2019年安徽中考数学第23题的“不同”策略与感悟

1、2019年安徽中考数学第23题的“不同”策略与感悟肥西实验高级中学 康苏 2019年安徽中考数学第23题仍然遵循题目与问题的简洁，三个问题的设置也是由易到难，并且每个问题彼此联系，层层递进，环环相扣。命题人也充分考虑到学生的差异性和升学考试的选拔性，重点考查基础（第（1）问和第（2）问），也注重逻辑思维的拓宽和知识间的迁移，第（2）问和第（3）问方法多样是本题的亮点。 考题呈现 （2019年安徽）如图，RtABC中，ACB=90°，AC=BC，P为ABC内部一点，且APB=BPC=135°.（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，B

2、C，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3解析：参考答案方法略解析：第（2）问，解法1，如图1，在线段AP上取一点,C，使得PC=PC，连接CC，证明PCC是等腰直角三角形，得出PCC=45°，ACC=BPC=135°，而CAP=PCB，PC=PC，可以证明ACCCPB（AAS），得出AC=CP，因为PC=PC，所以AC=PC，则AP=2PC=2PC；此解法也可以这样说，将线段PC绕点P逆时针旋转90°交PA于C.解法2，如图1，在线段AP上取一点C，使得AC=PC，连接CC，而CAP=PCB，PC=PC，可以证明ACCCPB（SAS）

3、，得ACC=BPC=135°，得出PCC=45°，证明PCC是等腰直角三角形，因为PC=PC，所以AC=PC，则AP=2AC=2PC. 图1 图2 解法3，如图2，延长AP交BC于D，则CPD=90°， CPB=135°， DPB=45°， DPB=DBA 又 PDB=BDA ， PDBBDA PD:BD=DB:DA BD2=PD·DA 又 CPD=ACD=90°，CDP=ADC PCDCAD PD:CD=CD:AD CD2=AD·PD BD2=CD2 BD=CD CD=1/2BC=1/2AC 易证 APCCPD

4、AP:CP=AC:CD， AP:CP=AC:1/2AC=2 得 AP=2PC. 解法4，作BGCP交CP延长线于G，易知1=2，而APC=BGC=90°，AC=BC，可证 APCCGB，AP=CG，PC=BG，又BPC=135°，BPG=PBG=45°，BPG是等腰直角三角形，PG=BG，PG=BG=PC，即PA=2PC. 解析：第（3）问，解法1，过P作PEAB，PFBC，PGAC于E，F，G，PE=h1，PF=h2，PG=h3，由（2）得，PA=2PC，APB=BPC=135°，CPA=360°-135°-135°=90

5、°，在RtAPC中，tanCAP=CP:AP=1/2，CAB=45°，CAP+PAB=45°，由矩形大法知，tanPAB=1/3，在RtPAE中，PE=h1，AE=PE/tanPAB=3h1， AP=，在RtAPG中，AP=，tanPAG=1/2=tanCAP则AG=2PG=2h3，AP=，=，所以h3=h1，由（1）已证ABPBPC，相似比为，所以，所以，即注释：矩形大法（选自高中教材正切和差公式）设，则解法2，如图，由（2）知，ADCCPB，SADC=SCPB，AD=PD， SADC=SPDC=SCPB ， SAPC=2SCPB，则 而AC=BC， ，由得 题

6、目来源 （沪科版教材九上P92）已知：在ABC中，AC=BC，C=90°，点P在三角形内，且PAB=PBC=PCA.求证：SPAB=2SPCA.教学建议 几何教学是从数到形的转变，由计算到推理的转变，学生的理解和掌握，甚至到运用需要一定的过程，还要去适应老师的教学方法等等，所以教学中应该：1. 根据教材内容和学生的实际情况，制定教学计划和措施，选择符合学生从简单到复杂，由浅入难，逐步教学，并多钻研教材，突出重点，突破难点，强化训练。2. 教师在讲解时要抓住重点，关键点，本质属性，提出的问题要多让学生总结，教师纠正和规范，真正的做到教与学同步。3. 加强学生的几何语言训练和几何推理论证，多让学生“说”和“画”，让他们根据问题能够领会和运用。4. 培养学生的探究能力，鼓励学生质疑，指导学生提问的方向和思考的途径，引导拓宽思路，培养发散思维能力。结束语 2019年安徽中考数学第23题以等腰直角三角形为载体，考查学生的综合运用能力，题目本身条件简洁简单，但作为我们应该深挖题目的背景和生长过程，注重几何基本图形，联系常讲的模型，探究题目的内在关系。作为中考题都有很好的价值，更是众多命题人智慧的凝结。我们在思考解决问题的同时，要突破思路，寻求其他方法，才能更好的传授给优秀的不同学生。对提升学生知识掌握、理解、运用才有更大的帮助