§54换元积分法PPT课件

1、5.4换元积分法换元法,)()( )( 的原函数的原函数为为设设ttft ,)()( 1则则令令xxF CxFxxf)(d)(所以所以,)(1Cx 第二换元积分公式第二换元积分公式.d )()(d)()(1xttttfxxf )(tf ).(xf , )( )( 的原函数的原函数是是即即xfxFxttxFdddd)( )()(ttf )(1t 例例1求下列不定积分求下列不定积分 ：;d1)1( xxx;d111)2(3 xx ;d1)3(3xxx.)2)(1(d)4( xxx解解,)1(xt 令令.d2d,2ttxtx 则则ttttd212 原式原式tttd1222 21d2d2tttCtt

2、arctan22.)arctan(2Cxx ,1)2(3 xt令令 tttd3112原式原式 tttd132 1d3d)1(3tttt.d3d, 123ttxtx 则则Cttt 1ln33232.11ln313)1(233323Cxxx ,)3(6tx 令令 235d6tttt原式原式tttd163 1d6d)1(62tttttCtttt 1ln663223.)1ln(6632663Cxxxx .d6d5ttx 则则,)2, 1()4(时时由于由于 x12)1()2)(1( xxxxx，令令12 xxttttttd11)1(2222 原式原式 21d2ttCt arctan2.12arctan

3、2Cxx .d)1(2d,122222tttxttx 则则,22xa 若含有因式若含有因式;2sin ttax则令则令,22xa 若含有因式若含有因式;2tan ttax则令则令,22ax 若含有因式若含有因式;20csc ttax则令则令注注 有几个特殊的二次根式，为了消除根号，通常有几个特殊的二次根式，为了消除根号，通常利用三角函数关系式来换元，具体作法是利用三角函数关系式来换元，具体作法是 ：例例2求下列不定积分求下列不定积分 ：;)0(d)1(22 axxa;)(d1)2(22oaxax ;d1)3(2xxx .d21)4(2xxxx解解,2,sin)1( ttax令令 ttadcos

4、22原式原式 ttad22cos12.cos22taxa 则则Ctta )2sin21(22Cttta )cossin(22Caxaxaxa arcsin1222.arcsin21222Caxaxax ，令令2,tan)2( ttax ttdsec原式原式.tanseclnCtt .sec22taax 则则tax22ax , )(,tan如图如图作直角三角形作直角三角形根据代换根据代换tax 12222lndCaxaxaaxx 从而从而可知可知,sec22axat Cxax )ln(22.ln1aCC 其中其中,2, 0,csc)3( ttx令令 tdcotcot原式原式 0 ,2,dcot2

5、, 0,dcot22tttttt 0 ,2,ddcsc2, 0,ddcsc22tttttttt.cot12tx 0 ,2,cot2, 0,cottCtttCttCtt cot.1arcsin12Cxx ,)1(221)4(22 xxx由于由于ttttdcos2cos2)sin21( 原式原式 ttttd)sincos22cos2(22 ttttcosdcos22d)2cos1(2Cttt 3cos3222sin21.)21(3121)1(2121arcsin2322Cxxxxxx .cos2)1(2,2,sin212txttx 令令注注的有理函数不定积分，的有理函数不定积分，可以化成可以化成分

6、，通过万能代换分，通过万能代换及其有理运算的不定积及其有理运算的不定积对于由三角函数对于由三角函数txtxxxxxx2tancsc,sec,cot,tan,cos,sin ,arctan2tx ,d12d2ttx ,12sin2ttx ,11cos22ttx 因为此时因为此时.12tan2ttx 例例3求下列不定积分求下列不定积分 ：;dcos1tan)1( xxx.dcossin1)2( xxx解解 ,2tan)1(xt 令令,d12d,arctan22ttxtx 则则tttd122 原式原式,11cos22ttx 221)1(dttCt 21ln.2tan1ln2Cx 212tanttx

7、利用三角公式对被积函数进行化简，例如利用三角公式对被积函数进行化简，例如 )cos1(cosdsinxxxx原式原式 )cos1(coscosdxxx xxxxcos1)1(cosdcoscosdCxx coscos1ln.sec1lnCx ,2tan)2(xt 令令,d12d,arctan22ttxtx 则则,11cos,12sin222ttxttx tttd1222原式原式 2)1(d22tt tttd21121121Ctt 2121ln21.212tan212tanln21Cxx 例例 4求下列不定积分求下列不定积分 ： ;e1d)1(2xx.dln1)2(2 xxxxx解解,e1)1(

8、2xt 令令ttttd112 原式原式 ttd112Ctt 11ln21Cxx 1e11e1ln2122.)e11ln(2Cxx .d1d, )1ln(2122tttxtx 则则,ln)2(xt 令令 ttttttdeee1e2原式原式ttttde1e tttte)e (dCtt eln.ded,etxxtt 则则.lnlnCxx 例例5求下列不定积分求下列不定积分 ：;d)1ln()1(xx .d2)1arcsin()1()2(2xxxxx 解解,)1(xt 令令 2d)1ln(d)1ln(ttxx )1ln(d)1ln(22tttt.2tx 则则 tttttd1)1ln(22 tttttt

9、1dd)1()1ln(2Cttttt )1ln(2)1ln(22.2)1ln()1(Cxxxx ,1)2(xt 令令ttttd1arctan2 原式原式则则再令再令,sinut uuudsin原式原式 uu cosd uuuudcoscos1sincosCuuu Cxxxx )1arcsin(22.11 CC其中其中.ddtx 则则注意：注意： 初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数. .例例,de2 xx ,dsinxxx.dln1 xx在积分中有某一项不能用初等函数表示，但对另外在积分中有某一项不能用初等

10、函数表示，但对另外项的积分，可能会出现相同项，从而相互抵消项的积分，可能会出现相同项，从而相互抵消.不能用初等函数表示，不能用初等函数表示，例如例如 xxxdcos1e，也不能用初等函数表示也不能用初等函数表示 xxxxdcos1sine但但 xxxxdcos1)sin1(e xxxxxxxdecos1sindcos1e xxxxxxdecos1sindcos1e xxxxxxxxxdcos1ecos1sinedcos1e.cos1sineCxxx 最后列出几个比较重要的积分公式，可以补充最后列出几个比较重要的积分公式，可以补充到基本积分公式中，以便于今后的积分中引用到基本积分公式中，以便于今后的积分中引用 .Cxxxcoslndtan. 7;seclnCx Cxxx sinlndcot;csclnCx xxxxdsecdcos1. 8;tanseclnCxx xx