平行四边形的性质及判定典型题精选

1、平行四边形的性质及判定第15页共17页知识点睛1 平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等. 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形. 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍.平行四边形的面积：底乘以高.2.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.例题精讲、平行四边形的性质【例2】如图，点E，F是平行

2、四边形ABCD对角线上的两点,且BE =DF，那么AF和CE相等吗？请说【例1】如图，四边形 ABCD为平行四边形，即 AB / CD , AD / BC .通过证明三角形全等来说明: AB CD , AD =BC .（对边相等）A0二CO , B0二DO .（对角线互相平分）明理由A【例3】如图所示，已知四边形ABC D，从AB II DC :AB =DC :AD II BC ； (4) AD =BC ；NA =C ；6) ZB =ND中取两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD是平行四边形的有哪几 种情形？请写出具体组合。【例4】如图，在平行四边形 平行四边形AB CD中,E F II B

3、 C , G H IIAB，EF 与 GH相交于点【例引如图，在平行四边形EC的长度分别为(A. 2 和 3 B .ABCD) 3和2中,O，图中共有AD =5 , AB =3 , AE平分£ BAD交BC边于点E，则线段BE ,C. 4 和 1【例6】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作()A . 2个B . 3个C. 4个D . 5个【例7】 如图，平行四边形 ABCD中，AB _AC .对角线AC , BD相交于点0，将直线AC绕点0顺时 针旋转，分别交 BC , AD于点E , F . 证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段 AF

4、与EC总保持相等.【例8】 在平行四边形ABCD中，点Ai、A?、A3、A。和Ci、C2、C3、C4分别为AB和CD的五等分点，点Bi、B2和Di、2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形 ABCD 面积为（）A A i幻如R【例9】如图，在平行四边 ABCD中，AC 面积为（）A 3B 6C. 12BD为对角线，BC =6 , BC边上的高为4，则阴影部分的D . 2435A. 2B .C.D .1553【例10】现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想 用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计

5、三种不同的分割方案.【例11】如图3，一个平行四边形被分成面积为S1、S2、S3、S4四个小平行四边形，当 CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时. S1S4与S2S3的大小关系为 已知点C与点A、B不重合时，图中共有 个平行四边形，A【例12】如图1 , °! ,。2 ,。3 ,。4为四个等圆的圆心， A , B , C , D为切点，请你在图中画出一条直 线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图2,°!，°2，°3，°4，°5为五个等圆的圆心，A，B，c, D，E为切点，请你在图中画出一条直线，

6、将这五个圆 分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 .C°4°3DBA°2°5°1【例13】如图，E, F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF. 求证：(1). -AD F 也. 'CBE ；(2) EB / D F .【例14】如图，已知：在平行四边形 ABCD中，.BC D的平分线CE交边AD于E , ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G .求证：AE =DG .【例15】已知：如图，平行四边形ABCD内有一点E满足ED _ AD于点D，/ EBC - . EDC，/ ECB =45 请找出与BE相等

7、的一条线段，并给予证明.【例16】如图，EF是平行四边形 ABCD对角线AC上两点，BE II DF ,求证:AF =CE .【例17】如图，平行四边形 AB CD 中，AE_BD于E， CF_BD于F .求证：AE =CF .【例18】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，过A，C两点分别作AE _ BD ,CF_BD，E，F为垂足，求证：四边形 AECF是平行四边形【例19】如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE 证：S .A* =S efc .AB的延长线交于点F ,连接AE、CF .求【例20】如图，已知等边三角形的边长为 1 0 , P是.ABC内一点，PD / A

8、C , PE II A B , P F / BC，点D，E , F 分另IJ在 AB , BC , AC 上，贝PD PE PF =A【例21】如图1，在平行四边ABCD中，.A =120，则.D二AA图1【例22】如图2，在平行四边形 ABCD中，DB=DC， / A =65 ， CE _ BD于E，则.BCE 口D图2【例23】已知四边形的四条边长分别是a , b，c，d ，其中a，b为对边，并且满足a 2 b2 - c2 d2 =2ab - 2cd则这个四边形是（）A 任意四边形B.平行四边形C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形【例24】（2009东营）如图3,在平行四边ABCD

9、中，已知AD =8 cm ,A B = 6 cm , D E 平分乙 ADC交BC边于点E，贝U BE等于cm .图3【例25】已知平行四边形ABCD的周长为60 cm ,对角线AC、BD相交于0点，;AOB的周长比BOC的 周长多8cm，贝U AB的长度为cm .【例26】一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a的取值范围是【例27】如图，是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF , AB / DC , BC II D F，从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B _D _A _E，路线2是B _C _F _E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明.【

10、例28】如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABC D是平行四边形，BE_AC , D F _ AC , E、F是垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG , GF , FH . HE为公园中小路，问小明从 B 地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E地，谁的路程远.【例29】在平行四边形A BCD中，过A任作一直线AM，过B、C、D作AM的垂线BE、CF、DG , 垂足分别是E、F、G，求证：BE =DG _CF .【例30】AC是平行四边形OF _ AD 于点 F ,ABCD较长的一条对角线，点0G _ AC于点G，求证:AE .AB - AFO 是 ABC D内部一点， 0

11、 E _ A B于点 E.AD =AG AC .FAGE 0B二、平行四边形性质和判定的综合应用【例31】点A、B、C、D在同一平面内，从 AB II CD，AB =CD，BC II AD，BC = AD .这 四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）种A . 3B . 4C. 5D. 6【例32】如图，已知：AD是.-;ABC的角平分线,证：四边形BD EF是平行四边形D E II AB ,在AB上截取B F二A E，连接DE , EF，求【例33】已知：如图，在平行四边形 ABCD中，E , F分别是AB,CD的中点求证：.'AF D B.lCEB ; 四边形

12、AECF是平行四边形.【例34】如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以 AP、BP、CP、D P为边可以构成一个四 边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC .【例35】如图，四边形ABC D中，AB II CD ,. B =./D , B C =6 , AB =3，求四边形ABC D的周长.【例36】如图所示，在平行四边形AB CD中，、F是对角线 AC上两点，且AF =CE ,求证：四边形 BED F是平行四边形.【例37】已知：如图,AD II BC、ED II BF，且AF =CE .求证：四边形ABCD是平行四边形.【例38】如图，在平行四边形 ABCD

13、的各边AB , BC , C D , DA上，分别取E , F , G , H，使AE =CG ,BF =DH，求证：四边形 EFGH为平行四边形【例39】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F .若FE 圧，且 AF - AE =CP - CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.【例40】如图，在平行四边形 ABCD中，点E , F在AD , BC上, 与D F交于点N ,求证：四边形EM FN是平行四边形且AE=CF , AF与BE交于点MCE【例41】如图，在平行四边形ABCD中，点M、四边形MFNE是平行四边形.N是对角线AC上的点，且A

14、M = C N , DE=BF，求证:【例42】如图，E、F分别是平行四边形 ABCD的AD、BC边上的点，且 AE =CF .求证："BE也CDF ；若M ,N、分别是BE、D F的中点，连接MF、EN，试判断四边形 MFNE是怎样的四边形, 并证明你的结论.【例43】如图，过四边形AB CD对角线的交点0作直线E F交AD、 OB、0D的中点，求证：四边形 EH FG为平行四边形.B C分别于E、F，又G、H分别为【例44】.'A CD、UABE 、.汨 CF如图，为平行四边形.均为直线BC同侧的等边三角形.当AB = AC时，证明四边形AD FE【例45】如图，点E ,

15、 F , G , H , M , N分别在.-.ABC的BC , AC , A B边上，且NH / M G / BC , M E / NF / AC , GF II EH II AB，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从 F点 出发，黑蚂蚁沿路线 F > N > H > E > M > G > F爬行，白蚂蚁沿路线 F > B > A > C > F 爬行，那么（）A .黑蚂蚁先回到F点B. 白蚂蚁先回到F点C. 两只蚂蚁同时回到F点D .哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定【例46】以ABCD的对边AB、CD为边分别在外作等边.ABE、等

16、边.C D F .求证： 四边形AECF是 平行四边形.【例47】等边.'ABC 中，点D在BC上，点 E在AB上，且CD =B E，所以 AD为边作等边 四边形CDFE是平行四边形.'AD F .求证:【例48】如图，已知AC是平行四边形 ABCD的对角线，.:ACP和AACQ都是等边三角形，求证：四边形BPDQ是平行四边形.PDBAQ【例49】如图，JABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF / AB , D F / BE .求证：DF与AE互相平分.AF【例50】已知BD为平行四边形 AB CD的对角线，过C作CE II BD，连接AE交BD的延长线于F , 求

17、证：AF =FE .A【例51】如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角 A，B，C，D处均种有一颗大核桃树，田村准备 开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四 边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由，在D E【例52】如图，在."ABC中，.ACB =90，点E为AB中点，连结CE ,过点E作ED _ BC于点 的延长线上取一点F，使AF =CE .求证：四边形 ACE F是平行四边形.【例53】如图，在平行四边形 ABC D中，DE_AB于E , BM =MC=DC，那么.EMC与.BEM

18、的大小 关系怎样？第15页共17页【例54】已知平行四边形 ABCD， BC =2AB， M为AD的中点，CE_AB .求证：.EMD=：3. AEM【例55】已知：如图，平行四边形AB CD中，AE、BE、C F、D F 分别平分.BAD、. ABC、. BCD、. CDA ,BE、DF的延长线分别交AD、B C 于点 M、N .连接EF，若AD=7 , AB =4 .求 EF 的长.D【例56】G、H四点，若Sahpe=3SpfCG-5，求 S PBD如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交平行四边形于【例57】已知五边形ABCD E中，AC II E D，交 BE 于点 P , AD II BC , ?交 B E 于点