信号与线性系统分析(第四版)第5章

1、信号与系统 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 5.4 复频域分析复频域分析第五章第五章 连续系统的连续系统的s域分析域分析信号与系统 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解分解为众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化，物理意义清楚。但也有不足：得到简化，物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分

2、析）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。域来解决这些问题。 本章引入本章引入复频率复频率 s = +j,以复指数函数以复指数函数est为基本信为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域分域分析析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。信号与系统5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅

3、里叶变换到拉普拉斯变换收敛域收敛域( (单边单边) )拉普拉斯变换拉普拉斯变换( (单边单边) )拉普拉斯变换拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换单边拉氏变换与傅里叶变换的关系单边拉氏变换与傅里叶变换的关系信号与系统一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e- - t( 为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t) ，适，适当选取当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t) e- - t当当t时信号幅度趋时信号幅度趋近于

4、近于0 ，从而使，从而使f(t) e- - t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换相应的傅里叶逆变换 为为f(t) e- - t= j1(j)ed2tbFFb b( ( +j+j )=)= F f(t) e- - t= j(j)( )eed( )edtttf ttf tt(j)1( )(j )ed2tbf tF令令s = + j ,d =ds/j，有，有信号与系统定义b( )( )dstF sf t etjbj1( )( )e d2jstf tF ss 双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或的双边拉氏变换（或象函数象函数），），f(t)称为称为Fb(

5、s) 的双边拉氏逆变换（或的双边拉氏逆变换（或原函数原函数）。）。 信号与系统二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的双边的双边拉普拉斯变换存在。拉普拉斯变换存在。 使使 f(t)拉氏变换存在的拉氏变换存在的 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域的收敛域。 下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。信号与系统例例1： 因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求拉氏变换。，求拉氏变换。解：解： ()()j100e1( )e ed1 limee()sttstttbtFstss 1,Re ss不定

6、，无界，可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。收敛域收敛域收敛边界收敛边界信号与系统例例2： 反因果信号反因果信号f2(t)= e t (t) ，求拉，求拉氏氏变换。变换。解：解： ()00()j2e1( )eed1limee()()sttstttbtFstss ,Re 1()ss无界不定，可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 22211( )( )32f tF sssRes= 33311( )( )32f tF sss 3 2可见，象函数

7、相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。信号与系统通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 信号与系统三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换def0( )( )edstF sf ttdefjj1( )( )e d( )2jstf tF sst 简记为简记为F(s)= f(t) f(t)= - -1F(s) 或或 f(t) F(s)信号与系统四、常见函数的拉普拉斯变换四

8、、常见函数的拉普拉斯变换（1） (t) 1， - -（2） (t)或或1 1/s ， 0（3）指数函数）指数函数es0t 01ss Res0cos 0t = (ej 0t+ e e- -j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e- -j 0t )/2j 2020s信号与系统(4) 周期信号周期信号fT(t) 02(1)00( )( )ed( )ed( )ed( )edstTTTTnTstststTTTTnTnF sfttfttfttftt0001e( )ed( )ed1 eTTnsTststTTsTnttnTfttftt 令，则原式特例特例： T(t) 1/(1 esT

9、) 信号与系统五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系0( )( )edstF sf ttRes 0 j(j )( )edtFf tt要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： （1） 02；则则 F(j )=1/( j +2)信号与系统（2） 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， 0(j )lim( )FF s如如f(t)= (t)F(s)=1/s 22220001j(j )limlimlimjF= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(

10、j )不存在。不存在。 例例: f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变；其傅里叶变换不存在。换不存在。信号与系统5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质线性性质线性性质尺度变换尺度变换时移特性时移特性复频移特性复频移特性时域微分时域微分卷积定理卷积定理s 域微分域微分s 域积分域积分初值定理初值定理终值定理终值定理时域积分时域积分信号与系统一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例: :f(t) = (t)

11、+ (t)1 + 1/s， 0 信号与系统二、尺度变换二、尺度变换若若f(t) F(s) , Res 0，且有实数，且有实数a0 ，则则f(at) 1( )sFaa0()()edstf atf attat令，则0()( )edsaf atf a01( )edsaf a证明：证明：1( )sFaa, Resa 0LL信号与系统三、时移特性三、时移特性若若f(t) F(s) , Res 0, 且有实常数且有实常数t00 ,则则f(tt0) (t t0) est0F(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(att0) (att0)asFasat0e1例例1: 求如图信号的单边拉氏变

12、换。求如图信号的单边拉氏变换。解：解：f1(t) = (t) (t1)，f2(t) = (t+1) (t1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)信号与系统例例2: 已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t2)f1(0.5t) 2F1(2s)f10.5(t2) 2F1(2s)e2sf2(t) 2F1(2s)(1 e2s)例例3: 求求f(t)= e2(t1)(t) F (s)=?信号与系统四、复频移（四、复频移（s域平移）特性域平移）特性若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa

13、= a+j a,则则f(t)esat F(ssa) , Res 0+ a 例例1: 已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 21ss 求求etf(3t2)的象函数。的象函数。 解：解： etf(3t2) 2(1)321e(1)9sss例例2: f(t)=cos (2t/4) F(s)= ?解解 cos (2t/4) =cos (2t)cos (/4) + sin (2t)sin (/4) 42222242224)(222ssssssF信号与系统五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）若若f(t) F(s) , Res 0, 则则f (t) sF(s) f

14、(0) 22d( )0(0 )d ( )(0 )(0 )fts sF sffts F ssff11( )0d( )( )(0 )dnnnn rrrfts F ssft 推广推广：证明证明： 000edeed 0( )stststfttf tsf ttfsF s LL信号与系统举例若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 例例1: (n)(t) ? 例例2:?2cosddtt例例3:?)(2cosddttt信号与系统六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）sfssFft)0()(d)(1证明：证明： fffttddd0001f 00dedtfstt t

15、sttstttfsfs000de1de(1)(1)(2)(1)(1)(2) tstttfs0de110fs F ss若若L f(t)=F(s)，则，则L信号与系统)(1d)(0sFsxxfnnt例例1: t2 (t)? 0( )d( )txxtt2200( )d( )d( )2tttxxxxxt232( )tts信号与系统例例2: 已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s)解解：对：对f(t)求导得求导得f (t)，如图，如图0( )d( )(0 )tfxxf tf由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故f(0)=00( )( )dtf tfxxf (t)=(t)(t 2)

16、(t 2) F1(s)221(1 e)esss1( )( )F sF ss结论：若结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s) 则则 f(t) Fn(s)/sn信号与系统七、卷积定理七、卷积定理时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2则则 f1(t)f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 j1212j1( )( )( )()d2jccf t f tFF s 例例1：t (t) ?例例2：已知：已知F(s)= ?)e1 (12 ss00)2

17、()2(*)(nnntntt?e1e1e112sTsTsT例例3：信号与系统八、八、s域微分和积分域微分和积分若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 d( )() ( )dF st f tsd( )()( )dnnnF stf ts例例1：t2e2t (t) ? e2t (t) 1/(s+2) t2e2t (t) 322)2(2)21(ddsss( )( )sf tFdt信号与系统例例2：sin( )?ttt21sin ( )1tts2sin11( )darctanarctanarctan12ssttsts例例3：21 e?tt2111 e2tss2111111 e112()dlnln

18、22tssssstssss信号与系统九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函数而不必求出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，为真分式，若若F(s)为假分式化为真分式），为假分式化为真分式），则则 0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则，则 0( )lim( )sfsF s 信号

19、与系统举例例例1：22( )22sF sss222(0 )lim( )lim222sssfsF sss22002( )lim( )lim022sssfsF sss 例例2：22( )22sF sss21222(0 )lim( )lim222ssssfsF sss 222( )122sF sss 1222( )22sF sss 设信号与系统5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法 : 查表查表 利用性质利用性质 部分分式展开部分分式展开 结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，

20、可写为的有理分式，可写为 11101110( )mmmmnnnb sbsbsbF ssasa sa若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 0( )( )( )( )B sF sP sA s信号与系统432232328253115233( )261166116ssssssF ssssssss由于由于L - -11= (t)， L - -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情

21、形。下面主要讨论有理真分式的情形。信号与系统一、零、极点的概念一、零、极点的概念若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 11101110( )( )( )mmmmnnna sasa saB sF sA ssbsbsb1212()()()( )( )( )()()()mmnnbszszszB sF sA sa spspsp分解分解零点零点极点极点z1，z2，z3，zm是是B(s)=0的根，称为的根，称为F(s)的零点的零点因为因为B(s)=0 F(s)=0p1，p2，p3，pn是是A(s)=0的根，称为的根，称为F(s)的极点的极点因为因为A(s)=

22、0 F(s)=信号与系统二、拉氏逆变换的过程求求F(s)的极点的极点将将F(s)展开为部分分式展开为部分分式查变换表求出原函数查变换表求出原函数f(t)信号与系统部分分式展开部分分式展开第一种情况：单阶实数极点12( )( )()()()nB sF sspspsp1212( )nnKKKF sspspsp() ( )iiispKsp F sp1，p2，p3，pn为不同的实数根。为不同的实数根。11e ( )ip titspL信号与系统单阶实极点举例单阶实极点举例(1)(1)求极点求极点 2233(1)(2)(3)ssF ssss(2)(2)展为部分分式展为部分分式 312123KKKF sss

23、s156 ( )123F ssss所以232233( )6116ssF ssss(3)(3)逆变换逆变换求系数求系数2111233(1) ( )|1(2)(3)ssssKsF sss 1e tts 由由L23( )e5e6etttf t得(t0)信号与系统假分式情况：假分式情况：322597( )32sssF sss作长除法作长除法 2 3s 462772 2379523 2223232 sssssssssssss13( )22( )12sF sssF sss121( )12F sss 2f ttt22e ( )e( )tttt信号与系统第二种情况：极点为共轭复数第二种情况：极点为共轭复数 2

24、21B sF sA ss 1jjF sss共轭极点出现在共轭极点出现在j 12jjKKF sss 1j jKs F ss 1j2 jF 2j jKs F ss 1j2 jF 成共轭关系：成共轭关系：可见可见21,KK1jKAB*21jKABK信号与系统求f(t)j11j|eKABK*j211j|eKABKKsKsKjj*111*11eee tj tj tKK tBtAt sincose2 jj*11110|e|e( )jjjjKKKKF sssss=2|K1|e- - tcos ( t+ ) (t) f0(t)=L*111jjKKssf0(t)=L信号与系统共轭极点举例共轭极点举例223( )

25、( )(2)(25)sF sf tsss求的逆变换。 23(1j2)(1j2)(2)sF ssss 01221j21j2KKKsss 1,2,0 取 027(2)5sKsF s211 j231j2(2)(1j2)5ssKss 12,55AB 2712e2ecos 2sin 2555 ttf ttt(t0)信号与系统第三种情况：有重根存在231222( )(2)(1)21(1)KKKsF ssssss2122(2)4(2)(1)ssKsss22321(1)1(2)(1)ssKsss如何求如何求K2 ?信号与系统K2的求法的求法211222(1)(2)(1)0(2)ssKK sKs22222d2

26、(2)4d2(2)(2)ss sssss sss2 3K 所以2 (1)s对原式两边乘以321,1,sKK 令时 只能求出若求两边再求导2123d(1)(1)d2KssKKss右边2d(1)( )dsF ss左边2, 1Ks右边此时令22143(2)ssss 左边22123(1)(1)22KssKsKss信号与系统逆变换2431( )21(1)F ssss所以所以 f(t)=L 1F(s)=(4e2t 3et + tet )(t)信号与系统一般情况一般情况1!)(nnsntt111121111( )()()()kkkF sKKspspsp1(1)1211()kkKKspsp求求K11，方法同第

27、一种情况，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式 111111( )()( )kspspKF sspF s111111d( ) 1,2,3,(1)!diiispKF sikis1)(dd , 2112pssFsKi 当当1)(dd21 , 312213pssFsKi 当当)(e!1)(11111ttnpstpnnLL信号与系统举例举例32( )(1)sF ss s131112232( )(1)(1)(1)KKKKF sssss311112(1)( )|3sssKsF ss312112d(2)(1)( )|2dssssKsF sss231311241 d14(1)( )|22

28、 d2sssKsF sss20032( )|2(1)sssKsF ss 信号与系统23( )(e2 e2e2)( )2tttf tttt所以323222( )(1)(1)(1)F sssss信号与系统5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 ( )( )00( )( )nmijijija ytb ft系统的初始状态为系统的初始状态为y(0) ，y(1)(0)，y(n1) (0)。思路思路：用拉普拉斯变换微分特性用拉普拉斯变换微分特性1( )1( )0( )( )(0 )iiiipppyts Y ss

29、y 若若f (t)在在t = 0时接入系统，则时接入系统，则 f (j)(t) s j F(s)信号与系统11( )0000 ( )(0 ) ( )nnimiippjiijiipja s Y sasyb sF s ( )( )( )( )( )( )( )( )zizsM sB sY sF sYsYsA sA sy(t)， yzi(t)， yzs(t)s域的代数域的代数方程方程信号与系统举例举例例例1： 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始状态已知初始状态y(0) = 1，y(0)= 1，激励，

30、激励f (t) = 5cos t (t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)解：解： 方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得22(0 )(0 )5 (0 )2(3)( )( )5656syyysY sF sssssYzi(s)Yzs(s)zizs2425( )( )( )(2)(3)21ssY sYsYsssss信号与系统j26.6j26.62145e5e( )232jjY ssssssy(t)= 2e2t (t) e3t (t) - - 4e2t (t) + 2 5cos (26.6 )( )ttyzi(t)yzs(t)暂态分量暂态分量yt(t)稳态分量稳态分量ys(t)信号与系

31、统二、系统函数二、系统函数系统函数系统函数H(s)定义为定义为 def( )( )( )( )( )zsYsB sH sF sA s它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。状态无关。yzs(t)= h(t)f (t)H(s)= L h(t)Yzs(s)= L h(t)F(s)信号与系统 例例2： 已知当输入已知当输入f(t)= et (t)时，某时，某LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应 yzs(t) = (3et 4e2t + e3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分

32、方程。 信号与系统解：解：2( )2(4)4228( )( )(2)(3)2356zsYsssH sF sssssssh(t)= (4e2t 2e3t) (t)微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆变换取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 信号与系统三、系统的三、系统的s域框图域框图时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)( )( )dty tfaf(t)y(t) = a f (t)s域框图基本单元域框图基本单元(零状态零状态)s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+信号与系统例例3： 如图框图，列出其微分方程如图框图，列出其微分方程X(s)s1X(s)s2X(s)解：解： 画出画出s域框图域框图,s1s1F(s)Y(s)设左边加法器输出为设左边加法器输出为X(s)，如图，如图X(