常微分方程总结资料9

1、（1）概念微分方程：一般，凡表示 未知函数、未知函数的导数 与自变量的之间关系 的方程。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如：一阶：dx2x二阶：d 2s dt2O.4三阶：3x y2x y24xy 3x四阶：4 y4y1Oy 12y 5y sin 2x般n阶微分方程的形式：F x,y,y,L,yn O。这里的yn是必须出现（2）微分方程的解设函数y x在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，Fx, x,xL x"0 则 y x 称为微分方程 F x, y, y ,L , y n 0的解。注：一个函数有n阶连续导数-该函数的n阶导函数也是连续的。函数连续T

2、函数的图像时连在一起的，中间没有断幵（即没有间断点）。导数-导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。导函数连续-原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。函数连续定义：设函数y f x在点xo的某一邻域内有定义，如果 lim f x f x0则称函数f x在点x0连续。x xo左连续：lim f x f xo f X。 左极限存在且等于该点的函数值。X xo右连续：lim f x f xo f X。 右极限存在且等于该点的函数值。x xo在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区 间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。函数在 x0 点连续l

3、im f x lim f x lim f x f x0x Xox Xox Xo1、f x在点xo有定义2、lim f x极限存在x xo3、lim f x f xox x（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解。注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。补充：设yi x ,y2 x丄yn x是定义在区间I上的n个函数，若存在n个不全为零 的常数（强调存在性，找到一组常数即可） ki,k2,L ,kn，使得当对 x I时 有恒等式：kiy-i （x） k2y2（x） L kny3 x o成立。则称这n个函数

4、在区间I上 线性相关|。若当且仅当ki,k2丄，kn全等于零该等式才恒成立。则这 n个函 数在区间I上就线性无关。例:函数1,si n2x,cos2x在整个数轴上线性相关。Q 1 sin2 x cos2 x o恒成立。 函数1,x,x2在任何区间 a,b t线性无关Q要使ki k?x ksX2 o恒成立，则 ki k2 k3 o否则：若k1,k2, k3不同时等于零，则k?x ksx2 o最多只有 两个x的值能是该式恒成立。对 x不具有普遍性。对两个函数yi x ,y2 x而言：yL丄 c（常数）t线性相关y2 xyi xx （函数）T线性无关y2 x定解条件（初始条件）：微分方程的通解中含有

5、任意常数，实际情况t提 出确定这些常数的条件。通解t特解一阶微分方程定解条件一般为：y x勺y0二阶微分方程定解条件一般为：y x冷yo, y x x yo其中xo,yo, y都是给定 的值。微分方程的解t yx的图形是一条曲线t称作微分方程的积分曲线分方程的初值问题。记作y f (x, y)y x xoyo几何意义：求微分方程的通过xo,yo的那条积分曲线二阶微分方程的初值问题：y f x, y,yy x xoyo, y x xoyo几何意义：求微分方程的通过点xo, yo且在该点斜率为yo的那条积分曲求微分方程y f （x, y）满足初始条件y x沧y0的特解这一问题称作一阶微（4）几种常

6、见的微分方程1、可分离变量的微分方程一般形式形式：yf （x,y）对称形式：p x, y dx q x, y dy o （ x, y都可以看做函数，另一个为自变量）dyp x, ydxq x,y “即：（q x, y o）或（p x,y 0）dxq x, ydyp x,y可分离变量：如果一阶微分方程能写成g y dy f x dx的形式。特点：一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx。这样微分方程称为可分离变量的微分方程。例：求解dx2xy的通解11 2 2 解：dy 2xdx宀 dy2xdx f In y x2 c宀通解：yex C1 cexyy2、齐次微分方程一阶微分方程可以化成巴

7、f dxy的形式。x第13页y ux,dy duxdx dxdux u dx1du dxx(可分离变量)通解22 dyy x 一dyxy - dx2yxdy dxy dyx dxdxdu11x u1 u1 -dudxdxux例：解方程y2煜xydxIuIn ux u c(ux c2e2 duduu 一x uu 一 x udxdx1丄du1-dx u InuInxcuxIn y c x_yxy ux, y c2ex3、一阶线性微分方程若史p x y 0，称为一阶齐次线性微分方程。dx若史p x y q x ( q x 0),称为一阶非齐次线性微分方程。 dx解2 pxy 0的通解如下：可分离变量

8、的一阶微分方程dydx1dy p x dx yIn y p x dx c1p x dxyqep x dxce米用积分因子法求（齐次方程通解）dy pxy dx的一个特解如下:指数因子：epxdx乎pxydxp x dx edydxp x dx ep x dxp x dxx ep x dxe y qp x dxdxp x dxqp x dxdxdy p x y q x dxp x dxp x dxp x dxy ceeq x e dx例:求解dydx22一x151 2的通解dydx2yx 1dydx2yx 1dy2y%1In2y1 2InCiIn2y2ln2c1In2yInIn 2c2In2yI

9、n 2c x非齐次特解:dydx2y12In2 dxx 1 y2dxx 12 dxx 1 y2dxe x1通解:2In e52dx11 2dx12dxC14、伯努利方程形如:当n当n1 nydz1 n dx1 npxyya In xxy2的通解作变量代换（积分因子公式法）（答案：yx c a ln x $1）2dynP x y q x ydx0时，3 pxy q x 一阶线性微分方程（公式法）dx1时，3 pxy q x yq x p x y可分离变量微分方程dxdx求通解过程:1pxy乎pxydx注：表示导数写法y5二阶线性微分方程dyx 一q x yf xdxd2y dx2pdyx 一 d

10、xq x y0称为：二阶线性齐次微分方程。d2y dx2pdyx 一 dxq x yf x称为：二阶非齐次微分方程。dydxy4ny ，L y 。形如：噪pdx若f x 0时，若f X 0时，推广：n阶线性微分方程yn a! x yn 1 L an 1 x y an x y f x 线性微分方程解的结构：对 Q* p x史q x y 0dx2dx定理1:如果函数y1 x和y2 x都是 写 p x史q x y 0的两个解，则dxdxy CiY） x c2y2 x也是该方程的解。其中c1， c2都是任意常数。证明：y C! y1 x c2y2 xc1y1 x +c2y2 xQ y1 x是原方程的解

11、，贝9：Q y1 x p x % x q x % x 0Ciyi x p xCiyi x q xCiyi x 0q xc1y1 xc2y2 x 0、同理 c2y2 xpxc2y2x q xc2y2 x 0解:0,iy c1 cosx q sin x得证：y y1 xc2y2 x 是d4 P X 鱼 q x y 0 的解。dxdxc1y1 xc2y2 xp xc1 y1 xc2y2 x可验证：y1cosx和y2 sinx疋y y 0的两个解tan x，线y1cosx性无关定理3设y x是二阶非齐次线性微分方程寻p x翠q x y f xd2ydx2的一个特解，且Y x是二阶齐次线性微分方程寻p

12、xq x y 0的 通解。则yYx y x 是二阶非齐次微分方程x的通解dyp x 一 q x y dx定理i:设二阶非齐次微分方程pxd；qxyx的右端f x是两个函数之和即 f xf1(x) f2(x)。 形 如d2ydx2dyp x q x y dxfl(x)f2(x)且yi x与 y2 x 分别是d2ydy孫 pxdx q xyfi(x)和第dxpx 巴 q x y dxf2（X）的特解，y1 x y2 x就是原方程的特解。（解的叠加原理）程x2y 2xy 2y 2x3 的通解。（答案 y ex C2X2 x3）6二阶常系数齐次线性微分方程2例：已知y, x x是齐次方程x2y 2xy 2y 0的一个解，求非齐次线性方二阶常系数齐次线性微分方程py qy 0 或 dxyp鱼qy 0其中p,q均为 dx当p x ,q x均为常数，即y常数。求解：yc2py qy 0pq 0三种情况:1）两个不等实根：1? 21Xy se2XCe2）两个相等实