全国高中数学竞赛二试模拟训练题(74)

1、-1 - 加试模拟训练题（74） 1 四边形ABC呐接于圆，其边 AB与DC的延长线交于点 P, AD与BC的 延长线交于点 Q由Q作该圆的两条切线 QE和QF,切点分别为E， F。求证：P, E，F三点共线。 2.证明：数列 2n-3 , n=2, 3, 4,中至少有一个无穷子列，其中的项两两互素.-2 - 3 如图，一束光以入射角= 19.94。射到线段 BC 的端点 C,然后以同样大小的角度反射出去， 射 到 AB 又 继 续 反 射， 光 线 遵 照 档宀一.计一;度心BC且计算 中包括第一次由 C 点的反射试确定光线在两线段之间的反射次数. 4.求证：当n为奇数时, 11 。 i k

2、 屋I a -3 - 加试模拟训练题(74) 1 四边形ABC呐接于圆，其边AB与DC的延长线交于点 P, AD与 BC的延长线交于点 Q由 Q作该圆的两条切线 QE和QF,切点分别为E, F。求证：P, E，F 三点共线。 证 连接PQ并在PQ上取一点M使得 B, C, M P四点共圆，连 CM PF。设PF与圆的另一交点为 E，并 作QGL PF,垂足为G,易如 QE=QM QP=QC QB / PMC/ ABC / PDQ 从而C, D Q, M四点共圆，于是 PM POPC- PD 由，得 PM- PGQM POPC- PDnQC- QB 即 PQ=QC QBPC PD 易知 PD-

3、POPE - PF,又 QF=QC QB 有 PE - PF+QF=PD PGQC AB=PQ, 即 PE - PF=PQF。又 PQ QF=PG GF=(PGGF - (P& GF) =PF- (PG- GF), 从而 PE =PG- GF=PG- GE ,即 GF=GE ,故 E与 E 重合。 所以P, E , F三点共线。 2.证明：数列 2n-3 , n=2 , 3 , 4,中至少有一个无穷子列，其中的项两两互素. 【题说】第十三届(1971 年)国际数学奥林匹克题 3本题由波兰提供. 【证】我们用归纳法来构造一个这样的子列. 取 n 1=2 .若 ni ,m 已经取定，且 2

4、ni-3 (1 i k)两两互素，将它们 分解成素因子的积，设在这些积中出现的素因子为 pj (1 w j -3 =4-3=1 ( mod p) (1 w j w n) 故 2nk+1 -3 不能被任一 pj整除，因而它与 2ni (1 w j w k)都互素，这样， nk 子列 2 -3 就是满足题目要求的一个子列. 3 如图，一束光以入射角= 19.94。射到线段 BC 的端点 C,然后以同样大小的角度反射出去， 射到 AB 又继续反射，光线遵照 臥射角等于反射角的规律在血与EC之间反射.若P , AB= BC,且计算中包括第一次由 C 点的反射试确定光线在两线段之间的反射次数.(E) -

5、4- 【题说】第十二届（1994 年）美国数学邀请赛题 14. 【解】如图 a,光的反射点记为 C, C, G,.作 BD 使 BD= BC,且/ CBD 仁B，则 G 关于 BC 的对称点为 Ei；再作 BD使/ DBD=B,且 BD= BD,贝U C2关于BD的对称点为 巳.因为/ CED=Z C2EiB=Z BEE2，所以 CEEa是一条直线. 重复上面的过程，作 BD, BD4,，其中/ DBD+i=3, BD = BC.则得到一条射线 CE、BA 和 BC 之间的每一个光束反射点都对应于这射线和某 BD 的交点 E.只需计算这些交点个数即可. 如图 b，以 B 为圆心，以 AB 为半径作圆，并作/ BCE=a, E 为圆上的点，贝U CE 与 BD 交点 E 的个数加1,即为所求. 为计算交点 E 的个数，首先求/ CBE 因为 BE= BC,则/ BEC=Z BCE n 1 1 4.求证：当n为奇数时，n n 1 !-。 k 1 k L的