蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真论文

1、摘要摘要摘要蜂窝夹层结构以其优秀的强度比，刚度比和较好的隔热隔震，耐冲击性能，被广泛应用于多个领域，如：航空航天，航海以及高速铁路等。对蜂窝夹层的分析通常采用有限元分析进行，蜂窝夹层结构通常有蜂窝芯体与面板组成，分析时由于蜂窝芯体结构复杂，有限元模模型不易建立，于是为了减少计算量、提高分析效率就有了蜂窝芯体等效模型。本文所做的工作是利用有限元软件以参数化建模方式建立蜂窝的实体模型和等效模型，在验证蜂窝等效模量的精度同时改变蜂窝的实体模型和等效模型的宏观尺寸，观察蜂窝芯体的宏观尺寸对蜂窝等效模量精度的影响，最后通过总结得到相应的结论。关键词：蜂窝夹层结构关键词：蜂窝夹层结构 有限元有限元 蜂窝等

2、效模量蜂窝等效模量蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真2ABSTRACT Honeycomb core sandwith structrue is wildly useded in many field, such as space, airplane designing and high-speed railway consduction. Generally,Honeycomb core sandwith structrue are engineered with Finite-Element method,but as we known Honeycomb core sandwith st

3、ructrue is complex whitch is consited of honeycomb core and two panels,therefore,its difficult to mldel the honeycomb core structrue with Finite-Element method.In order to reduce the work in caculating and improve the efficenc during engineering,equivalent model theory came out.What have done in thi

4、s paper are modeling the Honeyconb core sandwith structrue and the equivalent model with APDL(Ansys Programing Design Language),then analysis the changing macroscopic dimensions of Honeyconb core sandwith structrue how to impact the equivalent precision of equivalent models.Keywords: Honeycomb core

5、sandwith structure Finite-Element method Equivalent model目录1目录目录第一章第一章 绪论绪论.31.1 蜂窝夹层材料的简介.31.2 蜂窝夹层结构的研究现状.41.3 本文的所做的工作.6本章小结.6第二章第二章 蜂窝等效模量的推导与分析蜂窝等效模量的推导与分析.72.1 概述.72.2 共性面性能能分析.82.3 富明慧修正式 .122.4 综合考虑蜂窝壁板弯曲、伸缩、剪切的修正式.152.5 异性面等效模量分析.192.6 对于蜂窝夹芯板的等效处理方法.23本章小结.24第三章第三章 建模与分析建模与分析.263.1 有限元与 AN

6、SYS简介.263.2 通用有限元程序 ANSYS.273.3 有限元建模.28本章小结.31第四章第四章 误差分析误差分析.324.1 约束条件.324.2 等效误差.34本章结论.42第五章第五章 全文总结全文总结.45蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真2第六章第六章 结束语结束语.47参考文献参考文献.49 第一章 绪论3 第一章第一章 绪论绪论 1.11.1 蜂窝夹层材料的简介蜂窝夹层材料的简介铝蜂窝夹层板由两层薄而强的面板材料中间夹一层厚而轻的铝蜂窝芯组成。面板一般采用铝板制作，它是夹层结构的主要受力部分。蜂窝在夹层结构中起连接和支撑面板的作用。铝蜂窝夹层板结构由上、下为面板，中间夹

7、六角形、十字形、长方形、波条形、双曲形或三角形等孔格的蜂窝状芯材，蜂窝通常选用 0.02 mm0.08 mm 厚的铝合金箔制造。面板厚度通常为 08 mm1 mm，面板与蜂窝通过高分子胶粘剂粘接制成。与普通铝板相比较，铝蜂窝夹层板具有以下特点和良好力学性能：(1)重量轻、密度小。蜂窝铝板的密度约为 300 400，质量只占同体积普通铝3/kg m3/kg m板的 1114；(2)强度高、刚性好。当蜂窝板承受弯曲载荷时，当上面板被拉伸的同时，则下面板被压缩，通过蜂窝传递剪切应力。此外，由于蜂窝板的高度比面板厚度高出数倍，所以截面的惯性矩随之呈 4 次方增大，结构刚度高，具有良好的稳定性和突出的抗

8、压、抗弯能力；(3)抗冲击、减振性好。铝蜂窝夹层板具有较好的韧性和弹性，铝蜂窝夹层板抗压强度极限为 407.6790.4 2/kN m，抗弯强度极限为 740.0788.0，抗压刚度为2/kN m2/kN m2/kN m5.07.5 ，抗弯刚度为 0.400.66。夹层剪切力/kN mm/kN mm2/kN m2/kN m纵向为 3.6 7.1，横向为 4.65.9 。拉伸剥离强度极限为 265kNkNkNkN417 。自由落球撞击试样凹痕直径为 19mm21mm，凹痕深度为2/kN m2/kN m3.02mm 3.20 mm，均未发现凹痕处有裂纹。可见，铝蜂窝夹层板在承受外载荷时，能吸收大部

9、分能量，具有良好的减振效果。因此，铝蜂窝夹层板在许多行业得到了大范围应用，尤其是在航空、航天以及军工等行业的应用更为广泛。5蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真41.21.2 蜂窝夹层结构的研究现状蜂窝夹层结构的研究现状 蜂窝夹层结构的宏观结构及芯层细观结构性能的研究自 50 年代以来就得到了充分的发展，其研究范围不断拓广，现已覆盖了夹层结构的理论分析、数值计算，芯层的细观结构性能分析，实验方法等。在 60 年代前，研究工作的重点偏于蜂窝夹芯的等效、简化方面上，使得能够利用各种解析方法来分析各种几何形状简单、规则的蜂窝夹层结构。同时发展了各种实验方法，得到大量实验结果。在理论分析和数值计算模型简

10、化简化方面，比较有代表性的是 Allen 模型。AIlen 提出的简化模型将上下蒙皮与夹芯的作用单独区分开来，对于极薄的上下蒙皮，假定其服从 Kirchhoff 假设，认为只能承受面内的应力，忽略其抵抗横向切应力；而夹芯极软，仅能抵抗横向切应力，忽略其面内刚度和弯曲刚度。研究夹芯面内力学性能的代表人物主要有 Aid EI.Sayed 等，他们于 1979 年指出，蜂窝夹芯在载荷作用下，其杨氏模量和泊松比的等效计算是由于蜂窝壁弯曲变形的重要机理，同时分析了蜂窝壁屈曲和塑性特性。七十年代以来，随着有限元等数值方法的发展，能够考虑在解析分析中不得不被忽略的各种影响因素，如 Allen 模型虽然蜂窝芯

11、层很软，但由于它相对于蒙皮具有较大的厚度，忽略芯层的面内刚度和弯曲刚度必然导致一些不容忽视的误差，为了克服这一矛盾，相继出现了一些考虑芯层面内刚度的蜂窝夹层结构分析模型，并发展了一些有限元分析方法和有限元模型”，对于抗弯刚度，大部分的学者认为它对于抗弯刚度的贡献主要在于一保持面板的间距，类似工字梁的腹板，由于芯子的弹性模量较低略去其弯曲应力，保留它的抗剪刚度，将夹芯视为服从剪切变形理论的正交各向异性层，确定了蜂窝夹芯面内等效材料参数后，再进行求解。在上世纪 80 年代，Gibson 提出胞元模型理论，他采用简化的线弹性BernoulliEuler 梁模型，忽略胞壁在 X 和 Y 方向厚度不同，

12、采用材料力学公式推导出等蜂窝结构的二维等效弹性参数的解析式，称之为 Gibson 公式。Gibson 公式具有解析形式，便于应用，但它仅考虑了蜂窝壁板的弯曲变形，而未考虑壁板的伸缩变形。对于蜂窝夹层结构的蜂窝芯层而言，由于受蒙皮层的约束，蜂窝壁板的伸缩变形的刚度并非小的可以忽略。1999 年，中山大学的富明慧等人考虑了蜂窝壁板的伸缩变形对面内刚度的影响，对 Gibson 公式进行了修 第一章 绪论5正。1991 年，北京大学的王颖坚认为 Gibson 公式中的剪切模量的推导没有考虑蜂窝胞元壁梁截面的弯矩作用，通过在壁粱截面附加弯矩，重新推导了蜂窝结构面内等效剪切模量公式。2000 年，Kim

13、等人对比研究了三角形，正六边形及星形夹芯的面内杨氏模量、剪切模量及其泊松比，面外压缩屈服强度、剪切屈服强度以及芯子的弯曲刚度。2001 年，Onck 等人利用理论方法研究了正六边形蜂窝芯子尺寸(长度，厚度)与杨氏模量的关系。Gibson 公式中所介绍的蜂窝材料等效参数解析表达式在蜂窝夹层结构相对密度 pxp 较小(0.1)的情况下，具有一定的精确度。但是在较大的相对密度情况下，Gibson 胞壁梁模型适用性缺乏客观的实验验证，可以设想，与胞壁相连的胞棱或节点处的受力和变形具有与胞壁不同的特征，当相对密度较大时，胞壁厚度和胞壁长度已可相比较，仅用梁模型来模拟蜂窝结构中胞体的弹性变形行为有所欠缺。

14、为此，Warren 和 Kraynik 根据蜂窝结构中胞元周期性重复排列的特点，对其中的一个代表性胞元进行了分析，建立了简单应变情况下的宏观弹性本构方程，并引入简化的梁模型柔性系数，得到了相应结构的宏观等效弹性参数近似解析解(W-K 结果)。2002 年，王飞等人在弹性范围内，根据均匀化理论并结合有限元方法推导出适用于二维周期性结构的均匀化的有限元格式(Homo FEM)，计算出不同相对密度下的规则蜂窝结构的等效弹性模量和泊松比。2003 年 1 月，Yang.D.U.，Lee.s.等人利用有限元方法分析了蜂窝胞孔不同的几何参数对内凹蜂窝材料负泊松比的影响，并得到了泊松比大小与蜂窝结构肋板长度

15、和宽度的关系。2004 年 6 月，梁森等人利用有限元数值模拟技术，通过对不同材料、不同尺寸的正六边形蜂窝夹芯弹性参数进行数值模拟，给出了芳纶纸面内等效刚度和泊松比随蜂窝夹芯几何参数变化关系，他仅考虑了蜂窝胞元厚度，长度，高度对等效弹性系数的影响，未考虑孔壁夹角这一参数的影响。2006 年 2 月，柯映林等人研究了考虑几何非线性响应的蜂窝芯材面内等效弹性模量，得到了与变形相关的蜂窝芯层面内等效弹性模量非线性增长关系。蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真62007 年，周祝林“等用能量法导了蜂窝夹芯面内等效弹性参数的下限与上限，并与试验值进行了比较。31.31.3 本文的所做的工作本文的所做的工作

16、蜂窝夹芯结构目前已经被广泛应用于承力结构，甚至一些复杂结构，因此对于蜂窝等效方法的研究方法很多，而将蜂窝芯体的面内模量等效成二维正交各向异性材料已得到广泛的应用，蜂窝芯体面内等效模量也得到了广泛的研究，其中就包括由理论推导得到的 Gibson 公式及其修正式；而蜂窝芯体面外等效模量用等密度法、最小势能以及最小余能原理得出。本文的工作主要是利用有限元程序 Ansys 建立蜂窝芯体实际模型与等效模型，以有限元程序对等效模量的验证结果为基础，分析蜂窝实体模型与等效模型随蜂窝芯体宏观尺寸的变化对等效误差的影响，并根据所得的误差数据得等效误差的变化规律，以及本文所建模型存在的问题。本章小结本章小结蜂窝夹

17、层因其具有优秀的力学性能以及重量轻的特点被广泛应用诸多领域，尤其是在航空，航天等行业应用最广。虽然蜂窝夹层结构有很多有点，但在实际工程分析中有因为其结构复杂导致蜂窝芯体的力学分析不太方便，即使到了近代有了计算机的帮助，有时因为蜂窝芯体的宏观尺寸过大导致计算效率极低，也无法减少人们的工作量。于是人们为了减少工作量提出了蜂窝芯体及蜂窝夹层等效方法，其中较早时 Gibson 等将蜂窝芯体面内模量等效成正交各项异性材料，芯体的等效模量由对单个蜂窝胞元进行推导得到， Gibson 等将蜂窝胞元的胞壁看成 Bernoulli-Euler 梁模型从而推导出了等效模量的解析式，即 Gibson 公式。但是 G

18、ibson 公式只考虑了应力引起的 Bernoulli-Euler 梁的弯曲变形，于是后来为了提 Gibson 公式的准确性，人们对 Gibson 公式进行了，得到了 Gibson 修正式。本文利用有限元程序建立蜂窝芯体的实体模型和等效模型，并施加相应的约束，验证等效模量的等效精度，并改变蜂窝芯体的宏观尺寸，观察等效精度的变化规律。第二章 蜂窝等效模量的推导与分析7第二章第二章 蜂窝等效模量的推导与分析蜂窝等效模量的推导与分析2.12.1 概述概述蜂窝芯体等效弹性模量是一种重要的蜂窝夹层材料的力学性能参量，早期蜂窝芯体的等效力学性能研究的代表人物主要有 Gisbon 等，Gisbon 采用简化

19、的线弹 Bernoulli.Euler 梁模型，推导出的蜂窝结构的等效弹性参数称为 Gibson 公式。Gibson 公式及 Gibson 修正形式均采用单个蜂窝胞元模型，利用了蜂窝结构的对称性来进行推导。由于 Gibson 公式通过单个蜂窝胞元来推导，而忽略了实际蜂窝芯体宏观尺寸宽度影响，Gibson 公式适用于无限宽的蜂窝芯体的等效，所以在有限宽蜂窝芯体的等效时 Gibson 公式会产生一定的误差。图图 2.12.1六边边形蜂窝夹芯材料是最为常见的蜂窝芯体材料，如图所示，X-Y 平面称为共性面，X-Z 和 Y-Z 平面称为异性面。六边边形蜂窝夹芯材料共面刚度和强度是最低，共性面内的应力主要

20、使孔壁产生弯曲变形；相比之下异面刚度和强度则要大得多，因为它们需要孔壁的轴向伸长或压缩。当应力作用面在异面平面内或平行于它们时,蜂窝材料表现为共面性能，当应力作用面在共性面内或平行于它时,蜂窝材料表现异面性能。关于蜂窝芯材共异面模量求解的研究 主要有能量法、有限元法、实验法和均匀化理论。在能量方面 Keysey 给出了异面剪切模量的计算公式；Gibson 导出了孔壁等厚的蜂窝芯力学参数的计算公式；考虑双壁厚的影响,Burton 等修正了 Gibson 公式,得出了双壁厚蜂窝力学参数公式,但公式没考虑孔壁伸缩和剪切变形富明慧加入了孔壁的伸缩变形,但没考虑剪切变形,而且计算蜂窝结构的等效模量计算与

21、有限元仿真8的蜂窝芯是单壁厚的。在有限元法上,计算了蜂窝特征单元的异面参数,Grediac计算了窝特征单元的异面参数,对 Gibson 共面剪切模量进行了修正；Guo 利用二维梁单元对 Gibson 公式进行了修正 Chunk 和 Papka 分析圆形聚碳酸酷蜂窝力学性能时,采用了基于 Timoshenko 梁理论的梁单元来模拟；在实验方面,Nast 为等边六边形蜂窝纸芯弹性模量设计了实验测试方法 ；Foo 等设计了 Nomex 蜂窝结构的共异面弹性模量的测试方法,并利用壳单元进行了模拟,但模型尺寸大计算量大。在均匀化理论方面 Shi 等利用该理论计算了蜂窝材料的性能参数,考虑蜂窝深度和局部扭

22、曲的影响,计算精度较高。本章将将采用基于 Gibson 公式的能量法对六边形蜂窝芯体材料的异面性能和共面性能进行分析。2.22.2 共性面性能能分析共性面性能能分析研究蜂窝结构，推导芯体的等效模量参数至关重要，决定了等效模型的参数，最终也影响了等效结果的精度。Gibson 提出了胞元材料(Cellular Material Theory CMT)理论，该理论一种是对蜂窝夹芯进行等效的有效的方法，该理论将蜂窝芯等效为一均质的厚度不变的正交异性材料。下面胞元材料理论来分析胞元和 l 不同角的共性面弹性模量。 图图 2.212.21第二章 蜂窝等效模量的推导与分析9图图 2.222.22图图 2.2

23、32.23当蜂窝芯体材料在 X 或 Y 方向上承载而以线弹性方式变形，其孔壁会产生弯曲。其力学性能可由 5 个模量来描述：弹性模量和，剪切模量，泊松比xEyExyG、。又这五个量不完全独立，即,所以独立的模量个数为 4 个。xyyxxyxyxyEE当蜂窝芯体在 X 和 Y 方向承受压载时，如图(b)和(c)，蜂窝壁弯曲变形。弹性模量和可由图 (b)和(c)所示的方法求得。平行于 X 方向的应力，引起xEyExx蜂窝壁(长度为 )弯曲，取一个蜂窝壁为研究对象，把它当作一个长度为 ，宽度ll，高度为，弹性模量为的梁。由 Y 方向的平衡可知 C=O。弯矩 M 为tbsE (2-1)sin2PlM而由

24、 X 方向的平衡可得 (2-2)(sin )xPhl胞壁的弯曲变形为 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真10 (2-3)3sin12xsPlE I其中 (2-4)312btI 因而得到 X 方向的应变为 (2-5)221(sin )sinsincos12cosxshlbllE IX 方向的弹性模量为 ，故得1xxsEE (2-6)321cos( )(sin )sinxxsEtlElhl同时 Y 轴方向的应变为(2-7)12cossinxhl所以可得 XY 向的泊松比 xy (2-8)2121cos(sin )sinlxyhl 在 Y 方向加载情况如图 (c)所示，作用在蜂窝壁上的力分解在图 (

25、c)的底部。由力与力矩平衡可得， 0F cosWlhy胞壁弯曲变形为 (2-9)3cos12yswlE I故 Y 方向的应变为 (2-10)42coscossin12(sin )yysdlhlE I hl则 Y 方向的弹性模量为 (2-11)332sin( )cosyysEthlEllX 方向的应变为 (2-12)21sincosyl第二章 蜂窝等效模量的推导与分析11故 (2-13)2122(sin )sincosyxhll 将，代入中得xEyExyyxxyxyxyEE (2-14)31( )sincosxyxyxystEEEl，中只求出其中三个，就能算出第四个值。xEyExyyx图图 2.

26、242.24对于第四个独立常数即剪切模量，利用图进行计算。由于对称性，当蜂窝xyG受剪时，点 A、B、C 之间没有相对位移，剪切变形 U 完全取决于梁 BD 的弯曲和D 点相对 B 点的扭转(扭转角为)。受力分析也如图所示。对 B 点的力矩进行求和，可得到作用在 AB 和 BC 上的力矩： (2-15)4FlM 梁的弯曲变形为 (2-16)2( )32sFhE I扭转角 (2-17)24sFhlE I因而 D 点相对于 B 点的剪切变形 U 为 (2-18)221( )(2)23248ssFhFhUhhlE IE I蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真12剪切应变为 (2-19)22(2)sin

27、24(sin )sUFhhlhlE I hl易得剪切应力 (2-20)2cosFlb所以剪切模量 (2-21)32( /sin )( )( / ) (12 / )cosxysth lGElh lh l综上可得面内等效模量的 Gibson 公式为 (2-22)32cos( )(sin )sinxstlEElhl (2-23)2cos(sin )sinlxyhl (2-24)33sin( )cosysthlEEll (2-25)2(sin )sincosyxhll (2-26)32( /sin )( )( / ) (12 / )cosxysth lGElh lh l2.32.3 富明慧修正式富明慧

28、修正式Gibson 公式具有解析形式，便于应用，但它仅考虑了蜂窝芯体壁板的弯曲变形，而未考虑壁板的伸缩变形。对于蜂窝夹层结构的蜂窝芯层而言，由于受蒙皮层的约束，蜂窝壁板的伸缩变形的刚度并非小的可以忽略。1999 年，中山大学的富明慧等人考虑了蜂窝壁板的伸缩变形对面内刚度的影响，对 Gibson 公式进行了修正。X 方向加载时如下图所示：第二章 蜂窝等效模量的推导与分析13图图 2.312.31 (2-27)sin2PlM (2-28)(sin )xPhl梁的弯曲变形为 (2-29)3313sinsin12ssPlPlE IE bt梁的伸缩变形为 (2-30)2cosxssPllEE bt所以

29、X 方向的等效应变为 (2-31)232212132sincossin(1 cot)coscossPltlE bltlY 方向等效应变为 (2-31)32211232sincossincos(1)sin(sin )sPlthlE b hltl 则 (2-32) 22122211( / )cos1cot( / )(sin )sint llxyt lhl (2-33)32221cos1( )(sin )sin1cot( / )xsxlEtElhlt lY 方向加载时如图 b 所示；蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真14图图 2.322.32 (2-34)coscos21lWWlMy梁的弯曲挠度为

30、(2-35)313cossWlE bt斜壁梁的伸缩变形为 (2-36)2sinsWlE bt竖直梁的伸缩变形为 (2-37)3sWhE bt此时 Y 方向的等效应变为 (2-37)23222123232cossincos1 ( / seccot)sin( /sin )sWlth lhlE b h ltlX 方向的等效应变为 (2-38)32212132cossinsin(1)cossWltlE btl 所以 (2-39)221222222(sin )sin1( / )cos1( / seccot)yxhlt llth ll 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析15 (2-40)332222sin1

31、( )cos1( / seccot)ysthlEEllth ll蜂窝壁板伸缩变形对于等效的横向剪切模量的影响不大,故 (2-41)32( /sin )( )( / ) (12 / )cosxysth lGElh lh l显然，且有，对于一个远小于 1 的量近似地有xyxyxyEE1yxxy (2-42)1/(1)1 又因为，所以可以得到22/tl (2-43)32222cos( )(1cot/)(sin )sinsxlEtEtllhl (2-44)2222cos(1csc/)(sin )sinltlxyhl (2-45)322223sin( )1( / sectan)/cosysthlEEh

32、ltlll (2-46)2222(sin )sin1(1/ )sec)/cosyxhlh ltll2.42.4 综合考虑蜂窝壁板弯曲、伸缩、剪切的修正式综合考虑蜂窝壁板弯曲、伸缩、剪切的修正式在 Bernoulli-Euler 梁模型的基础上，因为 Gibson 公式仅考虑蜂窝壁板的弯曲变形，富明慧在 Gibson 公式基础上考虑了蜂窝壁板的伸缩变形，蜂窝夹芯材料力学与介电性能研究文中第二章中推导蜂窝等效模量时考虑壁板剪切变形。蜂窝夹芯材料力学与介电性能研究文中利用了虚功原理推导由剪切变形引起的悬臂梁挠度公式：蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真16图图 2.412.41悬臂梁在端部受集中力 P

33、 作用；在圣维南定义下有如下关系： (2-48)22/ ,0,;2 (/ 4)xxyyxyPPII ty其中3/12Idt利用虚功原理求剪切变形引起的端点挠度： (2-49)eWP内力虚功的表达式如下 (2-50)22222(1)()xyxxyixxyyxyxyWdxdyEdxdy 由虚功原理得： (2-51)eiWW将代入即得,xyxy (2-52)32322222222020.6(1)132(1)(/ 4)4tltPPltEIIx ytyEdxdyII 当蜂窝材料在 x 方向单轴加载时，平行于 X 方向的正应力(拉伸)引起长度x为 的一组孔壁弯曲，蜂窝胞元变形如图所示：l第二章 蜂窝等效模

34、量的推导与分析17图图 2.422.42材料的杨氏模量为 E，泊松比为，将单元胞壁视为长度为了 ，宽度为 b，l厚度为 b 的欧拉梁。由上图的受力分析，根据平衡条件得 (2-53)sin2PlM令得 (2-54)x1(sin )xPhl由弯曲以及剪切应力引起的 AB 的挠度为： (2-55)32122sin0.6(1)231PlMltEIEIl所以 (2-56)3122sin2.4(1)121PltEIl其中 I 为对中性轴的惯性转矩2/12Ibt轴向变形：作用 AB 的轴向力为,所以 AB 的轴向挠度为：cosP (2-57)2cossPlE bt综上可得 X 方向上的总挠度为：蜂窝结构的等

35、效模量计算与有限元仿真18 (2-58)22232121(2.42.4cot)sincossin12stlPlE I因此可得 X 方向的总应变为 (2-59)11cosl所以 X 向的弹性模量为 (2-60)3222112cos1( )( /sin )sin1 (2.42.4cot)xxstEEtlh ll同理可知 Y 方向的应变为： (2-61)3221122sincossincos1 (1.42.4 )sin12(sin )sPlthlE hll 则等效泊松比为： (2-62)2221222211cos1 (1.42.4 )/( /sin )sin1 (2.42.4cot)/xytlh l

36、tl 同理当在 Y 向单向加载时，可得：(2-63)3322222/sin1( / )cos1 (2.42.4tan2 sec/ )( / )yysh lEE t lhl t l(2-64)221322222( /sin )sin1 (1.42.4 )( / )cos1 (2.42.4tan2 sec/ )( / )yxh lt lhl t l 剪切模量用类似的易得到 (2-65)32/sin1( )( / ) cosxysth lGElh l222112 /( / ) 2.4(1)(2/sin ) /( /sin )tansin ( /sin )( / ) h lt lh ll hh lh

37、lh l (2-67)综上可得在考虑 Bernoulli-Euler 梁弯曲，伸缩以及剪切变形的情况所得的蜂窝芯层的共性面等效模量为第二章 蜂窝等效模量的推导与分析19 (2-68)32222cos1( )( /sin )sin1(2.42.4cot)xstEElh ltl (2-69)222222cos1(1.42.4 )/( /sin )sin1(2.42.4cot)/xytlh ltl (2-70)33222/sin1( / )cos1(2.42.4tan2 sec/ )( / )ysh lEE t lhl t l (2-71)23222( /sin )sin1(1.42.4 )( /

38、)cos1(2.42.4tan2 sec/ )( / )yxh lt lhl t l (2-72)32/sin1( )( / ) cosxysth lGElh l222112 /( / ) 2.4(1)(2/sin ) /( /sin )tansin ( /sin )( / ) h lt lh ll hh lh lh l (2-73)2.52.5 异性面等效模量分析异性面等效模量分析蜂窝芯体的主要作用是承受 z 方向的横向载荷及剪切应力，当在 Z 方向加载时，蜂窝壁伸长或压缩(而不是弯曲)，并且对于六边形蜂窝来说，这一方向的模量比面内模量要大得多。描述异性面变形需要另外的五个独立模量，面外弹性

39、模，剪切模量，泊松比，。zExzGyzGxzyz蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真20图图 2.512.51在 z 方向施加均匀应力，其在一个代表性单元上合力可表示为和，且z1FF。FF 1 (2-74)13(2 ) sinzFEhl l (2-75)3(2 )FE t hl由得： (2-76)FF 12(cos ) sin(2 )zE hllEt hl所以 (2-77)(2)2(cos ) sinzEthlElhl泊松比： (2-78)zxzy由互逆定理得 (2-79)xxzzyyzzEEEE且 (2-80)0 xzyz而异面剪切模量的分析却比较复杂，在剪切蜂窝体中的应力分布较复杂，每个蜂窝

40、芯壁由于其周围芯壁对其作用而产生非线性变形。只有运用数值方法才可能进行精确的计算，但可以利用最小势能(minimum potential energy)原理和最第二章 蜂窝等效模量的推导与分析21小余能(minimum complementary energy)原理，相对容易地得到剪切模量的上下限，最小势能原理可得出上限，最小余能原理可得出下限。X 向受剪时，在 X 方向上作用于 z 法向面的切应力，引起的均匀剪切应变xz，芯壁 a、b、c 的剪切应变各为，在 X 方向上的剪切。xzaxzcosbcxz最小势能原理指：从任意假定的一组与外部边界条件和自身均匹配的位移出发，计算所得的应变能对于精

41、确的位移分布是一个极小值。该原理给出了模量的上限，即 (2-81)221122yzyziiiGG 其中，G 是蜂窝芯壁材料的剪切模量， (i=a,b，c)是三个芯壁的剪切应变，i求和是对 a、b、c 三个芯壁的体积、和进行的，计算可得aVbVcV (2-82)212 cos2cossinyzGhltGhll再结合最小余能能原理，该原理给出了模量的下限。最小余能能原理指：在满足各点平衡条件并与外部载荷处于平衡状态的应力分布中，应变能对于精确的应力分布而言是个极小值。该原理表达成不等式如下： (2-83)2211()22yziiiyzGG考虑在 Y 方向上的加载，并假定外应力在 3 个壁孔上产生一

42、组剪切应力， (2-84),abc ,abcbc 由力平衡条件得 (2-85)2(cos ) sin2sinyzbahlltlht由上述条件即得 (2-86)cos(2)sinyzGhltGhll对于在 Y 方向受剪，各芯壁 a、b、c 的应变与的关系如下：yz蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真22 (2-87)0sinabcyz利用最小势能原理可得： (2-88)cossinxzGtGhl在 a、b、c 三个壁中引起的剪应力关系为：， (2-89)00ba根据外部应力的平衡可得 (2-90)2(cos ) sin2cosxzbhlltl应用最小余能原理可得： (2-91)sincosxzGt

43、Ghl有比较可得上下限相等，故得xzG (2-92)sincosxzGtGhl对于有如下关系：yzG即2cos12 cos(2)sin2coscosyzGhlthlthllGhll (2-93)2cos12 cos(2)sin2coscosyzhlthltGGGhllhll结论：1蜂窝芯体的等效模量取决于芯体单胞的尺寸，其中杨氏模量、剪切模量随着芯壁厚度的增加而增加，而泊松比与壁厚无关，仅与芯体各边边长和夹角关。2蜂窝芯体的九个模量均与芯壁的高度无关。3正六边形芯体的九个模量均为确定值。第二章 蜂窝等效模量的推导与分析234蜂窝芯体的等效模量与芯体单胞的具体尺寸无关，仅与各相关尺寸的比值有关。

44、5 对比发现，Gibson 公式及其修正式修正主要行式相同，可以说 Gibson 公式修正式在 Gibson 公式的基础上加了修正参数而已。2.62.6 对于蜂窝夹芯板的等效处理方法对于蜂窝夹芯板的等效处理方法2.6.1 等刚度法等刚度法是指通过确定等效单层板的厚度、杨氏模量和剪切模量，使之与原蜂窝夹芯板具有相同的刚度，如图所示图图 2.612.61为了确定等效单层板的厚度以及模量，需考虑在拉伸、弯曲和剪切三种情况，拉伸时应满足 (2-94)2ffeqeqt Et E弯曲时应满足 (2-95)33311(2)1212cffeqeqhth Et E剪切时则应满足 (2-96)2ffeqeqt G

45、t G故可得 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真24 (2-97)feqfeqfeqfeqffcceqGttGEttEtthht22463222.6.2 等密度法等密度法是指等效单层板的密度与原蜂窝夹芯板的密度相等且杨氏模量、剪切模量相同，仅需确定其等效厚度。由密度相等可知 (2-98)2eqfffccLWtLWtLWh所以 (2-99)2ffcceqftht等刚度法和等密度法可以用来预测蜂窝夹芯结构在轴向压缩时的极限强度，一般而言，与实验结果相比较，由等刚度法所得到的结果偏大，而由等密度法所得到的结果则偏小。试验与数值结果对比表明，当芯体高度相对较小时，用等密度法处理较为合适，而当芯体高度相

46、对较大时，用等刚度法处理较为合理。本章小结本章小结 本章通过引用相关文献的分析分方法，蜂窝芯体等效模量分为面内模量和面外模量，在分析时将蜂窝芯体的等效模量的分析简化为对蜂窝芯体胞元的分析。推导面内模量依据线弹性 Bernoulli-Euler 梁理论，根据考虑变形条件得不同得出了 Gibson 公式和 Gibson 公式的修正中；推导面外等效弹性模量时主要依据等密度法，而在分析面外剪切模量时用到了最小势能和最小余能法则。通过本章得到了等效模量计算方法，从而为建立蜂窝芯体等效模型提供了理论支持。第二章 蜂窝等效模量的推导与分析25蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真26第三章第三章 建模与分析建模

47、与分析3.13.1 有限元与有限元与 AnsysAnsys 简介简介3.1.1 有限元(Finite Element) 有限元分析, 即有限元方法, 是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术，随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法 。有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究。它的发展可以追溯到 Alexander Hrennikoff(1941)和 Richard Courant(1942)的工作。这些先驱者使用的方法的共同的特点是利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的称为元的子区域。Hrennikoff 用类似于格子的网格离散区域；Co

48、urant将区域分解为有限个三角形的子区域, 用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程。Courant 的贡献推动了有限元的发展, 绘制了早期偏微分方程的研究结果。3.1.2 有限元的发展概况 1943 年 courant 在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能原理研究 St.Venant 的扭转问题。1960 年 clough 的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称。1965 年冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的主要依据。1970 年 随着计算机和软件的发展，有限元得到了空前的发展，如今有限元法被广泛应用于多个领域

49、。 有限元法的应用范围很广，包括：固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等。可以对由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）进行求解。并且还能求解各类场分布问题，如流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题，以及水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。第三章 建模与分析273.1.3 有限元法分析要点： 一 物体离散化单元划分：将实体结构离散为由各种单元组成的计算模型。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划

50、分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 二 单元特性分析的方法在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等

51、由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。3.23.2 通用有限元程序通用有限元程序 AnsysAnsys3.2.1 Ansys 简介Ansys 软件是融结构、热、流体、电磁声学于一体的大型 CAE 通用有限元分析软件，可广泛应于航空航天、机械制造、生物医学

52、、轻工、土木工程等工业蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真28及科研领域。Ansys 大多数操作系统中运行（Windows、Unix、Linux）,从 PC 机到大型巨型计算机均有相应的版本。Anysy 软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型， ANSYS 程序提供了两种实体建模方法：自顶向下与自底向上，而且提供了四种网格划分方法：延伸划分、映像划分、自由 划分和自适应划分；分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多

53、物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力； 后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。在 ANSYS 中，载荷包括边界条件和外部或内部作用力函数，在不同的分析领域中有不同的表征，但基本上可以分为 6 大类：自由度约束（DOF Cinstraints）、力（Force）、面载荷（Surface Load）、体载荷（Body Load）、惯性载荷（Inertia Loads）以及耦合场载荷（Coupled-field Lo

54、ads）。ANSYS 软件提供的分析类型包括：结构静力分析（求解外载荷引起的位移、应力和力）、结构动力学分析（求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响）、结构非线性分析（结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例变化）、动力学分析（分析复杂结构在空间中的运动特性，并确定结构中由此产生的应力、应变和变形）、热分析（处理三种基本的热传递：传导、对流和辐射）等等，本文应用其提供的结构静力分析功能。3.3 有限元建模有限元建模3.3.1 蜂窝实体建模第三章 建模与分析29实体模型采用是 Ansys10 中提供的壳单元(SHELL63)建模，建立由铝质材料制成的正六边形蜂窝芯体结构，如下图所示。 图图

55、 3.313.31实体模型的物理参数为：胞元为正六边形，胞壁长度为 6mm，胞壁厚度为0.5mm，蜂窝芯层的高度为 30mm，铝材的弹性模量为 70GPa，泊松比为 0.33。为了能够容易改变蜂窝结构的宏观尺寸，实体模型的建模过程采用 Ansys 的可编程逻辑语言（APDL），利用蜂窝芯体的结构特点进行建模，本模型没有考虑蒙皮的影响。蜂窝芯体的等效模型采用的是 Ansys 所提供的实体单元（Solid64）进行建模，所得模型如下图所示。蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真30图图 3.323.323.3.2 Ansys 单元简介 ANSYS 的单元库提供了 100 多种单元类型给用户进行选择使用

56、，单元的选择与大小对模型进行有限元分析的节结果有至关重要的影响，正确地选择单元类型是建模的关键。以下对本文在建模过程中用到的单元类型进行必要的介绍：实体模型所用的是 Shell63 弹性壳单元，该单元具有弯矩和薄膜特性，可承受与平面同方向及法线方向的荷载。Shell63 单元由四个节点组成，每个节点 6个自由度，即沿节点坐标系 X、Y、Z 方向的平动和沿节点坐标系 X、Y、Z 轴的转动，并且该单元有应力强化和大变形能力，在大变形分析（有限转动）中可以采用不变的切向刚度矩阵。单元 SHELL63 的单元定义需要四个节点、四个厚度、一个弹性地基刚度和正交各向异性的材料，正交各向异性的材料参数的方向

57、依据是单元坐标系，在单元的面内，其节点厚度为输入的四个厚度，单元的厚度假定为均匀变化，若单元厚度不变，只需输入 TK(I)即可；如果厚度是变化的，则四个节点的厚度均需输入，本文中建模过程中单元的厚度不变。建立等效模型所用的是 SOLID64 三维各向异性实体单元，有各向异性或者正交各向异性材料特性，该第三章 建模与分析31单元有 8 个结点，每个结点 3 个自由度，即沿 X、Y、Z 的平动自由度，而且SOLID64 单元有应力刚化和大变形的能力。单元的选择直接影响采用有限元分析的准确性，在对比 Ansys 单元库中单元后，以及在提高计算效率和保证准确性的前提下选择了 SHELL63 和 SOL

58、ID64 单元。 本章小结本章小结本章主要介绍了有限元分析程序 Ansysy 和建模所必要的参数。蜂窝芯体实体模型中，单元材料属性为各向同性；等效模型的单元属性为正交各向异性。通过第二章给出等效模量计算方法，计算得到三组在边长为 6mm 的正六边形蜂窝芯体材料的等效模量值，即 Gibson 公式，富明慧修正式以及综合考虑伸缩、拉伸、剪切变形的 Gibson 修正式。由三组数据得到三个等效模量不同的等效模型，为接下来对模型施加约束，并分析结果做好了准备。蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真32第四章第四章 误差分析误差分析4.14.1 约束条件约束条件在有限元分析在施加正确约束非常关键，不正确的约

59、束条件往往会导致极大的误差，甚至导致有限元程序崩溃。有限元中的求解方法有力法和位移法，本文力法来检验，在验证时通过对蜂窝实体模型和等效施加相同的位移约束，求出相应约束节点反力之和，并计算出实体模型和等效模型的相对误差。在研究开始是，本人对有限元程序不是很了解，首先想到用位移法来验证，但由于约束施加不正确产生了无法估计个误差，而且由于蜂窝芯体结构较复杂，施加应力必须进行等效处理，所以用位移法来验证各个模量不是很方便不方便。因此在老师指导下，经过仔细学习后，使用力法对模型进行验证，并且修正了约束条件，使得对面内模量的验证得到了较好的结果；而面外模量在验证时，对蜂窝芯体添加蒙皮的前后分别进行验证，由

60、于在添加蒙皮后等效模型不正确，所以未能达到预期的验证结果。以下将介绍本在验证不同方向上的等效模量的误差是所施加的约束条件。 (a)(a)实际模型实际模型 (b)(b)等效模型等效模型图图 4.114.11第章 误差分析33因为弹性模量等于应力除以应变，即。当给定一定应变时，只要利用E有限元算出应力就可以解出弹性模量。对于剪切模量同样如此。又因为蜂窝芯体与等效模型的宏观尺寸一致，所以在验证弹性模量和剪切模量时，对实体模型和等效模型施加同样的变形量，然后通过求出相应节点约束反力之和的误差即可求得实体模型和等效模型的等效模量误差。因此在验证时，依据下图对最左侧所xE有节点的自由度全部被约束；最右侧节