八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、1 1 1 1 八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径) 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)a2 b2 c2，即2R二a2 b2 c2，求岀R 例 1 1 (1 1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是( C C ) A. A. 16二 B B . 20 C . 24二 D D . 32二 (2 2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 3，则其外接球的表面积是 _ 99 解：(1 1) V =a2h =16，a =2，4R2 =a2 a2 h2 =4 4 16

2、=24，S =24二，选 C C； 2 2 (2) 4R =3 3 3=9，S=4 二 R =9 二 (3) 在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱SC BC的中点，且 AM _ MN , ,若侧棱SA = 2、3, ,则正 三棱锥S - ABC外接球的表面积是 _ 。36 ： 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图(3(3)- -1 1，取AB, BC的中点D, E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形 ABC 的中心，.SH _平面ABC, SH _ AB， AC 二 BC，AD 二 BD， CD _ AB， AB _ 平面 SCD， -AB _ S

3、C，同理：BC _ SA，AC _ SB，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图(3 3) - -2 2， AM _ MN，SB/MN， AM _SB， AC_SB， SB_平面 SAC， SB_SA，SB_SC， SB_SA，BC _ SA， SA_平面 SBC, SA_ SC， 故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直， -(2R)2 =(2 .3)2 (2 3)2 (2.3)2 =36，即 4R2 =36， -正三棱锥S - ABC外接球的表面积是 36 (4 4 ) 在四面体 S - ABC 中， SA _平面ABC (5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 (6)

4、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为 _ 6、4、3，那么它的外接球的表面积是 _ 1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几 C 题-1 C 1 1 1 1 BAC =120 ,SA=AC =2,AB =1,则该四面体的外接球的表面积 , 10 40 为（D D ） A11 二 B.7二 C. D.- 3 31 1 1 1 (5(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c ( a,b, cR ),则 ab =12 2 2 2 2 be =8 ，. abc=24，. a =3，b =4，c=2，(2R)二 a b c =29，S=4：R2 = 29：，

5、 ac = 6 径AD，连接PD，则PD必过球心O ; 第二步：Oi为 ABC的外心，所以 OOi _平面ABC，算岀小圆 O的半 径O1D二r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 b c 1 2r)，OO1 PA ； sin B sin C 2 R2 二 r2 00；= R = .；r2 00； 2 2题设：如图 6 6, 7 7，8 8，P的射影是 ABC的外心= 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 = 三 棱锥P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心01，则P,0,01三点共线; 第二步：先算岀小

6、圆 的半径A0r，再算岀棱锥的高 P0h 他是圆锥的高)；解析：(4 4)在:ABC中，BC2 =AC2 AB2 _2AB BC cos1207 , BC二, . ABC的外接球直径为 2r BC sin / BAC 7 .3 27 =3， .(2R)2 =(2r)2 SA2 二 40 二 4上,S ，选D 3 3 (6 6) (2R)2 2二 2 2 b c -3，R2 3 R， 4 2 4 3 4 3.3 .3 V R * _ 兀 3 3 8 2 ， a sin A 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： (2R)2 二 PA2 (2r)2 u 2R = PA2 (2r)2 ； 类型二

7、、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 1 1 题设：如图 5 5， PA_平面ABC 解题步骤： 第一步：将.：ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的 1 1 1 1 第三步：勾股定理： OA2 =OiA2 OiO2= R2 =（h-R）2 r2，解岀R 方法二：小圆直径参与构造大圆。 例 2 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （）C C 16；r A. A. 3 B B. 2 C. D D .以上都不对 3 解：选 C C,（、. 3 R）2 1 =R2, , 3-2 3R R2 1 =R2, , 4-2、. 3R=0, , 类型三、切瓜模型（两个

8、平面互相垂直） 1 1 题设：如图 9 9- -1 1，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径） 第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即. PAC的外接圆是大圆，先求岀小圆的直径 AC=2r ； 第二步：在.：PAC中，可根据正弦定理 b c 2R，求岀R sin A sin B sin C 2 2如图 9 9- -2 2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径） 3 3如图 9 9- -3 3， 平面PAC _平面ABC， 且AB_ BC （即AC为小圆的直径） ， 且 P的射影是 ABC的外心 二三棱锥P - ABC的三条侧棱相等：二

9、三棱P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶 占 八、 解题步骤： 第一步：确定球心 0的位置，取- ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线; 第二步：先算岀小圆 0勺的半径AOr，再算岀棱锥的高 PO1 = h （也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理： OA2 =O1A2 O1O R2 =（h-R）2 r2，解岀 R 4 4如图 9 9- -3 3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且 PA_ AC，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （2R）2二PA2 （2r）2 = 2R二. PA2 （2r）2 ； R2 =r2 OOj= R

10、=、r2 OO12 例 3 3 （1 1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1 1，底面边长为2 _ 3，则该球的表面积为 _ （2 2）正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 _ 解：（1 1）由正弦定理或找球心都可得 2R = 7= 7，S=4：R2=49：， 4兀 （2 2） 方法一：找球心的位置，易知r =1，h=1, h = r，故球心在正方形的中心 ABCD处，R = 1，V = 3 方法二：大圆是轴截面所的外接圆， 即大圆是 SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，2R = 2， 4兀 n 2 1 1

11、 1 1 R =1， V 二 3 （3 3） 在三棱锥P-ABC中，PA二PB二PC二. 3 , ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接1 1 1 1 球的体积为( 解: OO1 -R1(r)2=f , h A6 类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球) 题设：如图 1010- -1 1，图 1010- -2 2，图 1010- -3,3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任 意三角形) 第一步：确定球心 O的位置，。1是 ABC的外心，则OO1 _平面ABC ； 第二步：算出小圆 1 1 O1的半径AO1 =r，OO1 AA1 h( AA -

12、h也是圆柱的高)； 2 2 第三步： 勾股定理： OA2 =O1A2 +O1。2二 R2=(h)2+r2 二只=、丁2+()2，解岀 R 例 4 4 (1 1) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且 9 该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为 8 1 解：设正六边形边长为 a，正六棱柱的咼为 h，底面外接圆的关径为 r，则a =， 2 3/1、2 3 3 3 3 9 2 3 2 1、2 A 底面积为 S = 6 () ， 7柱=Sh h ， - h = . 3， R=( ) ()=1， 4 2 8 8 8 2 2 4兀 R =1，球

13、的体积为V = 3 (2 2)直三棱柱 ABC -ABG的各顶点都在同一球面上， 若AB二AC二AA =2, =2, BAC = 120，则此球的 表面积等于 _ 。 解：BC =2、3， 2r - 3 4， r=2， R= 5，S = 20: si n120 (3 3)已知.EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直， EA = EB =3, AD =2,.AEB =60，则多面体E-ABCD的外接球 的表面积为 _ 。16鳥A.A.二 B.B. C. C. 4 4 D.D. 4 : 解：选 D D,圆锥A, B,C在以r 的圆上, 2 R=1 (4(4)已知三棱锥 S-ABC的所有

14、顶点都在球 且SC =2，则此棱锥的体积为( O的求面上 , ,ABCD.D. 1 1 Sh =- 3 3 D C 1 1 1 1 2 2 2 2 2 R -AO -AH2 O1H2 O1O2 类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径 第一步：画岀一个长方体，标岀三组互为异面直线的对棱； 第二步：设岀长方体的长宽高分别为 a,b, c， AD二BC = x， AB二CD二y， AC二BD二z，列方程组,R= 13=2 ;法二： OM 二虫，“gD-13，R2=? 兰=4，R = 2，S = 1& 2 2 4 4 解析：折叠型

15、，法一： ：EAB的外接圆半径为r , 3 , OOj =1, （4）在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，AB =4, AC =6, A , AA, =4则直三棱柱 ABC - ABQj的外接球的 3 表面积为 。160 7：. 3 解析：BC16 36 -2 4 6 丄=28， 2 BC =2 . 7，2r 2“ 4 汐 2/7 二3，.3 2 2 2 / AA、2 28 40 c 160 R2 二r2 ( 2)2 4 S =- 2 3 3 3 类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 （如图 1111） 第一步：先画岀如图所示的图形，将 BCD画在小圆上，找

16、岀 BCD和 A BD的外心 比和H2 ； 第二步：过H1和H2分别作平面 BCD和平面A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接OE,OC ； 第三步：解 =OEH 1，算岀0比，在Rt OCH1中，勾股定理： OH； CH； =OC2 例 5 三棱锥P - ABC中， 平面PAC _平面ABC， PAC和 ABC均为边长为2的正三角形， 则三棱 锥P-ABC外接球的半径为 _ . 2 解析：2ri =2r2 ： sin 60 V3 r_23，O2H R2 =O2H2 法二: O2H 1 二 3，1H.3， AH =1， 5 ,15 ，R =- 3 3 (AB 二 CD，AD 二 BC，

17、AC 二 BD ) 1 1 1 1 2 a b2 b2 c2 a2 2 =x 2 2 2,2 2 =y = (2 R) a b c = 补充：VA_BCD 1 1 =abc abc 4 abc 6 3 第三步：根据墙角模型, R2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2R = ：a2 b2 c2 x2 y2 z2 例如，正四面体的外接球半径可用此法。 x2 y2 z2 ，求岀R, 例 6 6 ( 1 1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形( (正四面体的截面) )的面积是 (2 2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，其中底面的三

18、个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A A 3131 B B 仝 C C 4 3 12 解：(1 1)截面为 PCO1，面积是 2 ； (2(2)高h = R =1，底面外接圆的半径为 2R = 2， a 设底面边长为a，则2R 2， sin 60 1 J3 三棱锥的体积为V Sh = 3 4 题解答图 (3)在三棱锥 A-BCD中，AB =CD =2, AD =BC =3, AC =BD =4,则三棱锥 A - BCD外接球的表面 29 积为 。 - 2 解析：如图 1212，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a, b,c，则 a2 b2 =9， 2

19、2 2 2 2 2 2 222 b c =4，c a =16 2(a b c)=9 4 16=29，2(a b c)=9 4 16 = 29， 29 S 2 其中AB二CD =5, AC二BD二6, AD二BC = 7,则该三棱锥外接球的 9 2 29 ，4R 二 2 2 (4)如图所示三棱锥 A - BCD， 表面积为 _ . _ 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a, b, c， 2(a2 b2 c2) =25 36 49 =110，a2 b2 c2 =55，4R2 =55，S=55； 【5555 二；对称几何体；放到长方体中】 (5 5)正四面体的各

20、条棱长都为 2 2，则该正面体外接球的体积为 _ 1 1 1 1 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中, -3 4 3 .： 3 ： 3 R = ， V =. - =.， 2 3 8 2 类型七、两直角三角形拼接在一起 （斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 ）模型 题设： APB二/ACB =90，求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 O，连接 1 OP,OC，贝y OA=OB =OC =OP AB，. O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在 OCP中求岀半 2 径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角

21、球半径都为定值。 2 解析：（2 2） BD 的中点是球心 O，2R=BD=C3，S =4二R -13：; 类型八、锥体的内切球问题 1 1 题设：如图 1414,三棱锥P - ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现岀内切球的截面图， E, H分别是两个三角形的外心； 1 第二步：求DH BD，PO = PH r，PD是侧面 ABP的高； 3 第三步：由- POE相似于 PDH，建立等式： 竺 =-PO，解岀r DH PD 2 2题设：如图 1515,四棱锥P - ABC上正四棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现岀内切球的截面图， P,O, H三点共线； 1 第二步：求FH BC，

22、PO二PH-r，PF是侧面 PCD的高； 2 OG PO 第三步：由- POG相似于 PFH，建立等式： ，解岀 HF PF 3 3 题设：三棱锥 P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画岀四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为 r ， 建立等式： 例 7 7 （1 1）在矩形ABCD中，AB=4， 四面体 ABCD的外接球的体积为（ 八125 厂 125 12 9 5 解：（1 1） 2R=AC =5，R ，V 2 BC =3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 ） 125 - 兀 6

23、4 125 =兀 - 3 8 125 - 兀 3 B - AC - D，则 （2）在矩形ABCD中，AB =2，BC=3，沿BD将矩形 的外接球的表面积为 125 二 -6 ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥 A - BCD ，选 C C VP -A B=VO -A 第三步：解出r 3Vp -ABC SO SBC SO-PAB SO -PAC SO -PBC 2R 3 图15 1 1 1 1 1 1 1 1 习题： 1.若三棱锥S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2 , SB = SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为 （ ） A. A. 3 B. B. 6 C. C. 36 D. D. 9 SA= 2、3，则该三棱 锥的外接球体积等于