高斯滤波器和2RC滤波器

1、第五章高斯滤波器5. 1介绍高斯滤波器被广泛应用于表面轮廓分析。美国标准（美国机械1：程师协会 2002）和国际标准（国际标准化组织1996）都对它进行了阐述。高斯滤波器的 权重函数（滤波器在时域和空间域的定义）如下：S（'）= &EE（汨 25式子中。=河而=0.4697,x是权重函数距离原点的位置，/lc是粗糙度中 长波波长的截止频率。通过对连续函数S（x）进行傅里叶变换可以得到函数的传递特性，变化如下:5/（/1） = 丁二 S（x）e"x dx =勺 eax dx =以一"（件）勺 5.2从等式5.2,能够看出该正弦波振幅有衰减，其波长截止波长M=/

2、lc）是0.5,因11匕 在截出处，滤波器传递了 50%o下面的例子展示了，在给定权重函数下，其高斯 滤波器传递曲线的样子。范例5.1在给定空间域Ac < % < AcT»描绘高斯滤波器S。其中让7=0.8mm, 采样间隔Ax = lpnio下而是MATLAB生成的代码，并且其所描述的图展示在（图5.1 a）。图5 1 a绘制高斯波波器：船=0Smmb高斯滤波器传递特性 lambdac=0 8, % in mm dx=0 001, % in mm x=(-lambdac dx lambdac) alpha=O 4697;S=(l/(alpha*lambdac).*exp(

3、-pi*(x/(alpha*lainbdac).A2)>% generate the Gaussian filter S=S/sum(S), % noixnalize to unit sum plot(x,S), xlabclf Distance (mm) ylabel('Weighting function1),范例5.2产生高斯滤波器S的振幅传输特性，并且评估正弦波的振幅传输特 性，其截止波长伽=0.8mm) o高斯滤波器的传递特性能够同样获得，通过借助第四章4.4范例所示的矩形 滤波器例程。传递特性如图5.1b所示。该正弦波由0.8nmi波长组成，其振幅衰 减为0.5(Sf

4、的阵列元素有11个)。因此高斯滤波器在截止频率处,传输量为50%。 注意在图5.1b所示的传递特性中，可以清楚的看到，在其截止频率处有一个坡 度过程，并没有直上直下的锋利过渡。这意味着滤波器不能立刻抑制所有波长小 于截11：频率的波长，而是在截止频率处使它们逐渐变弱。这个传递特性也能够被 描述通过直接对等式5.2采样。m=size(S,l), % leiigth of Gaussian ft Iter1=8, % length of a profile is assumed to be 8 mmn=l/dx, % number of profile pointsS=zeros(n/2-floo

5、r(m/2)> 1); S, zei'os(n/2-floor(m/2)-l J);% center the filter and zero-pad to 8000 longSfMR(S),%DFT ofSj=(2:l floor(n/2)+l)',% generate wavelength array for X axis of% transmission plotwave=n*dx /(j-1),semilogx(wave, 100*abs(Sf(2 floor(n/2)+1,1),xlabel('Wavelength (mm)'),ylabelf A

6、mplitude (%),)>5. 2高通和低通滤波器迄今为止描述的滤波器都是低通滤波器，因为它只能传递低频部分(波长大 r<ii：波长)。第3章和第4章所描述的矩形滤波器和步进滤波器也都是低通滤 波器。低通滤波器是一个平均滤波器因为它能产生一个光滑的轮廓。一个滤波器 也能够被设计成只传输高频的信号。这种滤波器是众所知周的高通波波器。高斯 高通滤波器的传递特性如下Sf(A) = 1 - e(aT)四5.3这个高通高斯滤波器在截止波长处也传递50%。这是很重要的，因为它阐释 了高斯低通和高通在传递上的互补性。这可以表明高频信号与低频信号的差异仅 仅表现在原始轮廓。因此用两种不同滤波器

7、同时捕捉高频和低频信号是没有必要 的。5. 3用高斯滤波器量化粗糙度、波纹度和形状滤波器的输出是粗糙度，波纹度还是形状(三者为专业术语)，取决于滤波 器的类型(高通或者低通)和截止波长的阈值。如之前第3章所述，因为粗糙度， 波纹度还是形状都有自己明确定义的带宽范I韦I，所以构造带宽的上限和下限截止 波长要符合各自要求。ASMEB46.1标准中定义截止波长4cw作为波纹度的长波 截止波长，4sw作为波纹度的短波截止波长，友作为粗糙度的长波截止波长，As 作为粗糙度的短波截止波长。Ac的选择等于Aswo ASME B46.1与ISO 11562两 者都己经给出了截止波长的推荐阈值。除此之外，他们也

8、提供了进一步的指导对 丁截止比率的选择。例如，选择m与一个适当的Ac/As比率将限制探针的大小 (美国机械工程师协会2002)o滤波器与截止波长人s相关联构成低通滤波器，与此相对应滤波器与截止波 长永相关联，则构成一个高通滤波器。上述这对滤波器应用到轮廓上输出的是 粗糙度。如果想获得波纹度需要调整到於W（低通cw（高通）。形状通常包含了所 有大尺寸波长，因此下端的截止波长为从 通常来说这样就足够了。但值得注意 的是在ASME B46.1标准中并没有定义从图5.2举例说明了上述滤波器的不同。100, 尸 180- Xs/Ac A6wAf-Low pass roughness60-/ SHigh

9、pass roughness/ | $ /Low pass waviness40. /旨A i A §-High pass waviness20-/ £ Low pass formcJJ、U10-210°102104Wavelength (mm)图5 2划分粗糙度轮啤、波纹度轮期、形状轮廓的五种滤波器的传递特性（As=25um>Ac=0 8mm,Asw=0 Snrni,ASmin）综上所述，很显然根据粗糙度或者波纹度的定义，我们需要两个滤波器同时 操作来获得。然而事实上有些简单化的公共认可，这样通过一个信号的滤波操作 也可以简单的获得粗糙度或者波纹度。首先，

10、截止波长为4S的低通滤波器有时 可以被忽略，或者用自动滤波器仪器的初始数据。其次一种情况是，轮廓长度通 常并没有足够的长度去捕捉形状，因此截止波长Acw的高通滤波器并没有用到。 最后一种状况是，在第5.2部分己经有所提及，利用高斯低通和高通滤波器的互 补定义，可以用一个滤波器来评估粗糙度和波纹度（截止波长h的高通或者低通）。总的来说，粗糙度轮廓能够通过用一个截止波长为/Ic的高通滤波器去过滤 原始轮廓来获得。波纹度轮廓与原始轮廓和粗糙度轮廓的区别是很简单的。在原 始粒廓上应用高斯低通滤波器人sw就以获得波纹度的表而轮廓。同样的这也是粗 糙度轮廓与波纹轮廓和原始轮廓之间的区别。无论怎么做，两者产

11、生的结果是一 样的。5.4截止波长的影响当4c增加，粗糙度轮廓的带宽将变大，因此应该增加振幅参数，例如Ra, 来计算粗糙度轮廓。另一方面，同样的截止波长将导致波纹度轮廓中的一些波长 被移除，作为这个结果应该在计算波纹度轮廓时，减小振幅参数w5.5相位特性我们己经非常详细的研究了高斯滤波器的振幅传递特性，但是对于相位特性 我们还没有提及。高斯滤波器并不会使两个不同波长的正弦波产生相对的相位改 变。换句话说，每一个进入滤波器的正弦波形都会复现它进入时的相位特性，并 不会发生相位改变。这种相位不变的特性，也正是高斯滤波器的最大优点。5.6总结高斯滤波器可能是今天被用的最广泛的滤波器。我们本章复习了它

12、的定义和 实现方法。我也讨论了高通和低通滤波器的定义。而且我们还讨论了高斯高通和 低通滤波器是如何互补的，因此用两个滤波器操作获得粗糙度和波纹度是多余的。 高斯滤波器的相位不变性，使得它的输出不会扭曲变形。练习5.1通过对公式5.2的连续采样生成一个高斯低通滤波器曲线。假设Ac=0 8mm. 采样间隔Ax = lpnio和图5.1b对比两者相同吗？5.2生成一个如图5.2所示的图，假设轮廓长度是1,000mm,采样间隔为Ax = 1pm, 截止波长参考图5.2所示。5.3写一个高斯函数文件myGaussian.m,调用该函数需要给两个参数一一间隔和 截止波长（两者单位相同），然后函数产生一个高

13、斯低通滤波器，这个高斯函数 是经过归一化的，为了使所有的权重统一。5.4用截止波长0.8mm的高斯低通滤波器滤波2mm波长振幅为川m的曲线z】， 利用高斯滤波器的振幅传递曲线观察振幅衰减情况。采样间隔参数为Ax = lpnic 用同样的滤波器滤波0.5mm波长振幅为0. 5pm的曲线z?,观察其振幅衰减状况。5.5根据练习5.4和己知高斯滤波器的相位特性，计算并绘制滤波输出，高斯滤 波器的滤波轮廓为练习5.4讨论的两个正弦波之和。5.6用空间卷积验证练习5.4的结果。并用5.3制作的高斯滤波函数生成这个滤波 5.7用频域积分验证练习5.4的结果。为了这个窗口能均匀排放这8000长度的数 组，需

14、要在高斯滤波器的空间域填补零点。然后对滤波器和轮廓执行DFTs,进 行逐项积分。用反向DFT进行评估并提取相关部分补偿相位（看4.6的例子）。 这个波纹度轮廓一定是和5.5与5.6中产生的轮廓相同，除了在边缘上可能有少 许差别。5.8用空间卷积方法过滤练习3.1中的轮廓Z,用三种不同截止波长的低通高斯滤 波器，分别是0.5mm,0.8mm和2mm。从波纹度轮廓叫濯取截止长度的一半。 计算波纹度轮廓w中的叫。其中泌被定义为"Q =全四也1, w（i）是波纹度数 组的第i个元素，n是数组w的长度。随着截止波长的增加是W增加还是减小， 为什么？参考文献美国机械工程协会2002,ASME B

15、46.1-2002,表面纹理（表面粗糙度，波纹度和花 纹）ASME.美国.纽约国际标准化组织1996JSO11562:1996,儿何产品规格业表面纹理:轮廓方式 滤波器相位调整特性,ISO,瑞士,口内瓦第6章2RC滤波器6. 1引言最早用于表面测量的滤波器是2RC滤波器。这种滤波器早期由硬件构成， 现在己经可以方便使用软件执行。2RC滤波器并不是一个线性相位的滤波器，并 且对粗糙度和波纹度两个滤波器需要区分来看待。尽管2RC滤波器很早就被应 用于表面轮廓滤波，但是却在高斯滤波器之后来讨论它，是因为这种滤波器在执 行时更具有挑战性的问题存在。ASME B46.1标准（美国机械工程协会2002）对

16、 2RC滤波器有所提及，但是国际标准中并没有涉及该滤波器。6. 2 2RC高通滤波器从历史上来看，2RC滤波器仅仅被用于从原始轮廓中提取粗错度轮廓，因此 文献报道中一般仅提供了 2RC的粗糙度滤波器的权重函数。为了获取表面的波 纹的轮廓，需要一个单独的波纹度权重函数（看练习6.1）。高通粗糙度滤波器的 权重函数如下：S（x）TO-理）ex阱理）6.1其中A=3.64, x是权重函数距离原点的位置，Ac是粗糙度长波的截止波长。 高通滤波器的传递特性可以通过对其连续传递函数S（x）做傅里叶变换可以获得:=6.2其中k=l/V3并= aALo等式6.1的权重函数是很重要的。权重函数提 供了一个轮廓的

17、高频组成部分，但是空间卷积也是很重要的，它是一个平均处理 的过程。对等式6.1的权重函数进行卷积，将得出一个“二等分线气 二等分线和 粗糙度轮廓是有区别的。然而从公式6.1并不能很清楚的看出两者的区别，如果 读者对此很感兴趣，可以看6.3节，此节将对这个问题作出解释。2RC滤波器在截止波长处的振幅衰减是75%。从公式6.2推断此时人= 北。 并且滤波器不具有相位不变的特性。这意味的不同波长的正弦波其输出相位会有 不同程度的偏移量。这将导致在输出轮廓上出现失真，因此这并不是一个有用的 特性。尽管受此限制2RC滤波器仍然被用了许多年，因为那时候的数字滤波器 不能识别表面轮廓的起点。下面的例子展示了

18、 2RC滤波器的这些方面。例子6.1绘制权重函数，振幅传输图，高通2RC滤波器的相频特性图。假设 截止波长Ac =0.8mmo2RC滤波器的权重函数被生成在-2Ac<x<0.因为这个滤波器关于原点 并不对称。事实上，滤波器在原点前沿是单边的。传递特性能够用很多种方式生成，在这个例子中，我们将直接对公式6.2采 样。图6.1 a-c分别展示了 2RC滤波器的权重函数、振幅传输和相频特性。%截11：波长单位mm %间隔单位mmlambdac = 0.8> dx = 0 001, A = 2D pi/sqrt（3）, x = （-2D lambdac dx 0）1,for j=l

19、1 length(x)S(J»l)=(A/laiYibdac)Q (2(A/lambdac)*abs(x(j)* exp (-(A/lamb dac) abs(x(j), endS = S/sum(S),plot(x,S)xlabelCDistance (mm)'),ylabelCWeighting function1), lamda = (0 002:0.001:8)Sf = (1-1D l/sqit(3) (lamda/lambdac)%),semilogxQamdaJ OO*abs(Sf).%生成权垂函数%单位归一化处理%生成波长轴%对公式6 2连续采样%取绝对值%绘制

20、振幅用“”%用角度绘制相位%绘制相位单位弧度uopunj 5UW6QM% amplitude transmission xlabel('Wav elength (nim)>), ylabelf Amplitude 林)')， semilogx(lamda, angle(Sf), xlabelf Wavelengtli (mm)'), ylabelfPhase (radians)1);图6 1 a两电阻两电容(2RC)滤波器的权重函数b振幅传输特性c相位特性例子6.2用截11：波长为0.8mm高通2RC滤波器，按3.1范例中所述的空间 卷积方法生成一个滤波轮廓z2R

21、C高通滤波器关于原点并不对称。因此这个滤波器不得不在卷积的时候做 一个关于原点的镜像来完成卷积过程(回想一下卷积镜像操作的定义；用这个建 立的镜像来做卷积和多项式相乘)。并且卷积后的轮廓长度为irtn-1,其中n是 原始轮廓的长度，m是滤波器数组的长度。就对称的滤波器来说，来门卷子阵列中心的n个元素代表了波纹度轮廓，但是就2RC滤波器来说，n个元素代表二等 分线。这是因为滤波器数组的原点占有的权重比例最大，并且它是滤波轮廓的起 始点。在轮廓结束端，当滤波器从表面记录时，滤波器的前部是在轮廓表面外边 的，这时己经不能评价一个真实的平均移动了。就高斯滤波器来说，权重最大的 点是对称排列在中间的，并

22、且卷积阵列的中心点在波纹度轮廓时，是被剔除的。 图6.2 a展示了原始轮廓，并且和一个二等分线轮廓。图6.2 b展示了粗糙度轮廓。图62a用2RC高通波波溶生成的轮廓z和二等分线. b用2RC高通滤波器生成的轮师z和粗糙度轮dx = O 001,1 = 8,n = Vdx,x = (0:dx l-dx)zl = ID sin(2D pi x/2); % amplitude 1 um, wavelength 2minz2 = 0 5D sin(2D pi x/0 5), % amplitude 0 5 um, wavelength 0 5 mmz = zl +z2,S = flipud(S),

23、% mirror tlie non-symmeti'ic v/eighting% functionC = conv(S, z), % conv perfoiTns a second flip before% moving averageMeanLine =% extract the first n pointsr = z-MeaiiLuie,plot(x,z,T,x,MeanLine,'b'),xlabelCDistance (mm)1),ylabelf Amplitudeplot(x,z；r,x,r；b,),xlabelCDistance (mm)1),ylabelC

24、 Amplitude (muin),)>6. 3 2RC滤波器的深入介绍早期使用的2RC滤波器是实时性的。当仪器经过轮廓表面，轮廓上的点以电 压信号(Vh】)被输入到2RC电路网结。滤波后的信号通过电压(Vout)被输出，并且 经过处理转变为高度单位。个一介的RC滤波器的传递函数(HA = Vout/Vin) 能够从任何标准的电气工程教科书上获得，其表达式如下：6.3=）RCw1+jRCw其中©是频率表达是a）= 2n/A, j = 口, R和C分别是电阻和电容。这个传 递函数表达了滤波器的传递特性，并且是在频域被定义的（因此，我们根据习惯 把这里的玛成助。图6.3展示了一个二

25、介电路网络，其传递函数是一介电路网络 函数的平方，因此其公式如下：旺=导=昭=（芒=）26.4vin 71 vl+;7?CwJ将co = 2兀/入芾入等式6.4中，推到得I以I展开化简并计算得：(2jtRC/Xc)2V(l-(27rZ?C/Ac)2)2+(2;rZ?C/Ac)2 = 3/42RC滤波器定义了其截II：频率左处的传输为75%o RC的取值在满足这种情况 下能够获得通过如下公式。RC06.6c C图6 3RC电路网络C姑电容，R是电阻.输入电压信号，Vg输出电压信号2n为了在空间域实现这个滤波器，我们需要一个权重函数的表达式。我们能够 通过对传递函数进行逆变换来得到这个权重函数。让

26、我们改写这个传递函数：Q-忐）2 = 1-号点+点那6.7对其进行傅里叶变换得：H（t） = m）£（2 *）e 诉6.8其中殓）是单位脉冲。H（t）是2RC滤波器的脉冲响应，其由两部分组成，一个部分是单位脉冲，另 一部分是随时间变化的指数。时变部分产生直流部分，脉冲产生瞬时交流部分。 DC部分的权重函数能够通过对上式的RC值取代来获得，其公式如下：S（x）= £（2-尚。芸，。小86.9其中aT脉冲响应回答了一个疑问，那就是早期为什么高通2RC滤波器只提供二等分线的权重函 数。这是显而易见的，权重函数仅仅捕捉了脉冲响应的DC组成部分。但是瞬时AC响应的组 成（粗糙度轮廓）

27、与原始轮廓和DC二等分线相比是有区别的。最后提及一下，在75%条件下取代RC值的传递函数如E：6.10«r _ r JRCa> 2 1Hf2 =成箱）=M6.4 2RC滤波器和高斯滤波器的比较一个表面轮廓的例子（d med-Type D rou血less specimen）能够被下载，从美国 国家标准技术研究所（NISI）京于表而测量测试系统算法的网站上（美国国家标准 技术研究所；Biii和Vorburger 2007）在载入MATLAB之前，要删除开头和结 尾的信息（升始的15行和结尾的后2行）。这个轮廓被滤波用一个高斯低通滤波器, 其截止波长在0.8mmo这个同样的轮廓被滤

28、波用一个2RC高通滤波器在相同的截 II：波原始轮廓和高斯波纹度轮廓被展小在图6.4a。可以观察到，这个波纹度 在波峰和波谷处是没有相位失真的。相应对俄粗糙度轮廓被展示在图6.4b°原始轮廓和用2RC产生的二等分轮廓（不是波纹度轮廓），在截止波长为 0.8mm时的图像被展示在图6.4c。可以观察到，二等分轮廓移动了一个相位。粗 糙度轮廓被展示在图6.4d,因为相位偏移出现了失真（人为规定特性）。并且应该注意到在图6.4d展示的粗糙度轮廊中，其振幅通常是大于图6.4b所 展示的振幅的，尽管两者都是用同样的截止波长生成的。这是因为2RC滤波器截 止波长的传输量是75%,对比2RC滤波器，高斯滤波器仅在截止波长处有50的传 输量。因此在截止波长处或其附近的波长将被传递通过2RC滤波器，因此其振幅 相对较大。6.5总结2RC滤波器是最早用于表面测量的滤波器。最早它被用硬件电路来实现，但 是现在它己经能够方便用数字化来实现。这个滤波器有一些缺陷：（a）在粗糙度 轮廓中它有一个相位的失真（b）粗糙度滤波器和波纹度滤波器需要分开处理（c）最 后它有边缘失真现象。在之后介绍的高斯滤波器相对的可以缓和2RC滤波器的这 些缺陷。从第五章可以知道，高斯滤波器是被数字化实现的。它没用相位失真的 影响，并且高通和低通具有互补性，因此可以仅用一个滤波器来获得粗糙度和波