波利亚的数学教育理论

1、第八讲第八讲 波利亚的数学波利亚的数学教育理论教育理论一、生平及贡献一、生平及贡献 G . Polya(1887-1985) 乔治乔治波利亚（波利亚（George Polya,18871985）美籍匈牙利数学）美籍匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国全国家。波利亚是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。科学院和匈牙利科学院的院士。 1887年出生在匈牙利，青年时期年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士年在苏黎世著名的瑞士联邦理

2、工学院任教。联邦理工学院任教。 1940年移居美国；年移居美国； 1942年起任美国斯坦福大学教授；年起任美国斯坦福大学教授； 他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的名字命名。一些术语和定理都以他的名字命名。 由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，被岁高龄时，被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。（国际数学教育大会）聘为名誉主席

3、。波利亚数学教育三部曲波利亚数学教育三部曲v1.G.Polya著,涂泓等译.怎样解题(1944).上海科技出版社,2002,6v2.G.Polya著,刘景麟等译.数学的发现(1954).科学出版社,2006,7v3.G.Polya著,李心灿等译.数学与猜想(1961).科学出版社,2001,7其中，怎样解题一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。 范.德.瓦尔登说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”（1952）二、波利亚的数学教育观二、波利亚的数学教育观1.数学教育的根本目的：数学教育的根本目的：v教会学生思考教会学生思考不只是传授知识，更应努力发

4、展学生运用不只是传授知识，更应努力发展学生运用所学知识的能力，应该强调技能、技巧、有益的思考方式和所学知识的能力，应该强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。理想的思维习惯。2.学习过程的三原则：学习过程的三原则：v主动学习主动学习尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西。东西。v最佳动机最佳动机激发学生在学习中的好奇心，并寻求欢乐。激发学生在学习中的好奇心，并寻求欢乐。v循序渐进循序渐进从行动与感知开始，发展到词语与概念，养成从行动与感知开始，发展到词语与概念，养成合理的思维习惯。合理的思维习惯。探索探索在直觉和启发的水平上发展在直觉和启发

5、的水平上发展阐明阐明引进术语、定义、证明等，提升到概念水平引进术语、定义、证明等，提升到概念水平吸收吸收吸纳到已有知识系统中，扩大智力范围吸纳到已有知识系统中，扩大智力范围学习过程学习过程3.一名好的数学教师必须具备两方面的知识一名好的数学教师必须具备两方面的知识v数学内容的知识数学内容的知识一般中学数学教师最大的缺陷在于，一般中学数学教师最大的缺陷在于，他没有主动完成数学工作的经验他没有主动完成数学工作的经验.v数学教学法的知识数学教学法的知识4. 4. 给数学教师的给数学教师的“十条建议十条建议” 1）对数学有兴趣；）对数学有兴趣； 2）熟知数学；）熟知数学； 3）懂得学习的途径）懂得学习

6、的途径亲自独立地发现所学东西亲自独立地发现所学东西的奥妙；的奥妙； 4）努力观察学生的面部表情；）努力观察学生的面部表情； 5）传授知识、技能技巧，培养思维方式、科学的）传授知识、技能技巧，培养思维方式、科学的工作习惯；工作习惯； 6）让学生学会猜想；）让学生学会猜想； 7）让学生学会证明问题；）让学生学会证明问题； 8）揭示存在于具体情况的一般模式；）揭示存在于具体情况的一般模式； 9）让学生独立地找出尽可能多的东西；）让学生独立地找出尽可能多的东西； 10）启发问题。）启发问题。三、波利亚关于解题的研究三、波利亚关于解题的研究1.解题的思维过程：联想解题的思维过程：联想念头念头详见详见数学

7、的发现数学的发现第二卷第十一章：思维的作用第二卷第十一章：思维的作用弄清问题（表征）弄清问题（表征）拟定计划（模式识别、引入辅助问题）拟定计划（模式识别、引入辅助问题）实现计划实现计划回顾（反思、优化、拓展）回顾（反思、优化、拓展）2. 2. 怎样解题表怎样解题表“怎样解题怎样解题”表的精髓表的精髓启发联想启发联想联想什么？联想什么？怎样联想？怎样联想？通过一连串建议性或启发性问题来加以回答通过一连串建议性或启发性问题来加以回答. .波利亚认为，波利亚认为，“万能方法万能方法”是不存在的，但是是不存在的，但是“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言、指

8、南等等，这些都还是有用的。格言、指南等等，这些都还是有用的。波利亚怎样解题表与实例示范波利亚怎样解题表与实例示范进一步反思：进一步反思：已知正四棱台的高为已知正四棱台的高为h h，上底边长为，上底边长为a a，下底边长为，下底边长为b,b,求其面积求其面积F F。弄 清 问 题 已知（a,b,h) 未知（F) 求:F(A,B) 求：A,B(x) 求：X(a,b,h)拟 定 计 划实 施 计 划回 顾 反 思正面检验特殊检验：知识联系解题 捕捉过程: 信息 提取信息组合信息解题方法：分析法思维策略：策略水平方法水平技能水平心理机制：激活扩散立几方法：分割与补形寻求别解：割台为锥一般化：其他应用学

9、以致用：学以致用：例谈用怎样解题的提示语解高考题例谈用怎样解题的提示语解高考题以江苏以江苏省省2009年第年第20题为例题为例小结小结“怎样解题表怎样解题表”就就“怎样解题怎样解题”、“教师应教教师应教学生做什么学生做什么”等问题，把等问题，把“解题中典型有用解题中典型有用的智力活动的智力活动”，按照正常人解决问题时思维，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段的自然过程分成四个阶段了解问题、拟了解问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统。解题教学系统。这四

10、个阶段中这四个阶段中“实现计划实现计划”虽为主体工作，但虽为主体工作，但较为容易，是思路打通之后具体实施信息资较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心我们所需要的只是耐心”；“了解问题了解问题”是认识、并对问题进行表征的过是认识、并对问题进行表征的过程，是成功解决问题的一个必要前提；程，是成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，与前两者相比，“回顾回顾”是最容易被忽视的阶是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法。下来，是一个有远见的做法。在整个解题表中在整个解题表中“

11、拟定计划拟定计划”是关键环节和核是关键环节和核心内容。心内容。“拟定计划拟定计划”的过程是探索解题思路的过程，波利亚的过程是探索解题思路的过程，波利亚建议分两步走：建议分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；识别等）；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题。某些必要的变更或修改，引进辅助问题。为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化、一般化、类比等，积极激发思维，努合，特殊化、一般化、类比等，积极激发思维，努力变化问题。力变化问题。这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源的