常见分布的期望和方差

1、常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差0-1 分布 B (1, p)Ppq二项分布B (n, p)泊松分布P(入)入入均匀分布U ( a,b)正态分布N (, 2)指数分布E (入)2分布，2(n)t分布，t(n)0概率与数理统计重点摘要1正态分布的计算：F(x) P(X x)(-)2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求Y f(X)的概率密度：fY(y) fX(x)h(y) h'(y)。(参见P6672)3、分布函数F(x, y)f (u, v)dudv具有以卜基本性质：、是变量x，y的非降函数；、0 F(x, y) 1，对于任意固定的x，y有：F( ,

2、y) F (x,)0 ；、F(x, y)关于x右连续，关于y右连续；、对于任意的(Xi, yj,(X2, y2), Xi X2,% y，有下述不等式成立：4、一个重要的分布函数:F (x, y) 丄( arctan°)( arctan)的概率密度为:232f(x, y)F(x, y)x y62(x24)( y2 9)i 15、二维随机变量的边缘分布:边缘概率密度:fx(X)fY(y)f (x,y)dyf(x, y)dx边缘分布函数:Fx (X)F (x,)FY(y) F( ,y)Xyf (u,y)dyduf (x,v)dxdv二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。6、随机变量的独立性

3、：若 F(x, y) Fx(x)FY(y)则称随机变量X, Y相互独立。简称X与Y独立。7、两个独立随机变量之和的概率密度：fz(z)fx(x)fY(z x)dxfY(y)fx(z y)dy其中Z= X+ Y8两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bY : N(a i b 2,a2 ； b2 2 。9、 期望的性质：(3)、E(X Y) E(X) E(Y) ; (4)、若 X, Y相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y)。2Cov(X,Y)，10、 方差： D(X ) E(X2) (E(X)2。若 X, Y不相关，贝卩 D(X Y) D(X) D(Y)，否则 D(X Y)

4、 D(X) D(Y)D(X Y) D(X) D(Y) 2COVX,Y)11、协方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y)，若 X，Y独立，则 Cov(X,Y) 0 ,此时称：X与 Y不相关。12、相关系数:XYCov(X,Y) _Cov (X,Y)_(X) (Y) D(X),.D(Y)13、k阶原点矩：vk E(Xk)k阶中心矩:XY当且仅当X与Y存在线性关系时kk E(X E(X) oXY1，且XY1,当 b>0;1,当 b<0o14、 切比雪夫不等式：P X E(X)D,或P X E(X)1 n15、 独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因P丄 Xjn i 116、独

5、立同分布序列的中心极限定理：1 D(X)。贝努利大数定律：lim Pn 0m p1 n2，所以 nim0P-n Xin i 11 o(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和n乙Xi的分布近似于正态分布 N(n ,n 2) onnn(2) 、对于 Xi, X2,.Xn 的平均值 X - Xi，有 E(X)丄 E(Xi) -, D(X)厶 D(XJ ，即独立同nnnnnn分布的随机变量的 均值当n充分大时，近似服从正态分布 N( )。n(3) 、由上可知：lim P a 乙 b (b)(a) P a 乙 b (b)(a)。n17、 棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件 A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意x,lim P ： np x (x)，其中 q 1 p。 n.叩q(1) 、当n充分大时，m近似服从正态分布，N(np npq)。(2) 、当n充分大时，近似服从正态分布，N(p,凹)。nn18、 参数的矩估