两数和乘以这两数的差

1、12.3 乘法公式1两数和乘以这两数的差课前知识管理1、 两数和与这两数差的积等于这两个数的 平方差：(a+b)(a-b)=a 2-b2所以，我们把这个公式 叫作平方差公式平方差公式可以形象记忆为：(口 + )( )= ? 2.2 几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a-b2.若把小长方形川旋转到小长方形W的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成Si +S= Si+Siv=( a+b) ( a b),从而验证了平方差公式(a+b) ( a b) = a2- b2.2、 平方差公式的特征：(1)公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说

2、两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.(2)公式中的a与b可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1:直接应用平方差公式2 1 1 2例 1、计算：(4x)( 4x ).2 2【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项4x2，另外一1 1项一-与-互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式.2 2【解】(4x2 -gx1 4x2) = (4x2)2 -g)2 =16x4 -1 .2 1 1【方法归纳】将两个括号内的相同项 4x2看作，符号相反的项一 一与一看作，就可以直2 2接运用平方差公式.对应练习：计算(y 2

3、x)( 2x y).知识点2：连用平方差公式化简例 2、化简：x - y x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 .【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到x2 -y2，它与第三项 x2 y2又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式=x2-y2x2y2x4y4x8y8 =x4- y4 x4y4x8y8【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的对应练习：计算：(a -b)(a b)(a2 b2)(a4 b4)(a8b8)知识点3:分组后运用平方差公式例 3、计算：(2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算，则计算比较繁琐，如果

4、运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、 四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a - 3)(2a- 5)=(2a+3)(2a - 3)(3a+5)(3a - 5)=(4a2-9)(9a2 - 25)=36a4 - 181a2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量对应练习：计算：(x+2)(x 2+4)(x 2).知识点4:添项后运用平方差公式例 4计算；(21)(221)(241)(281)1.【解题思路】本题若添上一个因式“2 1”后，则可以连续四次运用平方差公式计算.【解】原式=(2 -1)(2 1)(2

5、2 1)(24 1)(28 1) 1 =(22 - 1)(22 1)(241)(28 1) 1【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算.2对应练习：某同学在计算3(41)(41)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：2 2 2 2 2 2 23(4 1)(41) =(4-1)(4 1)(41)=(4 -1)(41)=(4) -1=16 -1=255.11111请借鉴该同学的经验，计算：(1 -)(v 尹)(1 歹)(1 歹)尹.知识点5:逆用平方差公式例 5计算:(2a b)2 -(- -4a)233【解题思

6、路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“2 - ”与3“ b4a ”分别视为平方差公式中的a、b,逆用平方差公式，则运算简便.3解：【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单.对应练习：计算:知识点6：变形后运用平方差公式例6.计算932.【解题思路】注意到93接近整百数100,二者相差7,若使用数字93、7巧构平方差公式便 可实现简算.【解】932 =(93 +7【93 -7 )+72 =8600 +49 =8649 .【方法归纳】公式a b a - b = a2 -b2可以变形为a2二a b a-b b2.对应练习：计算：982

7、知识点7:拆项变形后使用例 7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点，可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：2 2 2 2 2 (x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=(x-2)-(y-3)(x-2)+(y-3)=(x-2)-(y-3) =x -4x+4-y +6y-9=x -y -4x+6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组， 使之符合平方差公式的结构特征.对应练习：2a - b 3 2a b - 3易错警示例 & 计算：(2x+3)(2y-

8、3).错解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9.错解分析：(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算.正解：(2x+3)(2 y-3)=4xy-6x+6y-9.例 9、(2x+9)(2x-9).错解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9.错解分析：(2x+9)(2x-9)应等于2x与9的平方差，即(2x)2-92,错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误.正解：(2x+9)(2 x-9)=(2x)2-92=4x2-81.例 10、(a3-8)(a3+8).错解：(a3-8)

9、(a3+8)=a9-64.错解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6,而(a3)2旳9.正解：(a3-8)(a3+8)=( a3)2-82=a6-64.例 11、(-2a-7)(2a-7).错解：(-2 a-7)(2a-7) = 4a2-49.错解分析：(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a-7)(2a-7) M(a)2-72,应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即：(-2a-7)(2a-7)=(-7-2 a)(-7+2 a) =(-7)2-(2a)2

10、 或(-2a-7)(2a-7)= - (2a+7)(2 a-7) = - (2a)2-72. 正解：(-2 a-7)(2 a-7) = (-7-2a)(-7+2 a) =(-7)-(2 a) =49-4 a .课堂练习评测知识点1 ：平方差公式1、 在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图1),把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形(如图2),分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 (用字母表示).2 22、已知a，b=2，贝y a -b 4b的值是3、 下列计算中，错误的有()®( 3a+4) (3a 4) =9a? 4;笑(2a? b

11、) (2a?+b) =4a? b?；A . 1个 B . 2个 C. 3个 D . 4个知识点2 :平方差公式的实际应用24、一个长方形的面积是(x 9)平方米，其长为(x + 3)米，用含有 x的整式表示它的宽为米.知识点3 :平方差公式的运用5、计算:-2m 1 n2 丄 2_?m；3443；2 26、计算：(3x-2y)(9x+4y )(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1) 位置变化：(a+b)(-b+a)=;(2) 符号变化:(-a-b)(a-b)=.(3) 系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=.指数变化:(a 2+b3)(a 2-b 3)=.(5) 项数变化:(a+2b-

12、c)(a-2b-c)=;(6) 连用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)=课后作业练习基础训练 一、填空题1、(-2+y)(-2 -y) =.2、(2x + y)(2x y) =.1111 2 23、(a t-bH-a _b) =.4、 (a _x )(_a_x )=23232 25、(a-b)(a+b)(a +b ) =.6、-(x + y)(x-y)=.7、(x y)(x - y) -( -x - y)( -x - y.2 218、(xv +) (xy) = x y -81二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是()A (a-2b)(-2a 2b); B (a-2b)(b

13、2a);C (a - 2b)( -a 2b) ; D ( -2b a)(a 2b).2 210、 下列各式中，运算结果是36y -25x的是()A (_6y 5x)(-6y _5x) ; B (5x _6y)(6y 5x);C (-6y 5x)(6y 5x) ; D (5x-6y)(-5x 6y).F列变形正确的是()11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),2A.x-(2y+1)B.x-(2y-1)x+(2y-1)C.(x-2y)+1(x-2y)-1D.x+(2y+1)三、解答题12、计算(m -n)(m n)(m 2n)(m -2n).13、 先化简后求值(x2 2)(

14、x2 一2)(x 2)(x 一2), x = 一2 .提高训练214、解方程(x 1)(x-1)-(x -2x)=4.15、 已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x) 与多项式 M的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式 M.16、 一个长方形菜地，长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm,那么这块菜地的面积是多少？17、 一个长方体的游泳池的长为(4a 2+9b2)米，宽为(2a+3b)米，高为(2a-3b)米，那么这个游泳 池的容积是多少？12.3.1对应练习答案：2 2 2 21. 解：原式=(2x)+y( 2x) y=( 2x) y =4x y .2. 解：原式=(a2 -b2

15、)(a2 b2)(a4 b4)(a8 - b8) = (a4 -b4)(a4 b4)(a8 - b8)=(a8 -b8)(a8b8) =a16-b16厶22243.解：原式=(x+2)(x 2)(x +4)=(x 4)(x +4)=x 16.4答案：25.解：原式=冋卜"说蚕4丿1+丄丫1一1】4丿6.解：982 =(98 +2 98 2 )+22 = 9600 + 4 = 9604 .7.答案：4a2 -b2 6b -9 .6、解:原式=(3x-2y)(-3x-2y)(9x2 2 2 27、(1)a -b (2)b -a (3)4a (6)a 4-b4课后作业练习参考答案：2+4y

16、2) =(4y2-9b2-9x 2)(9x(4)a2+4y2)=16y 4-81x4-b6(a-c)2 2 2 2 2-4b =a -2ac+c -4b4 _ y2 ； 4x2 _ y2 ；a2 _b2 ； x4 _a2； a4 -b4 ；49y -x ；9'9课堂作业练习参考答案:1、答案：2 2a b a-b =a -b2、答案：43、答案：D4、答案：(x -3)5、解:原式=丨一升=韦一丄(.I 3 丿 14 丿 9169、D; 10、A; 11、D 12、 3n2；4213、化简结果为x -x ,求值结果为12;14、x = 2.515、 解： 由 题 意 得2 2 2 2=(-4x) -(3y) -(16x -18xy+24xy-2