八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质习题课件新湘教7

1、2.6菱形2.6.1菱形的性质1.1.掌握菱形的性质掌握菱形的性质.(.(重点重点) )2.2.会用菱形的性质进行计算或证明会用菱形的性质进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) )一、菱形的概念一、菱形的概念有有_相等的平行四边形相等的平行四边形. .二、菱形的性质二、菱形的性质如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD中中,AB=AD.,AB=AD.一组邻边一组邻边四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,也是平行四边形也是平行四边形, ,AB=_,AD=_,OA=_,OB=_,AB=_,AD=_,OA=_,OB=_,又又AB=AD,AB=_=AD=_,AB=AD,AB=_=AD=_,

2、在等腰在等腰ABDABD中中,OB=_,OB=_,AO_BD,AO_BD,且且AO_BAD.AO_BAD.同理可得同理可得OC_BCD,OBOC_BCD,OB平分平分_,OD_,OD平分平分_._.CDCDBCBCOCOCODODCDCDBCBCODOD平分平分平分平分ABCABCADCADC【总结总结】菱形的性质菱形的性质: :(1)(1)菱形具有平行四边形的所有性质菱形具有平行四边形的所有性质. .(2)(2)菱形的四条边都菱形的四条边都_. .(3)(3)菱形的两条对角线菱形的两条对角线_, ,并且每一条对角线并且每一条对角线_一组对角一组对角. .(4)(4)菱形是轴对称图形菱形是轴对

3、称图形, ,它的它的_就是它的对称轴就是它的对称轴. .(5)(5)菱形也是菱形也是_图形图形, ,_是对称中心是对称中心. .相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分平分对角线所在的直线对角线所在的直线中心对称中心对称对角线的交点对角线的交点 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)菱形的对角线互相垂直且相等菱形的对角线互相垂直且相等. .( )( )(2)(2)菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形. .( )( )(3)(3)菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半. .( )( )(4)(4)菱形的对角相

4、等菱形的对角相等. .( )( )(5)(5)菱形的邻边互相垂直菱形的邻边互相垂直. .( )( )知识点知识点 1 1 菱形的性质的应用菱形的性质的应用【例例1 1】如图所示如图所示, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中,CEAB,CEAB于于E,CFADE,CFAD于于F.F.求求证证:AE=AF.:AE=AF.【思路点拨思路点拨】连接连接ACAC菱形的性质菱形的性质BAC=DACBAC=DACACEACEACFAE=AFACFAE=AF【自主解答自主解答】连接连接AC.AC.四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,ACAC平分平分BAD,BAD,即即BAC=DAC.BAC=DAC.

5、在在ACEACE和和ACFACF中中, ,AEC=AFC=90AEC=AFC=90,BAC=DAC,AC=AC,BAC=DAC,AC=AC,ACEACEACF.ACF.AE=AF.AE=AF.【总结提升总结提升】菱形性质的应用菱形性质的应用1.1.边、角之间的关系边、角之间的关系, ,可以将问题转化到全等三角形中可以将问题转化到全等三角形中, ,进行有进行有关边、角的位置或数量关系的证明、计算关边、角的位置或数量关系的证明、计算. .2.2.对角线的性质对角线的性质, ,可以将问题转化到直角三角形或等腰三角形可以将问题转化到直角三角形或等腰三角形中中, ,进行有关边角的证明、计算进行有关边角的

6、证明、计算. .3.3.菱形的对角线把菱形分成菱形的对角线把菱形分成4 4个全等的直角三角形个全等的直角三角形, ,两对全等的两对全等的等腰三角形等腰三角形, ,常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行有关角常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行有关角的证明、计算的证明、计算, ,有时也与角平分线的性质结合解题有时也与角平分线的性质结合解题. .知识点知识点 2 2 菱形的有关计算菱形的有关计算【例例2 2】如图所示如图所示, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中,E,E是是ABAB的中点的中点, ,且且DEAB,AB=a.DEAB,AB=a.(1)(1)求求ABCABC的度数的度数. .(2)(2)

7、求对角线求对角线ACAC的长的长. .(3)(3)求菱形求菱形ABCDABCD的面积的面积. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)连接连接BD,BD,先判断先判断ABDABD的形状的形状, ,再求再求ABCABC的度的度数数. .(2)(2)先求先求BOBO的长的长, ,再由勾股定理计算再由勾股定理计算AOAO的长的长, ,进而得进而得ACAC的长的长. .(3)(3)由菱形的面积等于两对角线长乘积的一半由菱形的面积等于两对角线长乘积的一半, ,求菱形求菱形ABCDABCD的面的面积积. .【自主解答自主解答】(1)(1)连接连接BD,BD,交交ACAC于点于点O.O.四边形四边形ABCDABC

8、D是菱是菱形形,AD=AB.E,AD=AB.E是是ABAB的中点的中点, ,且且DEAB,AD=BD,DEAB,AD=BD,ABDABD是等是等边三角形边三角形,ABC=60,ABC=602=1202=120. .(2)(2)四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，AC,BDAC,BD互相垂直平分，互相垂直平分，OAOAACAC2AO2AO(3)S(3)S菱形菱形ABCDABCD111OBBDABa222222213ABOBa( a)a22，3a2113AC BD3a aa222ggg【总结提升总结提升】菱形的相关计算菱形的相关计算如果菱形两对角线长为如果菱形两对角线长为a,ba,b，则其

9、边长为，则其边长为 周长为周长为 面积为面积为221ab2，222 ab，1ab.2题组一题组一: :菱形的性质的应用菱形的性质的应用1.1.如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O,O,下列说法错误的是下列说法错误的是( () )A.ABDCA.ABDC B.AC=BD B.AC=BDC.ACBDC.ACBD D.OA=OC D.OA=OC【解析解析】选选B.B.菱形的对边平行且相等菱形的对边平行且相等, ,所以所以ABDC;ABDC;菱形的对角菱形的对角线一定垂直线一定垂直, ,所以所以ACBD;ACBD;菱形的对角线互相平分菱形的

10、对角线互相平分, ,所以所以OA=OC;OA=OC;菱形的对角线不一定相等菱形的对角线不一定相等. .2.(20132.(2013本溪中考本溪中考) )如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中,BAD=,BAD=2B,E,F2B,E,F分别为分别为BC,CDBC,CD的中点的中点, ,连接连接AE,AC,AF,AE,AC,AF,则则图中与图中与ABEABE全等的三角形全等的三角形( (ABEABE除外除外) )有有( () )A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个【解析解析】选选C.C.先由菱形的性质得出先由菱形的性质得出ADBC,ADBC,由平行线的性质

11、得由平行线的性质得到到BAD+B=180BAD+B=180, ,又又BAD=2B,BAD=2B,求出求出B=60B=60, ,则则D=BD=B=60=60, ,ABCABC与与ACDACD是全等的等边三角形是全等的等边三角形, ,再根据再根据E,FE,F分别为分别为BC,CDBC,CD的中点的中点, ,即可求出与即可求出与ABEABE全等的三角形全等的三角形( (ABEABE除外除外) )有有ACE,ACE,ACF,ACF,ADF.ADF.3.3.如图所示如图所示, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,菱形菱形MNPOMNPO的顶点的顶点P P的坐标是的坐标是(3,4),(3,4),则

12、顶点则顶点M,NM,N的坐标分的坐标分别是别是( () )A.M(5,0),N(8,4)A.M(5,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)C.M(5,0),N(7,4)C.M(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)【解析解析】选选A.A.过过P P作作PEOM,PEOM,顶点顶点P P的坐标的坐标是是(3,4),OE=3,PE=4,OP=5,(3,4),OE=3,PE=4,OP=5,四边形四边形MNPOMNPO是菱形是菱形,OM=OP=5,OM=OP=5,点点M M的坐标为的坐标为(5,0),(5,0),过点过

13、点N N作作NFOMNFOM于点于点F,F,则则POEPOENMF,NMF,MF=OE=3,OF=5+3=8,MF=OE=3,OF=5+3=8,点点N N的坐标为的坐标为(8,4).(8,4).4.4.如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD的对角线的长分别是的对角线的长分别是2 2和和5,P5,P是对角线是对角线ACAC上任上任一点一点( (点点P P不与点不与点A,CA,C重合重合),),且且PEBCPEBC交交ABAB于点于点E,PFCDE,PFCD交交ADAD于于点点F,F,则阴影部分的面积是则阴影部分的面积是. .【解析解析】由条件知由条件知PEBCPEBC，PFCDPFCD，可得，可

14、得PEAFPEAF，PFPFAEAE，四边形四边形AEPFAEPF为平行四边形，这样容易得到为平行四边形，这样容易得到S SPOFPOFS SAOEAOE，S S阴影阴影S SABCABC答案：答案：ABCD1115SAC BD2222g菱形525.5.如图所示如图所示, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中,ABC=60,ABC=60,DEAC,DEAC交交BCBC的延长线的延长线于点于点E.E.求证求证:DE= BE.:DE= BE.12【证明证明】ABCDABCD是菱形是菱形, ,ADBC,AB=BC=CD=DA.ADBC,AB=BC=CD=DA.又又ABC=60ABC=60,BC=AC=

15、AD.,BC=AC=AD.DEAC,ACEDDEAC,ACED为平行四边形为平行四边形. .CE=AD=BC,DE=AC.CE=AD=BC,DE=AC.DE=CE=BC,DE= BE.DE=CE=BC,DE= BE.126.6.如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD中中,E,F,E,F分别是分别是BC,CDBC,CD上的点上的点,B=EAF=60,B=EAF=60, ,BAE=18BAE=18, ,求求CEFCEF的度数的度数. .【解析解析】连接连接AC.AC.四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,AB=BC,ACB=ACF.AB=BC,ACB=ACF.又又B=60B=60,ABCA

16、BC是等边三角形是等边三角形, ,BAC=ACB=60BAC=ACB=60,AB=AC.,AB=AC.ACF=B=60ACF=B=60. .EAF=BAC=60EAF=BAC=60, ,BAE=CAF,BAE=CAF,ABEABEACF,ACF,AE=AF,AE=AF,AEFAEF是等边三角形是等边三角形, ,AEF=60AEF=60. .又又AEF+CEF=B+BAE,BAE=18AEF+CEF=B+BAE,BAE=18, ,CEF=18CEF=18. .题组二：题组二：菱形的有关计算菱形的有关计算1.(20131.(2013巴中中考巴中中考) )如图，菱形如图，菱形ABCDABCD的两条的

17、两条对角线相交于对角线相交于O O，若，若AC=6AC=6，BD=4BD=4，则菱形，则菱形ABCDABCD的周长是的周长是( )( )【解析解析】选选C.C.四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，AC=6AC=6，BD=4BD=4，ACBDACBD，OA= AC=3OA= AC=3，OB= BD=2OB= BD=2，AB=BC=CD=ADAB=BC=CD=AD，在在RtRtAOBAOB中，中， 菱形的周长是菱形的周长是A 24 B 16 C 4 13 D 2 3121222ABOAOB13，4AB4 132.(20132.(2013扬州中考扬州中考) )如图如图, ,在菱形在菱形ABC

18、DABCD中中, ,BAD=80BAD=80,AB,AB的垂直平分线交对角线的垂直平分线交对角线ACAC于点于点F,F,垂足为垂足为E,E,连接连接DF,DF,则则CDFCDF等于等于( () )A.50A.50 B.60B.60C.70C.70 D.80D.80【解析解析】选选B.B.如图如图, ,连接连接BF,BF,在菱形在菱形ABCDABCD中中,BAD=80,BAD=80, ,FAB=DCF=40FAB=DCF=40,EF,EF垂直平分垂直平分AB,AF=BF,AB,AF=BF,则则FAB=FAB=FBA=40FBA=40,CFB=FAB+FBA=80,CFB=FAB+FBA=80,在

19、在CDFCDF中中, ,CDF=60CDF=60. .3.(20133.(2013随州中考随州中考) )如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,BAD=120BAD=120. .已知已知ABCABC的周长是的周长是15,15,则菱则菱形形ABCDABCD的周长是的周长是( () )A.25A.25 B.20 B.20C.15C.15 D.10 D.10【解析解析】选选B.ACB.AC是菱形是菱形ABCDABCD的对角线的对角线,BAD=120,BAD=120, ,BAC=60BAC=60.AB=BC,.AB=BC,ABCABC是等边三角形是等边三角形.ABCABC的周长的周长是是1

20、5,15,边长边长AB=5.AB=5.菱形菱形ABCDABCD的的周长为周长为5 54=204=20. .【归纳整合归纳整合】含有含有6060或或120120内角的菱形的性质内角的菱形的性质(1)(1)短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形. .(2)(2)菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为的较小锐角为3030，可利用这一特殊边角关系解决问题，可利用这一特殊边角关系解决问题. .(3)(3)如果菱形的边长为如果菱形的边长为a a，那么菱形的面积为，那么菱形

21、的面积为23a .24.4.如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD的边长是的边长是2cm,E2cm,E是是ABAB的中点的中点, ,且且DEAB,DEAB,则菱形则菱形ABCDABCD的面积为的面积为cmcm2 2. .【解析解析】因为因为E E是是ABAB的中点，所以的中点，所以AE=1 cm,AE=1 cm,又因为又因为DEAB,DEAB,所以在所以在RtRtADEADE中，中，DE=DE=所以菱形的面积为所以菱形的面积为答案：答案：22ADAE4 13 cm ，2AB DE2 3 cm .g2 35.5.如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中中,E,E是是ABAB的中点的中点, ,作作EFBC,EFBC,交交ACAC于点于点F.F.如果如果EF=4,EF=4,求求CD.CD.【解析解析】EE为为ABAB的中点的中点,EFBC,F,EFBC,F为为ACAC的中点的中点, ,EF= BC,EF= BC,又又EF=4,BC=8,EF=4,BC=8,四边形四边形ABCDABCD为菱为菱形形,BC=CD,CD=8.,BC=CD,CD=8.126.6.若菱形若菱形ABCDABCD的周长为的周长为12cm,12cm,相邻两角的比为相邻两角的比为51,51,那么菱形对那么菱