差分方程模型习题+答案

1、1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率 0.4%,他每月取1000元作为生活 费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？r，根据题意，可每月取款,分析：假设k个月后尚有 A元，每月取款b元，月利率为根据题意，建立如下的差分方程:Ak 1 = aAk - b，其中 a = 1 + r每岁末尚有多少钱，即用差分方程给出 Ak的值。(2)多少岁时将基金用完，何时Ak = 0由(1)可得:若仆0, b孕a - 1 若想用到 80 岁，即 n= (80-60)*12=240 时， A240 二 °，利用MATLAB 编

2、程序分析计算该差分方程模型，源程序如下:clear all close allclc x0=100000 ;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0: n)：y1=dai(x0 ,n, r,b);rou nd(k,y1') function x=dai(x0 ,n ,r,b) a=1+r;x=x0;for k=1: nx(k+1)=a*x(k)-b;end用MATLAB计算：A0=250000*(1.004A240-1)/1.004A240思考与深入：(2) 结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到 80

3、岁， 60 岁时应存入 15.409万元。2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款 10 万元，月利率 0.5% ，他每月还 1000 元。建立 差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要 10 年还清，每月需还多 少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x (k),月利率为r，且a=1+r, b为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为x(k+1)=a*x(k)+b , a=1+r, b=-1000, k=0, 1, 2在 r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MA TLAB 计算得结果。编写 M 文件如下 :function x=exf11(x0,n,r,b)a=

4、1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB 计算并作图 :k=(1:140)'y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月还 1000元，则需要 11 年 7个月还清。 如果要 10年即 n=120 还清，则模型为：r*x0*(1+r)A n/1-(1+r)A n b=-r*x0*(1+r)A n/ 1-(1+r)A n用 MA TLAB 计算如下：>> x0=100000;>> r=0.005;>> n=120;>> b=-r*x0*(1+r)An/1-(1+

5、r)Anb= 1.1102e+003r1 ，猫头鹰的存在引所以如果要 10年还清，则每年返还 1110.2元。a1 ；猫头鹰的年平均减少率为3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为 起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为2 ；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为a2。建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。(1) 设 “ =0.2,r2 二 0.3, a = 0.001, a = 0.002,开始时有 100 只田鼠和 50 只猫头鹰。(2) 1,2,印42同上，开始时有100只

6、田鼠和200只猫头鹰。(3) 适当改变参数 a1,a2 (初始值同上)(4) 求差分方程的平衡点，它们稳定吗？分析：记第k代田鼠数量为Xk，第k代猫头鹰数量为yk，则可列出下列方程：= Xk + (1 一 ak)XkYk 1 二(-2a2Xk)yk运用matlab计算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=x',y'(1)z=disa nti(100,50,0.

7、001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')z=disa nti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像:450 .,B,P400 -f 1/1350 -300 l/ |r250 -/- I II200 -150 -100I 八50 -0 EI:05101520253035404550可见，当a1,a2参数在一定范围

8、内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。令 x< = Xk x ； yk 二 yk 1 = y解方程得到如下结果：x=150y=200经matlab验证如下：z=disa nti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')由此可知：平衡点为：x=150 y=2004. 研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8,最大密度为3000 (密度单位)，在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6 (密度单位)的草。若

9、没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程， 就以下情况进行讨论：(1) 比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。(2) 适当改变参数，观察变化趋势。模型假设：1草独立生存，独立生存规律遵从Logistic 规律；2 草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3. 鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；4. 假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。记草的固有增长率为r，草的最大密度为 N,鹿独立生存时的

10、年死亡率为d,草最茂盛时鹿的食草能力为a,草对鹿的年补偿作用为 b;第k + 1年草的密度为 Xk * ,鹿的数量为yk i , 第k年草的密度为xk，鹿的数量为 yk。草独立生存时，按照 Logistic 规律增长，则此时草的增长差分模型为k、兀1 一 xk = r(1)xk，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下Nxk方程：Xk 1 - Xk = r(V)Xk - K1NNaxk yk(k = 0,1,2, lii)(1)鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为yk1 - yk = _dyk，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程:yk 1 一 yk

11、二(dyk,(k71,2川)(2)另外，记初始状态鹿的数量为y0，草场密度初值为X0，各个参数值为:一;、U.,丨; !, / 1:利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数diwuti，实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) %描述 diwuti-Logistic综合模型的函数x(1)=x0;%草场密度赋初值y(1)=y0;%鹿群数量赋初值for k =1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N;

12、y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k);endB = x;y;% %clear allC1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r')axis(O 50 0 3000);xlabel('时间 / 年')yl

13、abel('种群量/草场：单位密度，鹿：头')title(' 图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线')gtext('x0=1000')gtext('x0=3000')gtext('草场密度')gtext('鹿群数量')比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况(绘制曲如图 1所示)由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约 40-50年左右时间

14、后，两种群的数量将达到稳定。使用MatLab计算可以得到，当Wk, yJk二二(1800,600)，即两种群数量的平衡 点为(1800，600)。为进一步验证此结论， 下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：(1)改变草场密度初始值;图2种群数量变化曲钱政变草场密度初值） 3000喘 250020001500100060005101520263035404550时间库0从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。（2）改变鹿的数量初值图3种群数量变化曲线政变鹿数量初值） 3000谓 2500200015001000500051015202630

15、35404550时间库0由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在 5 15区间内降低到了非 常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。（3）改变草场的最大密度 N,画图比较结果;图4种群数量变化曲銭咸变草场最大密度忖）时间库如图4所示，如果草场密度的

16、最大值 N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生 相应的变化。结论：N值越大，平衡点两种群的数量就越大； N越小，平衡点两种群的数量 就越小。（4）改变鹿群独立生存时的死亡率图丘种群数量变化曲銭政变死亡率3000V-I-2500fig2D0D磁1500ml10005001 1 1 1 1 1 1 1 'd=0.95草场密度-恤廉击羊劉.申11IIIIIIII050100150200250300350400450500时间库03000图丘2种群数量变化曲銭政变死亡率050100150200250300时间库3504004506D02500200015001000son0实验中，改变了

17、鹿单独生存的死亡率得到如图5.1和5.2两幅图，可以得出结论：鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小， 则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。（5）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（ b变化）图&神群数量变化曲銭政变补偿率切从图中可以看到，如果b增大，贝U达到稳定点的时间会加长， 但如果b减小则会有一个域值, 当b低于域值时，草-鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。5. Leslie种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡(给出了变化过程的基本规律)。孵化后的幼虫2周后成

18、熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09,(称为成活率)，2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为 0.2。假设开始时，02，24, 46周龄的昆虫数目相同，计算 2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数 目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？分析：将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：Xi(k), 2到4周虫的数量为：X2(K),4到6周虫数量为：X3(K)。据题意可列出下列差分方程：.xi(k+1)=x 2(k)*100+x 3(k)*150I X2(k+1)=x i(k)*0.09X3(k+1)=X2(k)*0.2运用matlab编写的程序如下：function z=diwu