2025年高考数学全国Ⅰ卷第19题说题比赛

数题剖析展逻辑思维，分步推演筑解题基石——2025年全国Ⅰ卷第19题变式提升题意分析01解题思路02思想方法0305教学启示04一、题意分析——试题呈现三角函数为主，导数为辅一、题意分析---知识与能力一、题意分析---已知与未知

解题思路：利用导数求三角函数的最值解题思路：函数解析式相同，给定区间不同一、题意分析---命题溯源二、解题思路函数在闭区间上的最值问题三角函数的图像与性质导数求解？如果我是学生我会怎么想？二、解题思路二、解题思路回归教材：角的变形或和差化积（必修一P225例8及课后练习）二、解题思路二、解题思路启示：加强学生求导后关于导数零点的求解以及导数正负判断的规范性训练，同时要用好课后习题，盲目找题不如用好讲透教材题二、解题思路方法一：存在量词命题的证明存在量词命题的证明正难则反否定否定不成立，则原命题成立二、解题思路方法二：比较大小计算区间端点的函数值双变量作差法构造函数零点存在性定理二、解题思路二、解题思路方法一：必要性讨论，先猜后证，以特殊值为指引利用函数的奇偶性和周期性缩小讨论范围

二、解题思路方法一：必要性讨论，先猜后证，以特殊值为指引

求导

求零点，换元二、解题思路方法二：函数的极值与最值之间的联系利用函数的奇偶性和周期性缩小讨论范围求导二、解题思路方法二：函数的极值与最值之间的联系求解导数的零点得到此时自变量的表达式

三

、思想方法第（2）问中

的存在性，可以通过

的图像找出临界值，利用导数研究三角函数的图像，求出最值都体现了数形结合的思想.数形结合第（1）问中求

的零点转化为解三角函数方程.特殊到一般对于含参数的问题，可以取参数的特定值，探究不等式或函数的性质.第(3)问中，取

，刚好就是题干的函数，由此可以联想到3个问之间的联系.函数与方程思想方法转化与化归固定

，恒成立问题

，转化为求

的最大值

，将恒成立问题转化为最值问题.三角恒等变换中和差化积和5倍角公式的推导，都是回归到两角和差以及二倍角公式的运用.高考真题指导教学关键学生练习情境、高考做题情境目的研究高考题的目的在于指导课堂教学，因此了解学生在考场中面对这一题产生的真实想法是关键，只有掌握学生这种动态的想法，才可以思考如何在教学中指导学生得到解题思路并调整教学策略与重难点四、教学启示——“真实做题情境”高三学生高考考生四、教学启示——“真实做题情境”四、基于“真实做题情境”的教学启示本题对教学有很好的导向作用——回归基础，回归数学不变性，高考反“套路”反“刷题”.本题与教材知识联系紧密，衔接教材中三角函数，导数基本内容，在前面教材溯源中已经提及.本题还体现教材中函数思想（如换元法、导数求最值），方程思想在三角函数中的应用，教材通过基本初等函数和导数渗透函数思想，本题将其迁移到三角函数场景，强化函数思想的通用性，帮助学生构建跨函数类型的解题思维.回归基础回归教材本题第（1）问的最值求解与2018年全国Ⅰ卷理第16题的方法一致，既可用导数法求解，也可用多元均值不等式求解；第（2）问的存在性证明、第（3）问的双重最值问题，与高考题中三角函数，导数的常见考法一致，故在高三复习备考中，要优先选择高考题作为复习蓝本.重视高考题的训练五

、变式提升试题价值：和以往以导数为主三角为辅不同，此题以三角函数为主，通过数形结合分析运算可以求解，也可在求导后利用和差化积转化求解，强调了学生对三角函数知识的理解与运用。五

、变式提升五

、变式提升试题价值：第(2)问结合三角函数和存在性问题进行考查，第(3)问则以三角函数的恒成立问题为方向。三问层层递进，从具体的计算到抽象证明，思维难度较高，对学生的“逻辑推理”数学核心素养也提出了较高的要求，考查了学生的数学能力，体现了“重思维、轻计算”的命题趋势，强调了对学生“思维能力”的培养，且有明显的区分度。五