2019届高三文科数学(通用版)二轮复习训练：第1部分专题3突破点7用样本估计总体

1、突破点7用样本估计总体 核心提炼 提炼 i 频率分布直方图(1)频率分布直方图中横坐标表示组距， 频率 组距. (2) 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1. (3) 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数，在频率分布直方图中： 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； 平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘 以小长方形底边中点的横坐标之和. 提炼 2 茎叶图的优点(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到. (2)可以帮助分析样本数据的大致频率分布情况. 提炼 3 样本的数字特征 (1)众数、中位数. 1 (

2、2) 样本平均数 X = (* + X2+ XQ. 2 1 - 2 - 2 - 2 (3) 样本方差 S = JX1 X X ) ) +(X X2 x x ) ) + (x xn - x x ) ). (4) 样本标准差 S= ；3 3 X X 2+ X X2 X X 2 + + Xn X X 2. 真题回访 回访用样本估计总体 1 . (2019 全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间, 如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，

3、为 此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 核心知识聚焦 纵坐标表示组距，频率= 记 x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， y 表示 1 台机器在购买易损零件 上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数. (1) 若 n= 19,求 y 与 x的函数解析式； 若要求需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损 零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购 买

4、1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 解当 xw 19 时，y= 3 800; 当 x19 时，y= 3 800 + 500(x 19) = 500 x- 5 700, 所以 y 与 x 的函数解析式为 3 800 , x 19 (2) 由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19.6 分 若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损 零件上的费用为 3 800 , 20 台的费用为 4 300,10 台的费用为 4 800,因此这 100 台机器在购买 1

5、 易损零件上所需费用的平均数为 五(3 800 X 70 + 4 300 X 20+ 4 800 X 10) = 4 000.8 分 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零 件上的费用为 4 000, 10 台的费用为 4 500,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的 1 平均数为 100(4 000 X 90 + 4 500 X 10) = 4 050. 10 分 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.12 分 2. (2019 全国卷I )从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的

6、一项质量指 标值，由测量结果得如下频数分布表：的产品至少要占全部产品 80%”的规定.12 分 质量扌曰标 值分组 75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125) 频数 6 26 38 22 8 (1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图; (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表) )； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80% ”的规定？ 解(1) (2)质量指 标值的 样本平均数为 x = 80 X 0.06 + 90X 0.26 +

7、100X 0.38 + 110X 0.22 + 120X 0.08= 100.6 分 质量指标值的样本方差为 S = ( 20)2X 0.06 + ( 10)2X 0.26 + 0 X 0.38 + 102 X 0.22 + 202X 0.08 = 104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104.8 分 质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+ 0.22 + 0.08 = 0.68.10 分 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.12 分 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 3. (2

8、019 全国卷I )为了比较两种治疗失眠症的药 (分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地 选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日 平均增加的睡眠时间(单位：h) 试验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0. 6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3. 5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2. 3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3. 2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1 .

9、 4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2. 7 0.5 (1) 分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2) 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ B药 仇 L 2, 3. 图 解(1)设 A 药观测数据的平均数为 匚,B 药观测数据的平均数为 7 . 由观测结果可得 1 x = 20(0.6 + 1.2+ 1.2 + 1.5 + 1.5+ 1.8 + 2.2 + 2.3+ 2.3 + 2.4 + 2.5+ 2.6 + 2.7 + 2.7+ 2.8+ 2.9+ 3.0+ 3.1 + 3.2+ 3.5) = 2.3, 2

10、 分 y = 20(0.5 + 0.5 + 0.6 + 0.8 + 0.9 + 1.1 + 1.2 + 1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.6 + 1.7+ 1.8 + 1.9 + 2.1 + 2.4+ 2.5+ 2.6+ 2.7+ 3.2) = 1.6.4 分 由以上计算结果可得匚 y，因此可看出 A 药的疗效更好.6 分 (2)由观测结果可绘制茎叶图如图: 3. 从以上茎叶图可以看出， A 药疗效的试验结果有 希的叶集中在茎 2.”， 3.”上，而 B 药疗 效的试验结果有 丄的叶集中在茎 0.”，1”上，由此可看出 A 药的疗效更好.12 分 热点题型 1 频率分布直方图 题型分频率

11、分布直方图多以生活中的实际问题为背景，考查学生运用已知数据分 问题的能力，难度中等. 例 (2019 合肥三模)某高中为了解全校学生每周参与体育运动的情况，随机从全校学 生中抽取 100 名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下： 每周参与运动的时 间(单位：小时) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20 频数 24 40 28 6 2 (1)作出样本的频率分布直方图； (2) 估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数； 若该校有学生 3 000 人，根据以上抽样调查数据， 估计该校学生每周参与体育运动的时 间不低于 8 小时的人数. 解频率分布直方图如图所示:

12、由数据估计中位数为 4+ 20 X 4 = 6.6, 8 分 估计平均数为 2X 0.24+ 6X 0.4+ 10 X 0.28+ 14X 0.06+ 18X 0.02 = 6.88.10 分 将频率看作概率知 P(t 8) = 0.36, 3 000 X 0.36= 1 080.12 分 I方法指津I 解决该类问题的关键是正确理解已知数据的含义掌握图表中各个量的意义，通过图表 对已知数据进行分析. 提醒：(1)小长方形的面积表示频率，其纵轴是热点 型探究 频率 组距 ,而不是频率. 电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额 (单位：元)与购物金额关系如下: 购物金额分组 0.3,0.5)

13、0.5,0.6) 0.6,0.8) 0.8,0.9 发放金额 50 100 150 200 (1) 求这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数； (2) 以这 1 000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率， 求一个购物者获得优惠券 金额不少于 150 元的概率. 解(1)购物者的购物金额 x 与获得优惠券金额 y 的频率分布如下表: x 0.3W x0.5 0.5W x0.6 0.6 x0.8 0.8 w x 0.9 y 50 100 150 200 频率 0.4 0.3 0.28 0.02 这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数为: 50 X 400 + 100 X

14、300 + 150 X 280+ 200 X 20 1 000 (2)由获得优惠券金额 y 与 购物金额 x 的对应关系，有 P(y= 150) = P(0.6W x 150) = P(y= 150) + P(y= 200) = 0.28 + 0.02= 0.3.12 分 热点题型 2 茎叶图 题型分结合样本数据和茎叶图对总体作出估计是高考命题的热点，应引起足够的=96.4 分 (2)各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比. 变式训练 1某电子商务公司随机抽取 1 000 名网络购物者进行调查这 1 000 名购物者 图 7-3 视，难度中等. B 两班学生手机上网的时长， 分别从这两个班

15、中随机抽取 5 名同学进行调查，将他们平均每周 手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图 7-4 所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位 数字) A班 9 9 0 0 4 1 1 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 5 5 6 6 1 1 3 3 图 7 7- -4 4 (1) 分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均上网时间较 长； (2) 从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a,从 B 班的样本数据中随机 提取一个不超过 21 的数据记为 b,求 ab 的概率. 1 解(1)A 班样本数据的平均值为 5(9 + 11+ 14 + 20+

16、31) = 17.3 分 由此估计 A 班学生每周平均上网时间 17 小时； 1 B 班样本数据的平均值为 -(11 + 12+ 21 + 25 + 26)= 19，由此估计 B 班学生每周平均上网 5 时间较长.6 分 (2)A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个，分别为 9,11,14, B 班的样本数据中不超 过 21 的数据 b 也有 3 个，分别为 11,12,21,从 A 班和 B 班的样本数据中各随机抽取一个共有： 9 种不同情况，分别为(9,11), (9,12), (9,21), (11,11), (11,21), (11,21), (14,11), (14,

17、12), (14,21), 其中 ab 的情况有(14,11), (14,12)两种, 2 故 ab 的概率 P = 9.12 分 I方法指津I 作茎叶图时先要弄清 “茎”和“叶”分别代表什么，根据茎叶图，可以得到数据的众数、 中位数，也可从图中直接估计出两组数据的平均数大小与稳定性. 变式训练 2(名师押题)某车间 20 名工人年龄数据如下表：卜例卜例 (2019 福州模拟)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康, 某校为 年馳) 工人豔(人) 19 2R 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 合计 20 (1) 求这 20 名工人年龄的众数与极差； (2) 以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； (3) 求这 20 名工人年龄的方差. 解由题表中的数据易知，这 20 名工人年龄的众数是 30,极差为 40- 19 = 21.