数字信号处理(6-7)

1、绪论一一. 信号处理？信号处理？inputoutput)(tx)(tyProcessing接收信号-作出反应-产生结果信号：t 连 +(x ?) - 模拟 t 断 + x 数字化 -数字绪论inputoutput)(tx)(tyProcessing信号： , t 断 + 幅值数字化 -采样系统（核心）：数字处理（数字器件，程序）)(nx)(ny)(nx)(ny第第 五章五章 数字滤波器的设计数字滤波器的设计5.1 数字滤波器的结构数字滤波器的结构信号：信号：)(nx)(eXj )(zX)(KX系统：系统：)(nx)(eXj )(zX)(KX)(nh)(eHj )(zH)(KH)()()(nhn

2、xny )()()(eHeXeYjjj )()()(zHzXzY )()()(KXKHKX *圆圆第 五章 数字滤波器的设计 5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 MrrNkkrnxbknya00)()(系统：系统： NkkkMrrrZaZbzXzYzH00)()()(脉冲响应：脉冲响应：)()(0011 NkkkMrrrZaZbzHnhZZ第 五章 数字滤波器的设计 5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类一一. 按时域性能分按时域性能分L有限，系统：有限长滤波器有限，系统：有限长滤波器(FIR)； N=0.L无限，系统：无限长滤波器无

3、限，系统：无限长滤波器(IIR)； N0.脉冲响应的长度脉冲响应的长度L：)()(0011 NkkkMrrrZaZbzHnhZZ第 五章 数字滤波器的设计 5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类二二. 按系统结构分按系统结构分1.非递规系统：输出只与输入及其以前的状态有关，而与输出非递规系统：输出只与输入及其以前的状态有关，而与输出的以前状态无关；的以前状态无关； N=0. （FIR)2.递规系统：输出不仅与输入及其以前的状态有关，而且与输递规系统：输出不仅与输入及其以前的状态有关，而且与输出的以前状态有关，出的以前状态有关， 即：存在反馈环节；即：存在反馈环节； N0. (IIR) M

4、rrNkkrnxbknya00)()( NkkMrrknyaarnxabny1000)()()( Mrrrnxabny00)()(第 五章 数字滤波器的设计 5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类三三. 按系统频率特性分按系统频率特性分 njnjenheH )()(数字（角）频率：数字（角）频率：特点：特点：连续、周期：连续、周期： 2 0 或：或：1：低通滤波器。通带：低通滤波器。通带： c0 2 30 | )(|eHj c c 第 五章 数字滤波器的设计 5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类2：带通滤波器。通带：带通滤波器。通带： 21cc 2 30 | )(|eHj 1c

5、2c3：高通滤波器。通带：高通滤波器。通带： c 2 30 | )(|eHj c第 五章 数字滤波器的设计 5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类4：带阻滤波器。通带：带阻滤波器。通带：021 cc 2 30 | )(|eHj 1c 2cT 说明：说明：A: 数字频率与原模拟信号的模拟频率的关系：数字频率与原模拟信号的模拟频率的关系：B ：221, 0, 0T 第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示 MrrNkkrnxbknya00)()(系统：系统：说明：说明：1.输出可以通过输入及其延时状态（历史状态），和

6、输出延时输出可以通过输入及其延时状态（历史状态），和输出延时状态（历史状态）的加权叠加得到。状态（历史状态）的加权叠加得到。 NkkMrrknyaarnxabny1000)()()( MrrNkkrnxbknyany01)()()(或写为：或写为：第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示一一. 信号流图表示信号流图表示系统：系统： 输出可以通过输入及其延时状态（历史状态），和输出延输出可以通过输入及其延时状态（历史状态），和输出延时状态（历史状态）的加权叠加得到。时状态（历史状态）的加权叠加得到。 az1 )(1nx)(2nx)()(21nxnx )(nx)(n

7、ax)(nx)1( nx累累加加加加权权延延时时az1 )(1nx)(2nx)()(21nxnx )(nx)(nax)(nx)1( nx累累加加加加权权延延时时第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示例子例子1： 信号流图表示信号流图表示)()2()1()(021nxbnyanyany )(nyz1 z1 )1( ny)2( nya1a2)(nxb0)(0nxb)1(1 nya)2(2 nya第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示例子例子1： 信号流图表示信号流图表示)()2()1()(021nxbnyanyany )(nyz1

8、 z1 )1( ny)2( nya1a2)(nxb0第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示例子例子2： 信号流图表示信号流图表示)1()()2()1()(1021 nxbnxbnyanyany)(nyz1 z1 )1( ny)2( nya1a2)(nxb0b1z1 )1( nx第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示例子例子3： 一般信号流图表示一般信号流图表示)(nyz1 z1 )1( ny)2( nya1a2)(nxb0b1z1 MrrNkkrnxbknyany01)()()(b2z1 bMz1 z1 aNbM 1 aN 1

9、 )(Nny )(Mnx 第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示二二. 矩阵表示矩阵表示系统表示：系统表示： 信号流图信号流图 线性矩阵线性矩阵 （变换）（变换）节点节点 状态（中间）变量状态（中间）变量累加点累加点 线性（一阶）差分方程（流入量）线性（一阶）差分方程（流入量）输出输出输出方程（一阶）代数方程输出方程（一阶）代数方程)()1()()(nBXnWFnWFnWdc )()(nCWny 一般表达式：一般表达式：1.可可/不可计算：不可计算： 上式中对应于原节点的状态变量可以任意排列，上式中对应于原节点的状态变量可以任意排列，有的通过重新标号后，可以直

10、接顺序地计算出所有变量；否则有的通过重新标号后，可以直接顺序地计算出所有变量；否则不可计算。不可计算。2.充要条件：信号流图的各个环路都包含延迟支路，充要条件：信号流图的各个环路都包含延迟支路， 也暨矩阵可也暨矩阵可以转化为下三角矩阵。以转化为下三角矩阵。第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波器的表示例子例子1. 矩阵表示矩阵表示 （67）)(nyz1 z1 )(1nw)(nxba)(2nw)(3nw )()()()()()1()1()()()(12331221nwnynxnawnwnwnwnwnwbnw第 五章 数字滤波器的设计 5.1.2 数字滤波器的表示数字滤波

11、器的表示例子例子1. 矩阵表示矩阵表示 （67）)(nyz1 z1 )(1nw)(nxba)(2nw)(3nw)(100)1()1()1(00101000)()()(0000000)()()(321321321nxnwnwnwanwnwnwabnwnwnw )()()(001)(321nwnwnwny第 五章 数字滤波器的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 MrrNkkrnxbknyany01)()()()(nyz1 z1 )1( ny)2( nya1a2)(nxb0b1z1 b2z1 bMz1 z1 aNbM 1 aN

12、1 )(Nny )(Mnx 一一. 直接型：直接型：I 型型第 五章 数字滤波器的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构)(1111)(1)(011010 MrrrNkkkNkkkMrrrNkkrMrrrzbzazazbzbzbzH相当于两个子系统的级联：相当于两个子系统的级联： MrrrzbzH01)( NkkkzazH1211)(前半部：前半部：后半部：后半部：第 五章 数字滤波器的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构)(ny)(nxb0b1z1 b2z1 bMz1 bM 1 z1 z1 a1a2z1 aNaN 1 直接型：直接型：第 五章 数字滤波器

13、的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构)(ny)(nxb0b1b2bMbM 1 z1 z1 a1a2z1 aNaN 1 直接直接 II 型型 （中准型、典范型）（中准型、典范型） ：优点：直观、优点：直观、II 型比型比 I 型的延时器件减少（型的延时器件减少（1/2), 误差也减少误差也减少缺点：参数对零极点控制不直接，调整困难；累积误差缺点：参数对零极点控制不直接，调整困难；累积误差第 五章 数字滤波器的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构二二. 级联型：级联型：)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(1)(2211221111*

14、1211111*121111111110zzzzAzqzqzpzhzhzgAzDzCAzbzbzHkkkkLkkkNkkNkrrMrrMrkNkrMrNkkrMrrr 注：注： 零极点的配置是将它们位置相近的配置在一个二阶环节中零极点的配置是将它们位置相近的配置在一个二阶环节中第 五章 数字滤波器的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构)(ny)(nx优点：优点： 存储单元少，二届缓阶环节可以复用；系数对零极点控制直接，存储单元少，二届缓阶环节可以复用；系数对零极点控制直接，方便系统调整性能方便系统调整性能缺点：累积误差缺点：累积误差级联型：级联型：z1 k1z1 k2 k1

15、 k2z1 11z1 21 11 21z1 12z1 22 12 22z1 L1z1 L2 L1 L2第 五章 数字滤波器的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构三三. 并联型：并联型：zCzqzzzzCzqzqzeBzpAzqzqzpzhzhzgAzDzCAzbzbzHkkNMkkkkkkLkkkNMkkkkkNkkkNkkkNkkNkrrMrrMrkNkrMrNkkrMrrr 01*1211110101*11211111*1211111*121111111110)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(1)( 第 五章 数字滤波器

16、的设计 5.1.3 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构级联型级联型 （M=N)：z1 k1z1 k2 k1 k0)(ny)(nxz1 L1z1 L2 L1 L0z1 11z1 21 11 01c0特点：特点： 1 并行运算并行运算2 只能直接控制极点只能直接控制极点3 误差基本上无积累误差基本上无积累第 五章 数字滤波器的设计 5.1.4 FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构5.1.4 FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 10)()(NnnznhzH一一. 直接型（卷积型）：直接型（卷积型）：)(ny)(nxz1 z1 z1 z1 10)()()(Nkknhkxny)0(h)1(h)

17、2(h)1( Nh第 五章 数字滤波器的设计 5.1.4 FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构)(ny)(nxz1 z1 11 21 01z1 z1 12 22 02z1 z1 L1 L2 L0二二 级联型：级联型：三三 线性相位型：线性相位型：)1()(nNhnh z)21Nh(zzh(n)zzh(n)1)/2(N11)/2(N0nn)1(Nn1N/20nn)1(Nn)(zHN为偶数为偶数N为奇数为奇数第 五章 数字滤波器的设计 5.1.4 FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构四四 频率取样型：频率取样型：)()(1)(1)1()(21110zHzHzWkHNzzHkNNkN | )()

18、(WkNzzHkH )1()(1zzHN zWkHNzHkNNk11021)(1)( FIRIIR第 五章 数字滤波器的设计 5.1.4 FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计5.2 无限冲击响应无限冲击响应(IIR)滤波器的设计滤波器的设计5.2.1 设计思想设计思想目的：给定技术指标，设计一个数字系统（滤波器），使得其目的：给定技术指标，设计一个数字系统（滤波器），使得其 特性达到（逼近）或超过给定指标。特性达到（逼近）或超过给定指标。步骤：步骤：1.给定指标；给定指标；2.（系统传递）函数逼近；（系统传递）函数逼近；3.实现；（程序或

19、数字器件）实现；（程序或数字器件）方法方法1.模拟模拟 数字数字2.直接设计直接设计0cs1| )(|eHj通带阻带过渡带12第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计5.2.2 先模拟设计先模拟设计 数字数字设计的方法设计的方法思路思路模拟滤波器的设计方法相当成熟。模拟滤波器的设计方法相当成熟。伯特图、根轨迹等伯特图、根轨迹等模拟传递函数模拟传递函数H(S)与数字滤波器的传递函数与数字滤波器的传递函数(H(z)结构相似。结构相似。有理多项式分式形式有理多项式分式形式先设计以满足某指标集的先设计以满足某指标集的H(S), 然后映射到然后映射到H(z)，并保证，并保证H(z)也满足数

20、字滤波器指标集的要求。也满足数字滤波器指标集的要求。映射关系：映射关系： -关键关键指标转换指标转换传递函数转换传递函数转换第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计关键关键映射关系：映射关系：传递函数转换传递函数转换 指标转换指标转换 频率映射关系频率映射关系本质：本质： S平面与平面与Z平面的映射关系平面的映射关系要求：要求：数字滤波器与模拟滤波器的主要特性相似；数字滤波器与模拟滤波器的主要特性相似；S平面虚轴应射成平面虚轴应射成Z平面的单位圆；平面的单位圆；数字频率与模拟频率应呈线性或近似线性的关系。数字频率与模拟频率应呈线性或近似线性的关系。稳定性不变稳定性不变S左半平面映

21、射到左半平面映射到Z平面的单位圆内平面的单位圆内第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 冲击响应不变法冲击响应不变法5.2.2.1 映射方法一：冲击响应不变法映射方法一：冲击响应不变法思路：思路：0)()(nnznhzH)()(nThnh)()(1SHLth)(SHZ平面：平面：S平面：平面：:指标集:指标集ZS本质是确定：本质是确定：Z)(zfS )( g验证：验证：第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 冲击响应不变法冲击响应不变法一一. H(s) H(z)ssAsHkkNk 1)()()(1tueAthtskNkk )()()()(1nueAnThnhnT

22、skNkk zeAzHTskNkk111)( 特点：特点：1 留数不变：留数不变：2 极点：极点：eTsksk第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 冲击响应不变法冲击响应不变法S 平面与平面与Z平面之间的映射关系的进一步讨论平面之间的映射关系的进一步讨论nnsnTtnTnTtttMtthhhh)()()()()()()()()(ttMT)(th)(ths调制enThdtenTtnThdtenTtnThdtethsHsTnnstnstnstss)()()()()()()(第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 冲击响应不变法冲击响应不变法mtTjmmneCnTt

23、tM2)()(TCm1mtTjmmtTjmseehthTTthtMtht22)(11)()()()( mmtTjmsstmtTjmstTjmsHTdtthTdtthTSHeee)2(1)(1)(1)()2(20)()(nnznhzH结论：结论：的周期延拓是)()(1sHSHs)(| )(,2SHzHezsesTzsT当第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 冲击响应不变法冲击响应不变法S 平面与平面与Z平面之间的映射关系的进一步讨论平面之间的映射关系的进一步讨论ezsT011j0T/T/平面S平面Z)Im(zj)Re(zT第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计

24、冲击响应不变法冲击响应不变法稳定性分析：稳定性分析：ezsT映射保持了原系统的稳定性变换后不变保持了原系统的稳定性变换后不变逼近度分析：逼近度分析：T映射频率变换是线性的，原频谱形状不变。频率变换是线性的，原频谱形状不变。又又S平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上，故逼近度良好平面的单位圆上，故逼近度良好特点：特点：1.冲击响应相似；冲击响应相似；2.数字频率与模拟信号的频率之间的映射是线性的；数字频率与模拟信号的频率之间的映射是线性的；3.极点对应；极点对应；4.适用于带限滤波器的设计；适用于带限滤波器的设计；eTskskT第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计双

25、线性变换双线性变换5.2.2.2 映射方法二：双线性变换法映射方法二：双线性变换法思路：思路：0)()(nnznhzH)()(nThnh)()(1SHLth)(SHZ平面：平面：S平面：平面：:指标集:指标集ZS本质是确定：本质是确定：Z)(zfS )( g验证：验证：单值映射单值映射第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计双线性变换双线性变换双线性变换双线性变换S 平面与平面与Z平面之间的映射关系平面之间的映射关系ezTS1 T 1 011平面Z)Im(zj)Re(z1 j1 0T/T/平平面面1Sj0T/T/平面SeeTsTSTS 11112)2/(21TtgT zzTs11

26、112 )2/(2 tgT 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计双线性变换双线性变换特点：特点：zzTssHzH11112| )()(1 )2/(22 tgT 非非线线性性：平平面面的的单单位位圆圆内内左左半半平平面面映映射射到到zS3避避免免了了频频谱谱混混叠叠4第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计双线性变换双线性变换双线性变换的畸变双线性变换的畸变)2/(2 tgT 非非线线性性：“预畸预畸”的校正：的校正：)2/(2 tgT 按按照照指指标标，由由给给定定的的 设设计计模模拟拟低低通通滤滤波波器器指指标标再再按按照照这这指指标标，转转换换成成 没有带宽

27、限制，双线性没有带宽限制，双线性变换法适用范围较广变换法适用范围较广第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯5.2.2.3 模拟低通滤波器设计的典型方法模拟低通滤波器设计的典型方法模拟低通滤波器设计的思路：模拟低通滤波器设计的思路：)(| )(| jHSHjs:指标集:指标集逼近逼近转换转换一一. 巴特沃斯滤波器设计法巴特沃斯滤波器设计法)(11| )(|)(222 cNjjjHA)(整数整数为滤波器的阶数为滤波器的阶数N分贝带宽3为截止频率，c第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯 jS令：令：)(11)()(2 cNjssH

28、sH由下式求得：由下式求得：的极点的极点SsHsHk)()( 0)(12 cNjsejsNkjccNk212122/1)()1(Nk2, 2, 1 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯3 N令：令：由下式求得：由下式求得：的极点的极点SsHsHk)()( eSkjck 21612 6, 2, 1 keSjc 321 eSjc 2eSjc 343 eSjc 354 eSjc04 eSjc 316 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯,)()()(的极点的极点的左半平面上的极点为的左半平面上的极点为取取sHsHsH 1221)

29、()()( 23321321 sssSsSsSsSSSsH得：得： css/: 规一化规一化注：注：化的普遍形式为：化的普遍形式为：阶巴特沃斯滤波器规一阶巴特沃斯滤波器规一N,)(1)(1SssHknk eSNkjk 21212 Nk, 2, 1 假设直流增溢为一假设直流增溢为一第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯,)(1)(1SssHknk eSkjk 21612 Nk, 2, 1 或或121)(12211 sassasassHNNNNNN阶巴特沃斯滤波器规一化的普遍形式为：阶巴特沃斯滤波器规一化的普遍形式为：第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设

30、计的设计 巴特沃斯巴特沃斯eSkjk 21612 Nk2, 2, 1 一一 确定两个参数确定两个参数：N:)(整数整数阶数阶数 c:截止频率截止频率它们都决定于给定的指标它们都决定于给定的指标：N阶巴特沃斯滤波器设计的一般步骤为：阶巴特沃斯滤波器设计的一般步骤为：,)(21| )(| cjjNAjH二二 求求H(s)H(-s)的极点，并将左半平面的极点指定为的极点，并将左半平面的极点指定为H(s)的极点。的极点。A为直流增益，一般规一为直流增益，一般规一 0)(12 cNjs第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯三三 写出写出H(s)的表达式的表达式,)()(

31、11SsSAsHkNkkNk eSkjk 21612 Nk, 2, 1 A为直流增益为直流增益 注：注：巴特沃斯变换器的幅频特性巴特沃斯变换器的幅频特性曲线无论在通带还是阻带都曲线无论在通带还是阻带都是单调下降函数，在通带是单调下降函数，在通带/阻阻带边界内满足要求时，通带带边界内满足要求时，通带/阻带内肯定有裕量，导致阶阻带内肯定有裕量，导致阶数的增加数的增加第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯0 c z1 | )(| jH通带阻带过渡带1 z例子例子1：sradc/1043 sradz/1083 dbz15 Hzfs20 )(11)(2 cNjjjH)(

32、1log10)(log(202 cNjjjH第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 巴特沃斯巴特沃斯例子例子1：sradc/1043 15)(1log10)(log(202 zcNjjjH468. 2)/log(2/ 110log1 . 0 czzN 取：取： N=3求极点：求极点：0)(12 cNjseSkjck 21612 6, 2, 1 k第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫例子例子1：sradc/1043 468. 2)/log(2/ 110log1 . 0 czzN 取：取： N=3其中左半平面的极点为：其中左半平面的极点为：eSk

33、jck 21612 6, 2, 1 keSjc 321 eSjc 2eSjc 343 122)()(122333131 sssSsSsHccckkkkA为直流增益，为直流增益， 所以所以 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫模拟低通滤波器设计的思路：模拟低通滤波器设计的思路：)(| )(| jHSHjs:指标集指标集 :指标集指标集 逼近逼近转换转换二二. 切比雪夫低通滤波器设计法切比雪夫低通滤波器设计法注：注：巴特沃斯变换器的幅频特性巴特沃斯变换器的幅频特性曲线无论在通带还是阻带都曲线无论在通带还是阻带都是单调下降函数，在通带是单调下降函数，在通带/阻阻带

34、边界内满足要求时，通带带边界内满足要求时，通带/阻带内肯定有裕量，导致阶阻带内肯定有裕量，导致阶数的增加数的增加第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫结论：结论： 切比雪夫低通滤波器是在同带或阻带内具有等波纹幅度特性的滤波器；同切比雪夫低通滤波器是在同带或阻带内具有等波纹幅度特性的滤波器；同样指标的情况下，其阶数小于巴特沃斯滤波器的阶数；切比雪夫样指标的情况下，其阶数小于巴特沃斯滤波器的阶数；切比雪夫 I 型型/ II 型型第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫)/(11| )(|)(2222 cNCjHA )(整数整数为滤波

35、器的阶次为滤波器的阶次N为截止频率为截止频率 c通带纹波参数通带纹波参数, 01 式式为切比雪夫多项为切比雪夫多项CN切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器设计型滤波器设计其幅频特性的平方为：其幅频特性的平方为： 1|, )cos(1|, )coscos()(11xxchNxxNxCN)()(2)(11xCxxCxCNNN 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫NCN(x)011x22x2 -134x3-3x48x4-8x2+1516x5-20 x3+5x632x6-48x4+18x2-1)()(2)(11xCxxCxCNNN :)(xCN1.零值在零值在 0 x1

36、的区间内；的区间内；2.当当 0=1， |CN(x) =1|, 且且具有等波纹幅度特性；具有等波纹幅度特性；3.在在x=1区域之外，是双曲区域之外，是双曲余弦函数，随余弦函数，随x单调增加。单调增加。 222)/(0 cNC1)/( c 2221)/(11 cNC1)/(11| )(|112222 cNCjH 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫1)(112 jH c 211)( jH定义：定义： 通带纹波：通带纹波： （db） )1(log10| )(| )(|log10| )(| )(|log202102min2max10minmax10 jHjHjHj

37、H第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫11010/ :N滤波器的阶次滤波器的阶次 c: 通带纹波参数通带纹波参数切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器设计步骤型滤波器设计步骤1.求参数：求参数： N)/(11| )(|)(2222 csNssCjHA 1)(11)/(2 scsNAC 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器设计步骤型滤波器设计步骤1.求参数：求参数： N1/ cs1)(11)/()/(21 scscsNAchNchC )/(/ )1)(11(121 csschAchN 或：或：)1)(1

38、1(121 scsAchNch 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫21)/(11| )(|)(3223232 cNCjHA 1)/(3 cNC:(通带带宽）通带带宽）通带截止频率通带截止频率 c一般给定，一般给定， 但有时给定的是但有时给定的是3db处频率：处频率：)1(1/13 chNchc 1/3 c 1)/()/(313 ccNchNchC 3第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫11010/ :N滤波器的阶次滤波器的阶次 c: 通带纹波参数通带纹波参数切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器设计步骤型滤波器设计步骤1.求参数

39、：求参数： N)/(/ )1)(11(121 csschAchN )1(1/13 chNchc :(通带带宽）通带带宽）通带截止频率通带截止频率 c第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器设计步骤型滤波器设计步骤2.求极点求极点 Sk)12(2sin kNack 0)/(122 cNC 设设： kkkjS 则：则：)12(2cos kNbck )1(11 shNsha 其中：其中：)1(11 shNchb 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫即构成一个椭圆方程，极点即构成一个椭圆方程，极点Sk就分

40、布就分布在这个椭圆上；为了稳定，将左半平在这个椭圆上；为了稳定，将左半平面上的极点视为面上的极点视为H(s)的极点。的极点。进一步可导出：进一步可导出：1)()(2222 backck 其中：其中：)(21/1/1 NNb 且且：)(21/1/1 NNa 1112 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫式子中：式子中：c为增益常量，可根据通带或为增益常量，可根据通带或阻带的增益求得：阻带的增益求得：根据极点，可写出切比雪夫根据极点，可写出切比雪夫 I 型滤波器的系统函数为：型滤波器的系统函数为： NkksscsH1)()(第 五章 数字滤波器的设计 5.2 I

41、IR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫式子中：式子中：c为增益常量，可根据通带或阻为增益常量，可根据通带或阻带的增益求得；带的增益求得；Sk为左半平面的极点：为左半平面的极点：)(21/1/1 NNb 切比雪夫切比雪夫 I 型模型求极点的一般步骤是：型模型求极点的一般步骤是：)(21/1/1 NNa 1112 NkksscsH1)()()12(2sin kNack kkkjS )12(2cos kNbck 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫指标集：指标集：切比雪夫切比雪夫 I 型模拟滤波器设计实例型模拟滤波器设计实例 (P98)0 c s1 | )(|eHj

42、通带阻带过渡带1 2 db11 db152 2 . 0 c 3 . 0 ssT103 变换：冲击相应不变法变换：冲击相应不变法设计步骤设计步骤:一一 指标变换指标变换变换：冲击相应不变法，则有：变换：冲击相应不变法，则有：T 20010/2 . 0/3 Tcc 30010/3 . 0/3 TssdbjH1| )200(|log201 dbjH15| )300(|log202 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫50885. 011011010/110/ |1 :N滤波器的阶次滤波器的阶次 c: 通带纹波参数通带纹波参数切比雪夫切比雪夫 I 型模拟滤波器设计实

43、例型模拟滤波器设计实例 (P98)二二 求参数：求参数： N)/(/ )1)(11(121 csschAchN :(通带带宽）通带带宽）通带截止频率通带截止频率 c 20010/2 . 0/3 TccdbAs15| )(|log202 30010/3 . 0/3 Tss0316. 010)(10/22 sA第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫:N滤波器的阶次滤波器的阶次 c切比雪夫切比雪夫 I 型模拟滤波器设计实例型模拟滤波器设计实例 (P98)二二 求参数：求参数： N2 . 3)200/300(/ )10316. 0150885. 01()/(/ )1)

44、(11(11121 chchchAchNcss取：取： N=4, 则：则： 41)()(kksscsH第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫 I 型模拟滤波器设计实例型模拟滤波器设计实例 (P98)三三 求极点：求极点：3646. 0)172. 4172. 4(21)(214/14/1/1/1 NNa172. 4150885. 0150885. 0111122 )12(2sin kNack kkkjS )12(2cos kNbck 0644. 1)172. 4172. 4(21)(214/14/1/1/1 NNbNk2, 2, 1 第 五章 数

45、字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫 I 型模拟滤波器设计实例型模拟滤波器设计实例 (P98)三三 求极点：求极点：3646. 0)172. 4172. 4(21)(214/14/1/1/1 NNa172. 4150885. 0150885. 0111122 )12(2sin kNack kkkjS )12(2cos kNbck 0644. 1)172. 4172. 4(21)(214/14/1/1/1 NNbNk2, 2, 1 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 切比雪夫切比雪夫式中：式中：c为增益常量为增益常量, 本例中：本例中：

46、切比雪夫切比雪夫 I 型模拟滤波器设计实例型模拟滤波器设计实例 (P98)三三 求极点：求极点： 41)()(kksscsH取取Sk为左半平面的为为左半平面的为H(s)的极点：的极点：Nk, 2, 1 kkkjS 四四 H(s)： 41|kksc五五 H(z)：第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.4 模拟模拟 数字数字设计设计IIR 的完整步骤方法的完整步骤方法0 c s1 | )(|eHj 通带阻带过渡带1 2 一一 指标变换指标变换变换：冲击相应不变法，则有：变换：冲击相应不变法，则有：T 双线性变换法，则有：双线性变换法，则有：)2/(2 tgT 非非线线

47、性性：有有“预畸预畸”的校正的作的校正的作用：用：第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.4 模拟模拟 数字数字设计设计IIR 的完整步骤方法的完整步骤方法二二 选择逼近幅频特性的数学模型选择逼近幅频特性的数学模型)/(11| )(|)(2222 cNCjHA 切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器，型滤波器， 其幅频特性的平方为：其幅频特性的平方为：巴特沃斯滤波器设计法巴特沃斯滤波器设计法)(11| )(|)(222 cNjjjHA第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.4 模拟模拟 数字数字设计设计IIR 的完整步骤方法的完整步骤方法三三 确

48、定数学模型的关键参数确定数学模型的关键参数切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器，型滤波器， 其幅频特性的平方为：其幅频特性的平方为：巴特沃斯滤波器设计法巴特沃斯滤波器设计法:N滤波器的阶次滤波器的阶次: 通带纹波参数通带纹波参数:(通带带宽）通带带宽）通带截止频率通带截止频率 c:N滤波器的阶次滤波器的阶次:3(）通带截止频率通带截止频率dbc 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.4 模拟模拟 数字数字设计设计IIR 的完整步骤方法的完整步骤方法四四 求极点：求极点：切比雪夫切比雪夫 I 型滤波器型滤波器巴特沃斯滤波器设计法巴特沃斯滤波器设计法0)(12 cNjs0)

49、/(122 cNC ba k kkkjS k取取Sk为左半平面的为为左半平面的为H(s)的极点：的极点：Nk, 2, 1 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.4 模拟模拟 数字数字设计设计IIR 的完整步骤方法的完整步骤方法五五 求求 H(s)：式中：式中：c为增益常量为增益常量, 一般直流增益为一般直流增益为1时：时： Nkksc1| NkksscsH1)()(第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.4 模拟模拟 数字数字设计设计IIR 的完整步骤方法的完整步骤方法六六 H(s) - H(z)变换：冲击相应不变法，则有：变换：冲击相

50、应不变法，则有：双线性变换法，则有：双线性变换法，则有：zzTssHzH11112| )()( ssAsHkkNk 1)(zeAzHTskNkk111)( 第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.5 频率变换（非低通滤波器）频率变换（非低通滤波器）方法一：方法一： 模拟模拟 - 模拟模拟 - 数字数字方法二：方法二： 合并法合并法: 模拟模拟 （- 模拟模拟 ） - 数字数字方法三：方法三：数字数字(低通低通） - 数字数字第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.5 频率变换（非低通滤波器）频率变换（非低通滤波器）第 五章 数字滤波器的设

51、计 5.2 IIR的设计的设计 一一 模拟频率变换模拟频率变换低通低通 - 带通带通ssP 22P低通滤波器平面变量：低通滤波器平面变量：带通滤波器平面变量：带通滤波器平面变量：s ppjP js 222p两个复平面之间的映射关系：两个复平面之间的映射关系：频率变换（映射）关系：频率变换（映射）关系：0 p 2 pcp pcp 3 1 32322pc 12122pc第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.5 频率变换（非低通滤波器）频率变换（非低通滤波器） 222pssP 22第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.5 频率变换（非低通滤

52、波器）频率变换（非低通滤波器） 22222ssP22222 p第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计sPcpc cpcp第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 二二 数字频率变换（非低通滤波器）数字频率变换（非低通滤波器）第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 数字变换公式表数字变换公式表第 五章 数字滤波器的设计 5.2 IIR的设计的设计 5.2.2.5 频率变换（非低通滤波器）频率变换（非低通滤波器）第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 5.3 有限冲激响应（有限冲激响应（FIR）数字滤波器的设计）数字滤波器的设计5.3.

53、1 FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性IIR设计只考虑了幅频特性（稳定性设计只考虑了幅频特性（稳定性 相位相位）FIRw 有限长有限长-稳定稳定w 满足幅频特性的基础上满足相频特性满足幅频特性的基础上满足相频特性0,)()(10 zznhzhNnneHenhzHeHjNnnjezjj)(10)()(| )()( FIR的频率响应为：的频率响应为：)( H)( 是是FIR幅频特性；幅频特性；是是FIR相频特性相频特性第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 FIR的相频特性的相频特性w 线性相位线性相位 112/ )1(2112/ )1(010)()()21()()()()(N

54、NnnjNjNnnjNnnjjjenheNhenhenheHeH 1 h(n)偶对称，偶对称， N为奇数为奇数对右边第三项对右边第三项, 令：令：)1()(nNhnh nNm 1 12/ )1(0)1(2112/ )1(012/ )1(0)1(2112/ )1(0)()()21()()1()21()()(NmmNjNjNnnjNmmNjNjNnnjjemheNhenhemNheNhenheH 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 w 线性相位线性相位1 h(n)偶对称，偶对称， N为奇数为奇数)1()(nNhnh 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 )21

55、()21(cos()(2)21()()()21()()(12/ )1(02112/ )1(0)21()21(2112/ )1(02112/ )1(0)( NhnNnheNheenhenheNhenheHNnNjNnnNjnNjNjNnNjNnnjj nNm 21 )cos()21(2)21()cos()21(2)(2/ )1(0212/ )1(121)( NmNjNmNjjmmNheNhmmNheeH 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 2/ )1(0)cos()21(2)(NmmmNhH 21)( N 令：令： 是一个实数是一个实数 ，其绝对值就是真正意义上的幅频特性；，

56、其绝对值就是真正意义上的幅频特性；与真正意义上的相频特性相差最多为一常数：与真正意义上的相频特性相差最多为一常数： 因此，它完全表征了相频特性的变化规律；它是与频率因此，它完全表征了相频特性的变化规律；它是与频率 线形函数，所以线形函数，所以FIR滤波器也是频率滤波器也是频率 线形函数线形函数 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 同理可以证明：同理可以证明：2 h(n)偶对称，偶对称， N为偶数为偶数 2/1)2/1(cos()2(2)(NmmmNhH 21)( N 3 h(n)奇对称，奇对称， N为奇数为奇数 2/ )1(1)sin()21(2)(NmmmNhH 212)

57、( N 0)( H表明这类滤波器不适于逼近高通或带阻表明这类滤波器不适于逼近高通或带阻在在 不为零的滤波器不为零的滤波器 , 0 0)( H表明这类滤波器不适于逼近高表明这类滤波器不适于逼近高/低通或带阻低通或带阻在在 不为零的滤波器，微分器不为零的滤波器，微分器 , 0 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 4 h(n)奇对称，奇对称， N为偶数为偶数 2/1)2/1(sin()2(2)(NmmmNhH 212)( N 特性如图特性如图 p103/5所示所示结论：当结论：当h(n)具有某种对称形时，具有某种对称形时，FIR具有线性相位具有线性相位0 0)( H表明这类滤波器

58、不适于逼近高表明这类滤波器不适于逼近高/低通或带阻低通或带阻在在 不为零的滤波器，微分器不为零的滤波器，微分器0 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 图图 p103第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 图图 p105第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 5.3.2 FIR的设计的设计5.3.2.1 窗口设计法窗口设计法思路：思路：)(eHjd 设计步骤：设计步骤：)(nhd是理想是理想FIR幅频特性，如矩形滤波器；幅频特性，如矩形滤波器；是其脉冲响应（无限）是其脉冲响应（无限）)(nhd)()()(nwnhnhd )(eHj F1 窗口截

59、取窗口截取F关键：关键： 逼近逼近理想特理想特性性S1:)(eHjd )(nhdF1 deeHnhnjjdd)(21)()(eHjd 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 例（理想低通滤波器）例（理想低通滤波器）是无限长，非因果的，无法实现的系统是无限长，非因果的，无法实现的系统)(nhd)21()21(sin21)(21 NnNndeenhcnjNjd otherseeHcNjjdc,0)(,21 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 例（图理想低通滤波器）例（图理想低通滤波器） 第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 满足对称条件：满足对称条件：)1()(nNhnh 10,)21()21(sin)()()( NnNnNnnwnhnhcd S2:)(nhd)()()(nwnhnhd 窗口截取窗口截取关键：关键： 逼近逼近 othersNnnRnwN,010,1)()(具有线形相位具有线形相位第 五章 数字滤波器的设计 5.3 FIR的设计的设计 10,)()()( NnnwnhnhdS3:)(nh)(eHj 验证：验证： 设计效果设计效果 deeHeWeHeHjjdjjdj)()(21)()()(eNeeeeWNjjNjNnnjj2110)2sin()2sin(11)( eHedNeHNjNjj2121)(2)(sin2)(