出信号就是将这些将这些基本信号的响应加权叠加基本信号的响应加权叠加的信号。的信号。连续时间系统：连续时间系统：卷积积分卷积积分离散时间系统：离散时间系统：卷积和卷积和2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统

3、信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课42.0 引言引言卷积卷积：系统时域分析中的一个重要：系统时域分析中的一个重要方法，也是时间域与变换域分析线方法，也是时间域与变换域分析线性系统的一条纽带性系统的一条纽带方框图方框图：用倍乘器、加法器和积分：用倍乘器、加法器和积分器器(连续时间系统连续时间系统)或延迟器或延迟器(离散时离散时间系统间系统) 这几个基本运算部件通过框这几个基本运算部件通过框图的形式来描述一个具体的系统图的形式来描述一个具体的系统2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课5(2) :( )0KVLu t 2.1.1 用常系数微分

4、方程描述连续时间用常系数微分方程描述连续时间LTI系统系统根据基尔霍夫定律和元件的电压、根据基尔霍夫定律和元件的电压、电流特性关系来建立数学模型电流特性关系来建立数学模型(1) :( )0KCLi t (3) VCR: ( )( ) ( ) ( )( ) ) (RRLLccutRitditutLdtdu ti tCdt 2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课6N 代表阶数代表阶数 2.1.1 用常系数微分方程描述连续时间用常系数微分方程描述连续时间LTI系统系统如果组成系统的元件都是参数恒定的线如果组成系统的元件都是参数恒定的线性元件性元件(

5、且无储能且无储能)，则构成的系统是线，则构成的系统是线性时不变系统，方程是一性时不变系统，方程是一线性常系数常线性常系数常微分方程微分方程)()(00txdtdEtydtdCkkMkkkkNkk2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课72.1.1 用常系数微分方程描述连续时间用常系数微分方程描述连续时间LTI系统系统【例【例2-1】求图示求图示RLCRLC电路中电流电路中电流i(t)和电和电压压v(t)之间的关系之间的关系 i(t)RLCv(t)()(1)()(tvdiCtidtdLtiRt221( )( )( )( )dddLi tRi ti

6、 tv tdtCdtdt2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课82.1.1 用常系数微分方程描述连续时间用常系数微分方程描述连续时间LTI系统系统方程的求解方程的求解vv完全解完全解 = 齐次解齐次解 + 特解特解v齐次解对应于齐次方程，反映了系统的齐次解对应于齐次方程，反映了系统的“固有频率固有频率”(或或“自然频率自然频率”) v特解与激励有关特解与激励有关v待定常数待定常数Ai(i=1,n)由系统边界条件由系统边界条件(初始初始条件）决定条件）决定1( )( )iNtipiy tA eyt2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系

7、统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课92.1.1 用常系数微分方程描述连续时间用常系数微分方程描述连续时间LTI系统系统齐次解齐次解v【例【例2-4】 求微分方程的齐次解求微分方程的齐次解o齐次方程齐次方程0375230)3() 1(2 1132ttneAeAtAty3321)()(二重根二重根)()(3)(7)(5)(2233txtytydtdtydtdtydtd0)(3)(7)(5)(2233tytydtdtydtdtydtdo特征方程特征方程o特征根特征根o齐次解齐次解2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课102.1.1 用常系数

8、微分方程描述连续时间用常系数微分方程描述连续时间LTI系统系统特解特解v若输入函数是几种输入信号形式的组合，则特解若输入函数是几种输入信号形式的组合，则特解也为其相应的组合；也为其相应的组合；v当输入信号与齐次解中某一项形式相同时，则应当输入信号与齐次解中某一项形式相同时，则应在特解中增加一项：在特解中增加一项：t倍乘表中特解。倍乘表中特解。v若特征根为若特征根为k重根，则依次增加倍乘重根，则依次增加倍乘t, t2, , tk诸项诸项输入输入x(t) 输出函数输出函数y(t)的特解的特解 E(常数常数) B tB1t+ B2t-1+ +Bt+ B+1e-tBe-tcost或或 sintB1co

9、st+B2sint2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课112.1.1 用常系数微分方程描述连续时间用常系数微分方程描述连续时间LTI系统系统自由响应、强迫响应自由响应、强迫响应v齐次解表示系统的自由响应齐次解表示系统的自由响应 v特解称为系统的强迫响应特解称为系统的强迫响应 v完全响应：由系统自身特性决定的自完全响应：由系统自身特性决定的自由响应和与外输入信号由响应和与外输入信号x(t)有关的强迫有关的强迫响应响应2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课122.1.2 用常系数差分方程描述离

10、散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统 N阶差分方程的一般形式阶差分方程的一般形式N阶差分方程的递归形式阶差分方程的递归形式00NMkkkka y nkb x nk0000 MNkkkkbay nx nky nkaa2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课132.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统 常系数线性差分方程的常系数线性差分方程的4种求解方法种求解方法v迭代法迭代法v时域经典法时域经典法v零输入响应和零状态响应法零输入响应和零状态响应法v变换域法变换域法2021年年12月月13日星期

11、一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课142.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统迭代法迭代法v【例【例2-7】 给定一差分方程给定一差分方程yn=3yn-1+xn，在初始静止条件，在初始静止条件下，下，hn=0，用迭代法求系统的单位，用迭代法求系统的单位样值响应。样值响应。o解：令解：令xn= n，有，有yn=hn。即即hn=3hn-1+n2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课152.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统迭代法迭代法v【

12、例【例2-7】(续续)o由于由于n0时，时，hn=0。所以。所以n从零开始考从零开始考虑，根据原差分方程可依次求得虑，根据原差分方程可依次求得03 103 0 11hh 13 013 103hh 223 123 303hh 3 1 3nh nh nn 3 nh nu n(n0时时，hn=0) o于是归纳得到于是归纳得到2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课162.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统时域经典法时域经典法v求相应齐次差分方程的通解求相应齐次差分方程的通解ynn，通解，通解ynn常常被称为

13、自由响应，与系统自身的常常被称为自由响应，与系统自身的物理特性有关。物理特性有关。v确定特解确定特解ypn 。特解常常被称作为强迫响。特解常常被称作为强迫响应，反映了系统对输入信号的特殊响应。应，反映了系统对输入信号的特殊响应。v全解为全解为yn= ynn+ ypnv代入边界条件，求出待定系数，从而可以代入边界条件，求出待定系数，从而可以求得求得yn2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课172.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统时域经典法时域经典法v齐次解齐次解o【例【例2-9】 求解差分方程当初始

14、条件求解差分方程当初始条件y1=-1, y2=-3, y3=-5 时的解时的解解：解： 特征方程为特征方程为0312216 17nynynyny01216723132212122 3() 2nny nCC nCnnnny2) 1(3求得特征根求得特征根齐次解形式为齐次解形式为将初始条件代入上式求出系数，得到将初始条件代入上式求出系数，得到( (二重特征根二重特征根) )2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课182.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统时域经典法时域经典法v特解特解输入输入特解特解 1

15、D nD1n+D2nDncosn或或 sinnD1cos n +D2sinn2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课192.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统时域经典法时域经典法v完全解完全解o【例【例2-12】求解差分方程当激励求解差分方程当激励xn=2n，且已且已知知y-1=0, y0=0时的完全解时的完全解解：解： 齐次解为齐次解为 令特解令特解 3 12 2 y ny ny nx n12 ( 1)( 2)nnnynCC1 2npynD12111232222nnnnDDD113D 2021年年1

16、2月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课202.1.2 用常系数差分方程描述离散时间用常系数差分方程描述离散时间LTI系统系统时域经典法时域经典法v完全解完全解o【例【例2-12】 (续续) 完全解为完全解为 将起始状态代入上式求出系数，得到将起始状态代入上式求出系数，得到完全解为完全解为12 1( 1)( 2)23npnnny ny nynCC 21( 1)( 2)233npnnny ny nyn 2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课212.2 LTI系统的时域响应系统的时域响应2.2.1 连续时间系统

17、的零输入响应和连续时间系统的零输入响应和零状态响应零状态响应 2.2.2 连续时间系统的冲激响应和阶连续时间系统的冲激响应和阶跃响应跃响应2.2.3 离散时间线性时不变系统的零离散时间线性时不变系统的零输入响应和零状态响应输入响应和零状态响应2.2.4 离散时间线性时不变系统的单离散时间线性时不变系统的单位样值响应位样值响应2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课222.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应响应区间：激励信号响应区间：激励信号x(t)加入之后系统的状态加入之后系统的状态变化区间称

18、为响应区间。变化区间称为响应区间。起始状态：起始状态：y(k)(0-) (k=0, 1, , N-1)，它包含了，它包含了系统去计算未来响应的全部系统去计算未来响应的全部“过去过去”信息。信息。初始条件：在初始条件：在t=0时刻加入激励信号时刻加入激励信号x(t)后，系后，系统状态可能发生变化，响应区间内统状态可能发生变化，响应区间内t=0+时刻的时刻的这组状态记为这组状态记为y(k)(0+) (k=0, 1, , N-1)。完全响应表达式中的常数完全响应表达式中的常数Ai是由系统的初始是由系统的初始条件来决定的条件来决定的0t 2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第

19、二章第一次课第二章第一次课232.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应概念概念v起始状态：起始状态：0-时刻系统各阶导数的值时刻系统各阶导数的值v初始条件：初始条件：0+时刻系统各阶导数的值时刻系统各阶导数的值电压或电流发生突变的条件电压或电流发生突变的条件v冲激电流或阶跃电压：电容电压变化冲激电流或阶跃电压：电容电压变化v冲激电压或阶跃电流：电感电流变化冲激电压或阶跃电流：电感电流变化2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课242.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统

20、的零输入响应和零状态响应初始条件的确定初始条件的确定v系统的起始状态系统的起始状态y(k)(0-) (k=0, 1, , N-1)就是系统中储能元件的储能情况，当就是系统中储能元件的储能情况，当电路中没有冲激信号强迫作用于电感电路中没有冲激信号强迫作用于电感或电容，则换路期间电容两端的电压或电容，则换路期间电容两端的电压和电感中的电流不会发生变化。而其和电感中的电流不会发生变化。而其它元件在换路期间的元件值则另行计它元件在换路期间的元件值则另行计算算2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课252.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和

21、零状态响应系统的零输入响应和零状态响应初始条件的确定初始条件的确定v用时域经典法求解系统响应时，为确定完用时域经典法求解系统响应时，为确定完全响应表达式中的常数全响应表达式中的常数Ai，还必须根据系统，还必须根据系统的起始状态的起始状态y(k)(0-) (k=0, 1, , N-1)和激励信和激励信号情况求出初始条件号情况求出初始条件y(k)(0+) (k=0, 1, , N-1)，o特别地，如果微分方程右端自由项不包含特别地，如果微分方程右端自由项不包含(t)及其各阶导数，则系统在及其各阶导数，则系统在(0-, 0+)时间区间不发时间区间不发生跳变，初始条件生跳变，初始条件y(k)(0+)

22、(k=0, 1, , N-1)，与，与起始状态起始状态y(k)(0-) (k=0, 1, , N-1) 完全相同完全相同2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课262.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应v概念概念o零输入响应：单纯由起始状态产生的响零输入响应：单纯由起始状态产生的响应应o零状态响应：起始状态为零时系统对外零状态响应：起始状态为零时系统对外加激励信号的响应加激励信号的响应2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二

23、章第一次课第二章第一次课272.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应零输入响应零输入响应v零输入响应是在没有外加激励信号的作用零输入响应是在没有外加激励信号的作用下，只有起始状态下，只有起始状态(起始时刻系统储能起始时刻系统储能)单独单独作用时的响应作用时的响应，记为，记为yzi(t)，它是满足方程，它是满足方程及及非零起始状态非零起始状态y(k)(0-) (k=0, 1, , N-1)的解的解0( )0kNkzikkdCytdt1( )kN tzizikkytAe2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二

24、章第一次课282.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应零状态响应零状态响应v零状态响应是在不考虑起始时刻系统储能零状态响应是在不考虑起始时刻系统储能的作用下，由系统的的作用下，由系统的外加输入信号单独作外加输入信号单独作用用所产生的响应，记为所产生的响应，记为yzs(t)，它满足方程，它满足方程及及零起始状态零起始状态y(k)(0-)=0 (k=0, 1, , N-1)00( )( )kkNMkzskkkkkddCytEx tdtdt1( )( )kN tzszskkytAeB to零状态响应由强迫响应零状态响应由强迫响应B(t)及一部分自由响

25、应及一部分自由响应组成组成2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课292.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应零输入响应的求解步骤零输入响应的求解步骤v令输入信号为零，得到齐次方程令输入信号为零，得到齐次方程v求出齐次通解求出齐次通解v根据起始状态确定待定常数根据起始状态确定待定常数2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课302.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应零状态响应的求解步骤零状态响应的

26、求解步骤v令输入信号为零，得到齐次方程令输入信号为零，得到齐次方程v求出齐次方程通解求出齐次方程通解v求出输入信号不为零时的特解求出输入信号不为零时的特解v根据零起始状态确定待定常数根据零起始状态确定待定常数o 需将零起始状态转换成初始条件需将零起始状态转换成初始条件2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课312.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应【例【例2-14】已知系统的微分方程和激励】已知系统的微分方程和激励x(t)=2e-tu(t)，y(0-)=6，y(0-)=0，y(0+)=6，y(

27、0+)=3，试求该系统的零输入响应和零，试求该系统的零输入响应和零状态响应状态响应22113( )( )7 ( )( )4 ( )22dddy ty ty tx tx tdtdtdt2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课322.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应【例【例2-14】 (续续)v解：解：o 先求零输入响应先求零输入响应yzi(t)，它满足齐次方程，它满足齐次方程o 特征方程为特征方程为2211( )( )7( )02ziziziddytytytdtdt21170212 23.5

28、o 解得特征根为解得特征根为o 零输入响应零输入响应yzi(t) 的形式为的形式为23 512( )t. tziytA eA e2021年年12月月13日星期一日星期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课332.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应【例【例2-14】 (续续)o 根据初始条件可写出方程组根据初始条件可写出方程组o 解得解得o 零输入响应零输入响应yzi(t) 为为1212(0 )6(0 )23 50yAAyA. A 1=14A28A 23 5( )1480t. tziytee t2021年年12月月13日星期一日星

29、期一信号与系统信号与系统 第二章第一次课第二章第一次课342.2.1 连续时间连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应系统的零输入响应和零状态响应【例【例2-14】 (续续)o 再求零状态响应再求零状态响应yzs(t)。对于时间段。对于时间段 ，有，有o 从而可设零状态响应从而可设零状态响应yzs(t)形式为形式为o yzs(t)中中De-t其实为方程的特解部分其实为方程的特解部分yp(t)。将。将yzs(t)代入代入零状态响应方程可求得零状态响应方程可求得0t 22113( )( )7( )(2)4 2225ttzszszstdddytytyteedtdtdte -2-3.5-12( )tttzsytB eB eDe2D 2021年年12月月13日星期一日星期