常微分方程期末考试试题A卷

1、多练岀技巧巧思岀硕果常微分方程期末考试试卷一.填空题 (共30分，9小题，10个空格，每格3分)。1、当寸，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=O称为恰当方程，或称全微分方程。2、 为齐次方程3、求dy =f(x,y)满足®(xo) = yo的解等价于求积分方程 的dx连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，贝U方程= f (x, y)dx的解y=®(x,Xo，yo)作为x,Xo,y°的函数在它的存在范围内是 。5、若Xi(t),X2(t),. X3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件6 方程组X，=A(t)

2、x的 之为X，= A(t)x的一个基本解组。7、 若*(t)是常系数线性方程组x，= Ax的基解矩阵，则expAt =。8、满足'勺点(x* ,y* ),称为方程组的奇点。9、 当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 寸零解是稳定的，对应的奇点称为。、计算题(共6小题，每题10 分)1、求解方程:dy _ x _ y 1dx x y232、解方程：（2x+2y-1）dx+（x+y-2）dy=0i并求通3、讨论方程 先=| y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,过点（0, 0）的一切解4、求解常系数线性方程：x -2x/ 3 e1 cost（1 2、5、试求方程组xAx的

3、一个基解矩阵，并计算eAt,其中A为<4 3丿a,b,c为常6试讨论方程组=ax by, 鱼=cy （ 1）的奇点类型，其中 dtdt数，且ac=0。三、证明题（共一题，满分10分）。A(t_t°)试证：如果（t）是x Ax满足初始条件:（t0 ）=的解，那么：（t）二答案一、填空题。(30分)、弹(x,y) _ fN(x,y)yx2、卜“)dx xx3、 y= yo+f(x,y)dxLxo4、连续的5、w ki(t),X2(t,),.,Xn(t)丄 06 n个线性无关解7、：(0)8、X(x,y)=0,丫(x,y)=09、 为零稳定中心、计算题。(60分)1、解:2(x-y+

4、1)dx-(x+ y +3)dy=02xdx-(ydx+xdy)+dx-ydy-3dy=011即dx2 -d(xy)+dx- dy 3-3dy=0 231 213所以 _xxyxy_3y二 C2 32、解：奢一2匕1 '令 Z=x+y则主=1勺dx dxdz , 2z -1 z 1-z 2 ,1,dz = dxdx z-2- z 2 z 1所以 -+3ln|z+1|=x+C1 , In |z 1 |3=x+z+C1即(x y 1)3 二 Ce2x y3、解：3 1科1上设f（x,y）= - y3,则 =y（yHO）2ey2故在y式0的任何区域上 f 存在且连续，因而方程在这样的区域中满

5、足解的存在唯一性定理的条件，显然，y三0是通过点（0，0）的一个解；d313又由= - y3解得，|y|=（x-cpdx 2所以，通过点（0，0）的一切解为y三0及'0（x 兰c）|y|=<3、，fx _c）2（X A c）, c A 0是常数4、解:(1) k2 2丸 +3 = 0,人,2 =1± V2i齐次方程的通解为 x=e (g cos2t+C2Sin V2t)(2) 九=-1 士i 不是特征根，故取 x=(Acost + Bsint)e_L54代入方程比较系数得A=-，B=- 4141于是 x =('cost -sin t)ex41411通解为 x=

6、et(c1 cosV2t +c2sin V2t) +一 (5cost 4sin t)e"t415、解:九一1_ 22detE A）=¥? 4、5 = 0-4 几一3所以，% = -1,打=5设人=1对应的特征向量为v多练岀技巧巧思岀硕果-2i6解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件142 V =0-4可得Vir1I-1同理取V2二_L5t所以，门（t）= e5te v22e5L At e二 G（t）（0）二_L5tre_l_L e5tY12 -12e5t 1e5t - 2e_l5t-e_l2e5t-12e5t -2e2e5t e又由 det(A- - E)=人2 -(a + c)k + ac= 0得所以，方程组的奇点（0, 0）可分为以下类型:a,c奇占为结占a<o,cvo,稳定结点acAO奇点为结点丿十雀宀/亠-a式c卫> 0, c > 0,不稳定结点、 accO奇点为鞍点（不稳定） b式0,奇点为退化结点：a £ 0, c £ 0,稳定结点b = 0,奇点为奇结点a a 0, c > 0,不稳定结点二、证明题。 （10分）证明：设的形式为（t）=eAtC(1)ac = 0，故奇点为原点（0, 0）（C为待定的常向量）多练岀