高阶方程的降阶技巧

1、目录一. 高阶方程的引入及定义 1二. 几类常见的可降阶的高阶微分方程 2（一）y " = f （ x ）型的微分方程 2（二）y“=f（x, y）型的微分方程 3（三）v ' = f （ y, y ）型的微分方程 4（四）二阶方程的藉级数解 5三. 其他情况的高阶微分方程 7四. 总结 1212参考文献高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程 的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。 对于不同高阶微分方程给出了相应的 降阶方法。关键词：线性微分方程，降阶，非零特解一. 高阶方程的引入及定义所谓阶，就是导数（或微分）的最高阶数.函

2、数未知，但知道变量与函数的代 数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方 程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方 程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程 .而高阶微分方 程，即阶数大丁二或者等丁二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理 问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程 来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对丁二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，

3、则 可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解， 从而得到方程的通解，对丁非齐 次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。 因此，问题的关键就在丁寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。一些相关定义如果方程（i）dy . dny、F(x，y，"0的左端为y及业，%y的一次有理整式。则称（1）为n阶线性微分方程.不是 dx dxn线性方程的方程称为非线性微分方程.如果函数y=?（x）代入方程（1）后，能使它变为包等式.则称函数y=?（x）为方程（1）的解.我们把含有n个独立的任意常数Ci，C2Cn的解y =叩（0|£2Cn）称为n阶方程（1）的通解.所谓

4、n阶微分方程（1）的初值条件是指如下的n个条件：当x =为时，J y (nJ)=y。_ dy _ (1) . . d y = y0'd7 = y0, 次这里 x0，y0，y01) "y0nT是给定的n+1个常数，初值条件有时写为10n 4 dxn-1dy(x°)(1). dy(x°)号)y(x0)= y°，一 = y°，= y°dx求微分方程满足定解条件的解二. 几类常见的可降阶的高阶微分方程二阶微分方程的求解：(一)y"= f (x)型的微分方程特点:等式右端不含y, y,仅是x的函数.解法：将y作为新的未知函数，

5、然后对原方程降阶，令Z = y J y“ = z则有z，= f (x),方程两边同时积分得z = f(x)dx g即y = f ( x) dx c1再积分得y = f (x)dx dx c1x c2同理对丁 y(n) = f (x),令 z= ygJ Z = f (x),积分得：y (n)=f (x) dx c1则原方程变形为n-1阶，对其继续积分得y(n2 = . f (x)dx g dx c2则方程变为n-2阶,如此连续积分n次即得原方程的含有n个任意常数的通解.例1 解三阶方程：y= sin x - cos x解: 等式两端同时积分y = y dx = (sin x - cos x)dx

6、-cos x - sin x g再积分y = ydx= (-cosx-sinx q)dx-sin x cosx c1x c2再积分y = y dx = (sin x cosx c1x c2)dxG 2_=cosx sin x xC2x c32这就是所给方程的通解.（二）y"= f（x,y）型的微分方程特点:右端不含y.解法:降阶令y，=pn yJp'代入原方程得：(2)乎=f(x, p) dx若f（x, p）为如下一些一些类型，可分别求得（2）降阶式的解.i.ii.iii.iv.dyp (x)dx - p(x) dx-+p(x)y=q(x)通解：y = c + jq(x)e、

7、 dxe、 dx业+ p(x)y =q(x)yn,(n # 0,1 )通解：dx1(1 n) p(x)dx一(1 顼)p(x)dxy n = c (1 - n)q(x)edxe(方法两边同时除以yn,将y*拿到dy中，即dy)虬=g 匕 令u = y = ux，则* = x-dp + u，即求出u与x的关系，再将u代回，即得答案.dy _ a1 x b1 y c1dx a? x b2 y c2若 * = J 黄 旦，则令 u = a2 x + b2 ya2 b2c2akc工a1xb1yg = 0若色=S =也，则令1 仃 1=("：)a2b2c? a2xb2 yc2 = 0再令 X，

8、 dy =伞 b1y =g(Y)Y = y - dx a2x b2yX已上求得的解为p =W（x，g） .回代y'= p，得也=%x，c1）变量可分离的一阶方程，积 dx分得y =( x，c1 )dx c2(1 x2)y = 2xy.y A =1, y lx=o = 3令y ' = P ,则y " = dL ,则方程变为:2 dp(1 x2) 2xpdxdxdpP2、c1 = 3 ,则y = p = Ci(1 + x )因为 y lx= 3,3y = x 3x C2,因为 y |xz = 1 , ,二C2 = 1 ,所以所求特解为：y = x3 + 3x +1.(三)

9、y"= f (y,y)型的微分方程特点:右端不含x.解法:降阶令y' = dy =pn y"=dp .由复合函数求导法则得 dxdxy =业=业取=?亚dx dy dx dy代入原方程得：dp pf (y, p)dy这是一个关丁 y,p的一阶方程,若以求得它的通解为：y = p = (y,C1)变量可分离的一阶方程，积分得：1,dy = x C2(y, G )即原方程得通解.例 3 求 yy "= 2( y')2 - y满足 y (0) = 1, y'(0) = 2 的特解 解： 令y = p ,则y " = p 詈，则方程变为:

10、dp 2、yp 2( p - p) dyy dy = 2( p _ 1) (； p = y# 0)分离变量得：一1dp = %dy，等式两端同时积分化简得：p - 1yp-1 = Gy2,即 y = Gy2 +1,把 y = 1 时，y = 2代入上式得 g = i, 则方程化为dydx分离变量得:dyy21dx积分得： arctan y = x C2 = y = tan( x C2)一 , 兀 将y(0) =1代入解得C2 = 2，故原万程的特解为：(n)y = tan! x.4(四)二阶线性方程的籍级数解对带初值条件的二阶齐次线性方程2+ p(x)l +q(x)y =0, y(0) = y

11、°, y'(0) = y0 这里 x° = 0 ,否则可引进新变量dx dxt =x -x0化为t0 =0.有如下定理L定理 若方程中系数p(x), q(x)或xp(x), x2q(x)能展成收敛区间为x<R的籍级数，则二阶齐次线性方程有收敛区间为x < R的籍级数特解n =0oO y = xa'n anxn =0C3O-.na n xn =0这里"为待定常数.ii - n阶贝塞尔方程2 d2ydy / 22、x 2 x (x -n )y = 0dx2dx(n为非负常数),有特解yi =QOzk =02k ni xk!(n + k+1)

12、l2j(-1)kJn(x)y2 =azk =0(-1)kk !】(-n k 1)三 J _n(x).n阶贝塞尔方程有通解y = cJn(x) +C2J(x),其中G,%为任意常数.Jn(x)(或J = (x)是由贝塞尔方程所定义的特殊函数，成为n(或-n)阶(第一 类)贝塞尔函数.1r(s)的定义：当s芝0时r(s)= xs%"dx；当s<0时且非整数T(s)=(s + 1).0s(s)有性质：(s+1) =s(s);对正整数 n,有(n+1)=n!(一)y(n)般情况=f(x, y(k),.,yg)型的微分方程特点：不显含未知函数y及y',.,y(k-1)解法:令y(

13、k) = z,则(k 1)y(n) (n _k)=z , y z(n-k)(n-k)z f (x,z,.,z)求得z,将y (k)= z连续积分k次，可得通解.(二)y(n)= f( y寸).y型的微分方程特点:右端不显含自变量x.解法:设y' = p(y),则y =虹也=p dp_dy dx dy2 d 2 d i'dp y = p r p ，dydy代入原方程得到新函数p(y)的n-1阶方程，求得其解为:£ = p(y) = (y,ci,., Cnj) dx原方程通解为：dy：(y,Ci,., Cn j)(三)齐次方程特点：F (x,ty,ty,.，ty(n) =

14、 tkF (x, y, y,., y(n)zdx 解法：可通过变换y = e将其降阶，得新未知函数z(x).zdx.2. z d xy = z e , y= ( z Ze,(n ).,/-n(_ 1 ) . zcVi (z ,z , . z . , e )代入原方程并消去e k zdx得新函数z(x)的n-1阶方程f (x, z, z ,., z(") = 0例4 求方程x2yy" = (y - xy)2的通解.zdx21解： 设y = e J ,代入原方程，得z'+z =，解得其通解为x x原方程得通解为C1c2 xe注：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意： 一般

15、情况，边解边定常数计算简便; 遇到开平方时，要根据题意确定正负号。三. 其他情况的高阶微分方程N阶微分方程一般地可写为F (t, x, x',., x(n) = 0下面讨论几类特殊方程的降阶问题。i.方程不显含未知函数x,或更一般地，设方程不含x,x',.,x(k4,即方程呈 形状(k) (k 1)(n)、F(t,x ,x ,.,x ) = 0,(* km n)可降低k阶.令y = x(k)，方程降为y的n-k阶方程F(t,y,y',.,y(j)=0.若求得 上面所示方程的通解y =(t,Ci,C2,.,Cn_k),即x(k) = (t,q,C2,.,Cj),再经过k次

16、积分得到x = (t , Ci , C2 ,., Cn ),其中C1,C2,.,Cn任意常数.可以验证,这就是方程F(t, x, x',.,x(n)=。的通解.例5求方程乌_1廿=0的解.dt 5 t dt 4解： 令d x = y，则方程化为 也-1 y = 0，即方程化为一阶方程.dt 4dt t4°d x .方程积分后得y = Ct,即二3 = ct, dtx = C1t4C2t3C3t2C4tC5其中Ci, C2, C3, C4 , C5为任意常数，这就是原方程的通解.ii .不显含自变量t的方程F (x, x ,., x(n) = 0令y=x',视x为新自变

17、量，而视x为新自变量，则方程就可可降低一阶，事实上,在所作的假定下,x'=y,x” = dy = dyx' = ydy,x”'=ydyl + y2 d y ,.,采用数学dt dx dxIdxJdx2归纳法可以证明，x(k)可用y,-dy ,.,-v表出(kn).将这些表达式代入原式dx dxn可得 F(x,y,座,.,Jf) =0.dx dx 一iii .齐次线性微分方程nn Jd x 一、 d _x角 计. an(t)x =0.dtdt 一其求解问题归结为寻求方程的n个线性无关的特解，但如何求这些特接呢？没有 普遍的方法可循.这是与常系数线性微分方程的极大差异之处.

18、但是我们指出，如 果知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶；或更一般地，若知 道方程的k个无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶.并且 得到的n-k阶方程也是齐次线性的.设X,X2,.,Xk是上述方程的k个线性无关解，显然Xi不包等丁 0(i=1,2,k),令x = x<y ,直接计算可得x' = XkV' xk 'y,x” = xky” 2xk'y' x'y,(n)(n)- (n J)n(n 一1) (n-2)七.* (n)xxkynxky xk yxk y2nn将这些关系式代入 一+a1(t)+. + an

19、(t)x =0中，可得dtdt”xkY(n) f 利风就-1). x：n) *厂. aJy = 0, 这是关丁 y的n阶方程，且各项系数是t的已知函数，而y的系数包等丁零,因为治 是此方程的解.因此，如果引入新未知函数z = y',并在/ #0的区间上用&除方 程的各项,我们便得到形状如/)fci(t)z(n) . 4)(t)z' b®)(t)Z=0的n-1阶齐次线性微分方程.r y因有关系x = xk Jzdt或z = y'=.因此，对丁上述方程我们就知道它的r yk-1个线性无关解乙=& (i = 1,2, ，k-1).b (t)Z(E +

20、 . + 4)(t)Z'+ bg)(t)Z = 0的解,事实上，Z|,z2,.,zkA是 z(nJ) 十 假设这k-1个解之间存在关系式ax W2X2. - akjXkjakA 三 0 ,aiXiXUa?X2XUXk J. 乳I Xkii其中ai,a2,.,a心是常数，那么就有Xiai 一I Xk a.Xk iXk一 a kaiX|a2X2. ak虱为 一 0 ,由丁 Xi,X2,.,Xk线性无关，故必有 a =a2 =. = ak =0.这就是说 4/2,., Zk是 线性无关的.因此，若对z(7 +bi(t)Z(E +. +吊(t)Z'+bg)(t)Z = 0仿上做法，可进

21、一步令z = fudt ,则可将方程化为关丁u的n-2阶齐次线性微分方程(n (n_3)u G(t)u . Cn 项t)u=0,并且还知道方程此方程的k-2个线性无关解z ；-Ui = I ，,1 =i,2，,k2利用k个线性无关特解当中的一个解a,可以把方程nn _id xdxai(t)行. an(t)x = 0dtdt降低一阶，成为n-i阶齐次线性微分方程Z(n旬bi(t)z(n*).b(n)(t)z' b(n_i)(t)z = 0并且知道它的k-i个线性无关解；而利用两个线性无关解Xk,Xk】，则乂可以把方nnW-Vai(t)了渚. an(t)X = 0dtdt降低两阶，成为n-2阶齐次线性微分方程u(nSq(t)u(n' . cUt)u=0,同时，也知道了它