系统的数学模型(4)ppt课件

1、传送函数是描画系统运动规律的一种数学表达式。传送函数是描画系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传送函数，可以把工程中它是一个复变量函数。按传送函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。援用了传送函数的概念之后，可以更直观、更笼统援用了传送函数的概念之后，可以更直观、更笼统地表示一个系统的构造和系统各变量间的数学关系，地表示一个系统的构造和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化并使运算可以大为简化 。线性定常系统的传送函数定义为：当全部初始条件线性定常系统的传送函数定义为：当全部初始条件为零时输入量施加于系统之

2、前，系统处于稳定的为零时输入量施加于系统之前，系统处于稳定的任务形状，即任务形状，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均时，输出量及其各阶导数也均为为0，输出量，输出量y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)与输入量与输入量x(t)的的拉氏变换拉氏变换X(s)之比叫做系统的传送函数之比叫做系统的传送函数G(s)。 ( )( )( )Y sG sX s 设线性定常系统输入为设线性定常系统输入为x(t) ，输出为，输出为y(t) ，描画系，描画系统的微分方程的普通方式为统的微分方程的普通方式为 : nn 1n 2nn 1n 210nn 1n 2d ydydydyaaaaa ydtdtdtdt mm 1m

3、 2mm 1m 210mm 1m 2d xdxdxdxbbbbb xdtdtdtdt 式中，式中，nm; an、bm均为系统构造参数所决议的均为系统构造参数所决议的定常数定常数 。n，m=0、1、2、3 11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma s Y sa s Y sasY saY sb s X sbsX sbsX sb X s 根据传送函数的定义，系统的传送函数根据传送函数的定义，系统的传送函数G(s)为为 11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa sa 特征方程特征方程00(0)bGK

4、aX(s)=0 系统的特征方程，系统的特征方程，特征根。特征根。 特征方程决议着系统的动态特性。特征方程决议着系统的动态特性。 X(s) 中中s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。当当s=0时时 系统的放大系数或增益系统的放大系数或增益11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa sa ！从微分方程的角度看，此时相当于一切的导！从微分方程的角度看，此时相当于一切的导数项都为零。数项都为零。K 系统处于静态时，输出与系统处于静态时，输出与输入的比值。输入的比值。零点和极点零点和极点11101110.( ).mmmmnnnn

5、b sbsb sbG sa sasa sa 1212.( ).mmnnbszszszG saspspsp 12.0mmbszszsz 的根的根 1 2iszim，称为传送函数的零点；，称为传送函数的零点； 12.0nnaspspsp 的根的根 1,2,ispin ，称为传送函数的极点；，称为传送函数的极点；！系统传送函数的极点就是系统的特征根。！系统传送函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的构造参数！零点和极点的数值完全取决于系统的构造参数！零、极点分布图零、极点分布图传送函数的零、极点传送函数的零、极点分布图：分布图：将传送函数的零、极将传送函数的零、极点表示在复平面

6、上的点表示在复平面上的图形。图形。零点用零点用“O表示表示极点用极点用“表示表示12s 23s 3,41sj u 传送函数分母多项式中传送函数分母多项式中s的最高幂数代表了的最高幂数代表了系统的阶数，如系统的阶数，如s的最高幂数为的最高幂数为n那么该系统那么该系统为为n阶系统。阶系统。 结论结论u 传送函数经过系统输入量与输出量之间的关传送函数经过系统输入量与输出量之间的关系来描画系统的固有特性。即以系统外部的输系来描画系统的固有特性。即以系统外部的输入入输出特性来描画系统的内部特性。假设输出特性来描画系统的内部特性。假设输入给定，那么系统输出特性完全由传送函数输入给定，那么系统输出特性完全由

7、传送函数G(s) 决议。决议。u 传送函数是复数传送函数是复数s域中的系统数学模型。其参域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的构造及参数，与系统的数仅取决于系统本身的构造及参数，与系统的输入方式无关。输入方式无关。留意留意u 适用于线性定常系统适用于线性定常系统u 只适宜于单输入单输出系统的描画只适宜于单输入单输出系统的描画u 无法描画系统内部中间变量的变化情况无法描画系统内部中间变量的变化情况u 传送函数原那么上不能反映系统在非零传送函数原那么上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律初始条件下的全部运动规律u 传送函数中的各项系数和相应微分方程传送函数中的各项系数和相应微分方程中的

8、各项系数对应相等，完全取决于系统构中的各项系数对应相等，完全取决于系统构造参数造参数323252267d yd ydydxyxdtdtdtdt 43243226324d yd yd ydyyxdtdtdtdt32( )67( )( )522Y ssG sX ssss 432( )4( )( )2632Y sG sX sssss 11101110.( ).mmmmnnnnb sbsb sbG sa sasa sa 1212.( ).mmnnbszszszG saspspsp 设系统有设系统有b个实零点个实零点;d 个实极点个实极点;c 对复零点对复零点; e对复极点对复极点;v个零极点。个零极点

9、。b+2c = m v+d+2e = n 1111iiijjjszsspT sT 11ijijTzp ， 2212121lllLllszszss 11112llllllllzzz zz z ， 2212121kkkkkkspspT sT sT 11112kkkkkkkkppTp pp p ， 22112211121( )121bcilllildevjkkkjkKsssG ssT sT sT s 22111111bcdemjkiljknilbKTTa！串联！串联比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节二阶振荡环节二阶振荡环节理想微分环节理想

10、微分环节延迟环节延迟环节se su 环节是根据微分方程划分的，不是详细环节是根据微分方程划分的，不是详细的物理安装或元件的物理安装或元件u 一个环节往往由几个元件之间的运动特一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成性共同组成u 同一元件在不同系统中作用不同，输入同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作输出的物理量不同，可起到不同环节的作用用( )( )y tkx t ( )( )/( )G sY sX sk 式中式中k比例系数比例系数 这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移

11、输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等的关系等 ( )( )( )1Y sKG sX sTS ( )( )( )TsY sY sKX s ( )( )( )dy tTy tKx tdt 1( )1tTy te 惯性环节的单位阶跃惯性环节的单位阶跃呼应曲线呼应曲线0( )1tdy tdtT ui(t) uo(t) R C i 011iuiRidtCuidtC 0( )1( )( )1iUsG sU sTs FpA cd

12、xFBkxdtcdxBkxApdt( )( )( )(/ )11ccAX sAKkG sP sB skBk sTs /cTBk /KA k dxyTdt 一阶微分环节一阶微分环节 理想微分环节理想微分环节dxyxTdt222d xdxyTTxdtdt 对应于上面微分方程式的传送函数分别为对应于上面微分方程式的传送函数分别为 理想微分环节理想微分环节 ( )( )( )Y sG sTsX s 一阶微分环节一阶微分环节 ( )( )1( )Y sG sTsX s 22( )( )21( )Y sG sT sTsX s 22210T sTs ui(t) uo(t) R C i 电气微分环节电气微分环

13、节 例例 图示的电气环节，输入电压图示的电气环节，输入电压ui(t),输出电压为输出电压为uo(t)，试写出其传送函数。试写出其传送函数。 1( )( )( )ioou tidtu tcu tiR 经拉氏变换后，整理，可经拉氏变换后，整理，可得传送函数为得传送函数为 ( )( )( )1ioUsTsG sUsTs TRC 假设假设RC很小，传送函数可以近似写成很小，传送函数可以近似写成G(s)=Ts。可以。可以把该把该RC电路看成理想微分环节。电路看成理想微分环节。1( )( )y tx t dtT 传送函数为传送函数为 ( )1( )( )Y sG sX sTs例例 如下图的油缸，其输入为流

14、量如下图的油缸，其输入为流量q，输出为油缸活，输出为油缸活塞的位移塞的位移x，试写出其传送函数。，试写出其传送函数。 /dx dtq A qxdtA 1( )( )/( )G sX sQ sAs例例 如下图的无源网络，输入量为回路电流如下图的无源网络，输入量为回路电流i,而输出而输出量为量为uc，试写出其传送函数。，试写出其传送函数。 1cuidtc ( )1( )( )cUsG sI scs其微分方程式为其微分方程式为2222d ydyTTyKxdtdt 传送函数为传送函数为 22( )( )( )21Y sKG sX sT sTs 在图在图2-1a所示的机械系统可以看作这种环节。所示的机械

15、系统可以看作这种环节。 对于平移机械系统，微分方程式为：对于平移机械系统，微分方程式为：22( )d xdxmfkxf tdtdt 2( )1( )( )X sG sF smsfsk( )()y tx t ( )( )( )sY sG seX s KTs1Ts 2221 (01)T sTs，1s1(1)Ts 221(01)(21)T sTs ，se )(sY )(sX )(sG ( )( ) ( )Y sX s G s )(sY )(sX )(sG 图图 2-14 框图单元框图单元 2. 比较点比较点(相加点相加点)如图如图2-15 所示，比较点代表两个或两个以上所示，比较点代表两个或两个以上

16、的输入信号进展相加或相减的元件，或称比较的输入信号进展相加或相减的元件，或称比较器。箭头上的器。箭头上的“+或或“-表示信号相加还是相表示信号相加还是相减，相加减的量应具有一样的量纲。减，相加减的量应具有一样的量纲。 图图2-15比较点比较点 + Y(s) X(s) E(s)= X(s) Y(s) Y(s) Y(s) 1121( )( )( )( ).( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG s G sX sX sY s G1(s) G2(s) G(s)= G1(s) G2(s) Y(s) Y(s) Y1(s) X(s) X(s) 图图2-17 串串联联连连接接 由串联环节所构

17、成的系统，当前后方框之由串联环节所构成的系统，当前后方框之间无负载效应时，它的总传送函数等于个间无负载效应时，它的总传送函数等于个环节传送函数的乘积。环节传送函数的乘积。当系统由当系统由n个环节串联而成时，总传送函个环节串联而成时，总传送函数为：数为：1( )( )niiG sG s 2-55式中式中Gi(s)第第i个串联环节的传送函数个串联环节的传送函数(i=1，2，n )()()(21sYsYsY G1(s) G2(s) G(s)=G1(s)+G2(s) X(s) X(s) Y1(s) Y(s) Y(s) Y2(s) + + 图图 2-18 并并联联连连接接 1212( )( )( )(

18、)( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG sGsX sX sX s 并联环节所构成的总传送函数，等于各个并联环节所构成的总传送函数，等于各个并联环节传送函数之和或差。并联环节传送函数之和或差。推行到推行到n个环节并联，其总的传送函数等于个环节并联，其总的传送函数等于各并联环节传送函数的代数和，即各并联环节传送函数的代数和，即 1( )( )niiG sG s 2-56 式中式中Gi(s)第第i个并联环节的传送函数个并联环节的传送函数(i=1，2，n ) G(s) H(s) ( )( )1( )( )G ssG s H s X(s) X(s) Y(s) Y(s) B(s) E(

19、s) + 图图 2-19 反反馈馈连连接接 ( )( )( ) ( )Y sX sB s G s( )( )( )B sY s H s ( )( )( )1( )( )Y sG sX sG s H s 1( )( )niiG sG s 2-60反响回路传送函数：反响回路传送函数：H(s)称为反响回路传送函数，它是信号沿着输出端称为反响回路传送函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时一切经过的环节乘积，即进入，而回到输入端时一切经过的环节乘积，即 1( )( )mijH sH s 2-61 开环传送函数：开环传送函数：G(s)H(s)称为系统的开环传送函数，可表示为称为系统的开环传送函数，可

20、表示为 11( )( )( )( )nmiiijG s H sG sH s 2-62 留意留意 ：开环传送函数和开环系统传送函数是不：开环传送函数和开环系统传送函数是不一样的。将一样的。将2-60、2-62代入代入2-59式式中，那么系统的闭环传送函数为中，那么系统的闭环传送函数为 ：111( )( )( )1( )( )niinmiiijG sY sX sG sH s 2-63 当当H(s)=1时，我们将系统称为单位反响系统或全时，我们将系统称为单位反响系统或全反响系统。反响系统。 G1(s) H(s) X(s) Y(s) + - 同同同同时时时时存存存存在在在在输输输输入入入入量量量量与与

21、与与干干干干扰扰扰扰量量量量时时时时的的的的系系系系统统统统 G2(s) + + N(s) 在输入量在输入量X(s)的作用下可把干扰量的作用下可把干扰量N(s)看作为零，看作为零，系统的输出为系统的输出为YR(s)，那么，那么 1212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )RRG sG sYsGs X sX sG sG s H s 在干扰量在干扰量N(s)作用下作用下可把输入量可把输入量X(s)看作为零看作为零，系统的输出为系统的输出为YN(s) ，那么，那么 212( )( )( )( )( )1( )( )( )NNG sYsGs N sN sG sG s H s2-65

22、 在在2-64式中，称式中，称GR(s)为输出量对输入量的为输出量对输入量的传送函数，即传送函数，即 212( )( )( )( )1( )( )( )NNYsGsGsN sG sGs H s 2112( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )RNY sYsYsG sG sX sN sG sG s H s1212( )( )( )( )( )1( )( )( )RRYsG sG sGsX sG sG s H s 1、列出描画系统各个环节的运动方程式，明确信、列出描画系统各个环节的运动方程式，明确信号的因果关系输入号的因果关系输入/输出；输出；2、假定初始条件等于零，对方程式

23、进展拉氏变换，、假定初始条件等于零，对方程式进展拉氏变换，求出环节的传送函数，并将它们分别以方块的方求出环节的传送函数，并将它们分别以方块的方式表示出来；式表示出来；3、按照信号在系统中的传送、变换过程，依次将、按照信号在系统中的传送、变换过程，依次将各部件的方框图衔接起来，得到系统的方框图。各部件的方框图衔接起来，得到系统的方框图。例例 绘制图示的二阶绘制图示的二阶RC回路的框图。回路的框图。 ur uC R1 i1 u1 C1 C2 R2 i2 A B 二阶二阶RC回路回路 解：首先列出系统原始方程解：首先列出系统原始方程 111( )( )( )ru tu ti tR 11211( )(

24、 )( )u ti ti tdtC 122( )( )( )cu tu ti tR 221( )( )cu ti t dtC 111( )( )( )rUsUsI sR 1211( )( )( )IsIsUsC s 122( )( )( )cUsUsIsR 22( )cIsUC s 21R Uc(s) + - U1(s) I2(s) 111( )( )( )rUsUsI sR 122( )( )( )cUsUsIsR 11R Ur(s) + - U1(s) I1(s) 1211( )( )( )IsIsUsC s 22( )cIsUC s 11C s + - U1(s) I1(s) I2(s)

25、 21C s UC(s) I2(s) 11R Ur(s) + - U1(s) I1(s) 11C s U1(s) 21R 21C s UC(s) + I2(s) - + - UC(s) I2(s) 例：绘制图示机械系统的框图。设作用力例：绘制图示机械系统的框图。设作用力fi(t)、位、位移移x(t)分别为系统的输入量、输出量。分别为系统的输入量、输出量。2112( )( )( )( )iCKd x tmf tftftdt 11( )( )( )KOftKx txt( )( )( )OCdxtdx tftCdtdt22122( )( )( )( )OKCKd xtmftftftdt22( )(

26、)KOftK xt 解：解：拉氏变换得拉氏变换得1211( )( )( )( )iCKX sF sFsFsm s 11( )( )( )KOFsKX sXs( )( )( )COFsCs X sXs 1221( )( )( )( )OKCKXtFsFsFsm s 22( )( )KOFsK Xs A A-B A-B+C B C + + + - A A+C A-B+C C B + + + - 表表2-3 框图变换法那框图变换法那么么 A A-B+C B + + - C A A-B A-B+C B + + - + C A AG1 AG1G2 G1 G2 A AG2 AG1G2 G2 G1 A AG

27、1 AG1G2 G1 G2 A AG1G2 G1G2 A AG1+AG2 G1+G2 A AG1 AG1+AG2 +C + + G1 G2 AG2 A AG AG-B AG2 +C + - G B A A-B/G AG-B AG2 +C + - B G 1/G A A-B AG2 +C + - B G AG-BG A AG AG2 + - B G G BG AGAG-BG A AGG AG AG G A AGG AG AG A AGG AG A A AGG AG AG 1/G A A + - B A-B AG2 +C A-B AG2 A + - B A-B AG2 +C A-B AG2 B +

28、 - A + + B A+B AG2 +C A + B A+B AG2 +C A AB A + + - 2、相加点可以互换；、相加点可以互换； 3、分支点可以前移或后移，但挪动之后，需在、分支点可以前移或后移，但挪动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传送函数；此回路中乘或除以所跨接的传送函数； 4、相加点可以前移或后移，但挪动之后，需在、相加点可以前移或后移，但挪动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传送函数；此回路中除或乘以所跨接的传送函数； G1(s) G3(s) G4(s) G7(s) G2(s) G5(s) Xi(s) + G6(s) A - - + - + Xo(s) 图图 2-20a

29、 解：解：1、A点后移，得到图点后移，得到图2-20b所示的方框图。所示的方框图。 G1(s) G3(s) G4(s) G7(s) G2(s) G5(s) Xi(s) + G6(s) - - + - + Xo(s) 图图 2-20b 1/G4(s) 2、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20c所示的方框图。所示的方框图。 G1(s) 343461Gs GsGs Gs Gs G7(s) G2(s) G5(s) Xi(s) + - - + Xo(s) 图图 2-20c 1/G4(s) 3、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20d所示的方框图。所示的方框图。 G1(s) 2342353461

30、Gs Gs GsGs Gs GsGs Gs Gs G7(s) Xi(s) + - Xo(s) 图图 2-20d 4、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20e所示的方框图。所示的方框图。 1234235346123471Gs Gs Gs GsGs Gs GsGs Gs GsGs Gs Gs Gs Gs Xi(s) Xo(s) 图图 2-20e 1234235346123471oiXsGs Gs Gs GsXsGs Gs GsGs Gs GsGs Gs Gs Gs Gs 所以所以 G1 X(s) + - Y(s) + - + - G2 G3 G4 A B 解：解：1、图、图2-21(a)的分支

31、点的分支点A后移到分支点后移到分支点B处，因此得处，因此得到图到图2-23(b)所示的方框图。它包括三个回路，分别所示的方框图。它包括三个回路，分别以、标明。以、标明。 G1 X(s) + - Y(s) + - + - G2 G3 G4 1/G4 2、第回路的传送函数为：、第回路的传送函数为： 34334( )1G GF sG G 以以F3(s)替代第回路，从而得到图替代第回路，从而得到图 2-21 (c) G1 X(s) + - Y(s) + - G2 34341G GG G 1/G4 3、 第回路的传送函数为：第回路的传送函数为： 23434234223434233441( )1111G

32、G GG GG G GF sG G GG GG GG GG 以以F2(s)替代第回路，从而得到图替代第回路，从而得到图2-21(d) X(s) Y(s) + - 123423341G G G GG GG G 4、最后，得到系统的传送函数为、最后，得到系统的传送函数为 12343423123412342334123423341( )( )111GGGGGGGGGGGGY sGGGGX sGGGGGGGGGGGG 可以将其表示在图可以将其表示在图 2-21e的框图中。的框图中。 X(s) Y(s) 1234233412341G G G GG GG GG G G G 图图 2-21e二、信号代数运算法那么二、信号代