§13函数的极限PPT课件

1、1.3 1.3 函数的极限函数的极限 燕列雅燕列雅 权豫西权豫西 王兰芳王兰芳 李琪李琪 第1章 一、函数极限的定义一、函数极限的定义 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限2. 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对对于于0(4) xx0(5) xx0(6) xx(1) x (2) x (3) x 自变量的变化过程有六种形式自变量的变化过程有六种形式: :XXAAoxy)(xfy A1. 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 定义定义1 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若,0X

2、,)(,AxfXx有时当则称常数则称常数时的极限时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作记作,0 xxf当)(A 为函数为函数 当当x X时，函数时，函数y=f ( (x) )的图形完全落在以的图形完全落在以直线直线y= =A为中心线，宽为为中心线，宽为2 2的带形区域内的带形区域内例例1. 证明证明. 01limxx证证:01xx1取取,1X,时当Xx 10,x因此因此1lim0.xx就有就有故故,0欲使欲使,01x只要只要1x.即即可可oxyxy1两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当当Xx 时时, 有有 Axf)(A

3、xfx)(lim,0,0X当当Xx时时, 有有 Axf)(2. 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限(1) 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为面积为A )边长为边长为(真值真值:;0 x边长边长面积面积2x直接观测值直接观测值间接观测值间接观测值任给精度任给精度 , 要求要求 Ax2确定直接观测值精度确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx点a的 邻域邻域.a ),(xaaxa xax)(aa我们称集合我们称集合定义定义2 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,0,0当当00 x

4、x时时, 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的时的极限极限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf当即即,0,0当当),(0 xx时时, 有有若若记作记作 Axf)(Axfxx)(lim0 ),(Uxaax0其中其中, a 称为称为邻域中心邻域中心 , 称为称为邻域半径邻域半径 .去心去心 邻域邻域.左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa称集合称集合为点为点a的的1.1.函数极限与函数极限与f ( (x) )在点在点x0 0是否有定义无关是否有定义无关2.2.与任意给定的与任意给定的有关有关极限存在极限存在函数在局部有

5、界函数在局部有界这表明这表明: 注意注意: :几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 函数函数y=f ( (x) )的图形完全落的图形完全落在以直线在以直线y= =A为中心线为中心线, ,宽宽为为2 2的带形区域内的带形区域内00 xx当当时时, 例例2. 证明证明0limxxcc211lim21xxx证证 Axf)(2112xx21 x故故,0取取,当当10 x时时 , 必有必有2112xx因此因此211lim21xxx1 x由极限的定义容易证明由极限的定义容易证明(c为常数为常数),),0000lim,limsin0 ,limcos1xxxxxxxx(2) 左极限与右极限

6、左极限与右极限左极限左极限 :0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf右极限右极限 :0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf由定义由定义2以及左右极限的定义容易得到以及左右极限的定义容易得到Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00例例3.3. 设函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . . xyo11 xy11 xy解解因为因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx)

7、1(lim0 xx1显然显然(00)(00) ,ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 . .关于函数极限，也有类似于数列极限的重要结论关于函数极限，也有类似于数列极限的重要结论. .表示表示x的某个变化过程中函数的极限的某个变化过程中函数的极限定理定理2 2（有界性）（有界性）在一点收敛的函数必在该点附在一点收敛的函数必在该点附近有界近有界定理定理3 3（夹逼准则）（夹逼准则）且且( )( )( ) ,a xf xb xxI设在区间设在区间I I上上lim ( )lim ( )a xb xA则则lim( )fxAlim( )f x 定理定理1 1（唯一性）（唯一性）若函数的极限存在，则这极限是唯一的若函数的极限存在，则这极限是唯一的. .在自变量的某个变化过程中，在自变量的某个变化过程中，内容小结内容小结1. 1. 函数极限的函数极限的或或X定义定义2. 2. 函数极限的性质函数极限的性质: : 唯一性、有界性、夹逼准则唯一性、有界性、夹逼准则与左右极限等价定理与左右极限等价定