高等代数习题及答案

1、高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分, 共10分）1、 p（x）若是数域F上的不可约多项式，那么p（x）在F中必定没有根。（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（）3、实二次型f（Xi，X2， ,xn）正定的充要条件是它的符号差为n 0（）4、Wx1,x2,x3XjR,i1,2,3;x1x2x3是线性空间R3的一个子空间。（）5、 数域F上的每一个线性空间都有基和维数。（）6、两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（）7、 零变换和单位变换都是数乘变

2、换。（）8、 线性变换 的届丁特征根°的特征向量只有有限个。（）关丁标准正交基的矩阵为实对（）X i ,那么| |、匚,i 1. i 19、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为 称矩阵。10、 若1, 2, , n是欧氏空间V的标准正交基，且二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、关丁多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） f1, f2, fn 1 fn x,gn xfi, fj 1, i j,i, j 1,2, ,n ；1) f x ,g x f x g x ,

3、 g x ；若f x ,g x 1f x g x , f x g x 1。2、设D是一个n阶行列式，那么（行歹0式与它的转置行歹0式相等;若D 0 ,则D中必有一行全是零; D中两行互换，则行列式不变符号；若D 0 ,则D中必有两行成比例。3、设矩阵A的秩为r（r >1），那么（）A中每个s（s<r）阶子式都为零;A中每个r阶子式都不为零；A中可能存在不为零的r 1阶子式；A中肯定有不为零的r阶子式 4、设f x1,x2, ,xn为n兀实二次型，贝U f x1,x2, ,xn负定的充要条件为（负惯性指数=f的秩；正惯性指数=0;符号差=n ;f的秩=n5、设1, 2, , m是线性

4、空间V的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ 任一组不全为零的数ki,k2, ,km,都有ki i 0;i 1 任一组数 ki,k2, ,km,有 ki i 0 ；i 1 当 ki k2km 。时，有ki i 0 ；i 1 任一组不全为零的数k1,k2, ,km,都有ki i 0。i 16、若W1,W2都是n维线性空间V的子空间，那么（维W. +维 W1W2=维 W2+ 维W1W2;维W1W2=维W1+ 维W2;维W +维 W1W2=维 W2 +维 W1W2 ；维叫-维W1W2=维 W1W2 -维 W2。7、设 是n维线性空间V的线性变换，那么下列错误的说法是（是单射的亏=0;是满射的秩=n

5、； 是可逆的核 =0;是双射是单位变换。8、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）合同的；相似的；相等的；正交的。9、设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（若,; 若；若 ，11 ;若 ，010、欧氏空间R3中的标准正交基是（1 11,1 ； 0,。,1 ；2 21111_ 1 1液,0,而；而,0, 3 ; 0,1,0; 2'2,0;111111_ 土，土，土 ； 土，土，土 ； 0,0,0 ； 1, 1,1 ； 1,1,1 ； 1,1, 1.3 ：.33. 3-.：3 73三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分 每空2分，共20分）1、

6、多项式f (x) x4x2 2在实数域R上的标准分解为 0 a 0 b2、利用行列式的性质可知四阶行列式c 0 0 d的值为0 0 0 e0 0 f g3、 若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3,那么该方程组的增广矩阵的 秩等丁。4、在线性空间V中，定义0 (其中0是V中一个固定向量)，那么当0 时，是V的一个线性变换。5、 实对称矩阵的届丁不同特征根的特征向量是彼此 的。6、n阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。7、 若基I到皿的过渡矩阵为P，而向量 关丁基I和皿的坐标分别为 X和Y ,那么着两个坐标的关系是 08、设W是线性空间V的非空子集，若W对V的加法和数乘 ，则称W

7、为V的子 空间。a b 9、石线性变换 美丁基1, 2的矩阵为 ，那么 美丁基3 2, 1的矩阵c d为。10、 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分)1、如果p(x)是f (x)的导数f'(x)的k 1重因式，那么p(x)就是f (x)的k重因式。2、若线性方程组AX B相应的齐次线性方程组AX 0有无穷多解，那么AX B也有 无穷多解。3、设A是一个m n矩阵，若用m阶初等矩阵E 3 5 ,4右乘A ,贝U相当对A施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”

8、的初等变换。4、若1, 2都是数域F上的方阵A的届丁特征根°的特征向量，那么任取k,k2 F,k 1 k2 2也是A的届丁。的特征向量。5、 设是欧氏空间V的线性变换，那么 是正交变换的充分必要条件是能保持任二个 非零向量的火角。五、计算题(每小题10分，共40分)1、计算n阶行列式2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解1231303、解矩阵力程324 X10272101078、儿100 10004、设1,2, 3,4000 01002 312121315 2 , 211 ,312，422是另一组基，求由0是m2f的一个基，而11,3,的过渡矩阵，并求向量4下

9、的坐标。六、证明题3是三维欧氏空间V的一个标准正交基,试证:也是V的一个标准正交基。高等代数试卷参考解答、判断题 1、单项选择题2 3x1 24 5 6 7 8 9 10x V V x V V x3 4 5 6 7 8 9 10三、填空题1 x22 ；2、acef ;3、4;4、0;5、正交;6、n 1 n 2 ;7、Y P 1X ; 8、封闭;2c d9、3 3；10、相同的维数。a b四、改错题1、如果p(x)星f(x)的导数f'(x) > k 1重因式,那么p(x)就是f(x)的k重因式p(x)星f (x)的因式且是f (x)k 1重因式2、若线性方程组AX B相应的齐次线性方程组AX 0有无穷多解，那么AX B也有 无穷多解。当AX=M时，AX=Bfe有无穷多解3、设A是一个m n矩阵，若用m阶初等矩阵E 3 5 ,4右乘A ,贝U相当对A施行了一次A的第三列乘5加到第四列”的初等变换。A的第4列乘5加到第3列4、若