高等代数2011

1、浙江师范大学2011年硕士研究生入学考试初试试题(A卷)科目代码：881 科目名称：高等代数适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、系统理论提示：1、请将所有答案写丁答题纸上，写在试题上的不给分；2、请填写准考证号后6位：o一.填空题(共8小题，每小题5分，共40分)1. 设 f (x), g(x), h(x)都是数域 P 上的多项式，f (x) = g (x)h(x) +1 ,则 (f (x), g(x) =。2. 如果n -1次可微函数组f1(x), f2(x)，,fn(x)在实数域上线性相关，那么 行列式f1(x)f2(x)fn(x)f1 (x)f2 (x)fn (x),

2、- * -(n q ,、(n _L) z 、(n )，、f1(x)f2(x)fn(x)3. 如果A是n阶实对称正定矩阵，则A的特征多项式：f (x) =%n +a /工+an+an的所有系数至少有 个<0。'' A A2 '4. 设A是n阶矩阵，X为2Mn矩阵，则矩阵方程23 X=0其中的一、A A )个解为C( *a11a12a13a145.如果a21a22a23a24是正交矩阵，那么齐次线性方程组a31a32a33a34041a42a43a44 J富* +a12x2 *a13x3 *a14x4 =011预21*十a22x2 *a23x3 *a24x4 =0的_

3、个基础解系是。6.如果±1是n阶矩阵A的特征值，那么|e-A2|=<7.设n阶矩阵A的特征多项式是(>_1)n，并且A相似丁一个对角矩阵，那么属丁特征值1的特征子空间的维数=。8.如果向量组 口 1 =(a,1,1,1),禺=(1, a,1,1), 03 = (1,1, a,1),楫=(1,1,1, a)线性相关，那么a =。10。0 a101。0 a2八、0010 a3二.(15分)计算行列式：31 A A A A A A. A A0001 ana1 a2 a3a”b三.(15分)设V1是数域P上的线性方程X1+X2+Xn =。的解空间,V2是数域P上线性方程组X1=0

4、x2 -x3=0、A - Xn =0的解空间(n 23 ),(1)分别求出V和V的维数和一组基；(2)证明 Pn=v2四. (20分)在p3中，定义变换。为0(X1, X2 ,X3)= (Xi , X1 - X3, X2)(1) 证明疔是p3的线性变换；(2) 求。的特征值和相应的线性无关的特征向量。五. (20分)用R表示实数域，用V表示所有形如a1 a2 I的二阶实数矩阵组<32ai )成的集合：V : | a1a2"a?，Ri如2一a1(1)证明V关丁矩阵的加法和实数与矩阵的数乘是R上的线性空间;(2) 求V的维数；(3) 对任意的a = & a2 , B = &

5、quot;b2 e v ,证明V关丁下面定义的#2 ai /2 bi ;二元函数：(A, B) = a a2b2成为欧氏空间；一， m i、 、，(4) 取矩阵Q =，对任意的A W V，定义变换&为：L1叮二(A) =Q AQ证明：o是V的一个正交变换。六. (15分)设fi(x), f2(x)，fn(x)都是数域P上的多项式，f (x) = fi (xn) +xf 2 (xn) +十x Jfn(xn) , g (x) =1 +x +x2 +十 xn如果 fi(1) =f2(1)=fn(1)，证明：g(x)|f (x)。七. (i5分)设A是反对称实数矩阵，证明：(1) A的特征值是零或纯虚数；(2) 如果E ±A都是非退化的，那么(E -A)(E +A)是正交矩阵，且不以-i 为特征值；(3) 证明E ±A都是非退化的。八. (i0分)设A是ns列满秩实数矩阵，秩(A) =s ,其中A是A的转置矩阵，证明：(i) aA是正定矩阵；(2) A(AA)A是半正定矩阵；(3) 存