循环冗余校验码(CRC)的基本原理

1、循环冗余校验码(CRC)的基本原理循环冗余校验码(CRC)的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为 N位，因此，这种编码又叫(N, K) 码。对于一个给定的(N, K)码，可以证明存在一个最高次幕为 N-K二R 的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做 这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式f(X)表示，将f(x)左移R位(则可表示成f(x)*XR)，这样f(x)的右边就会空 出R位，这就是校验码的位置。通过 f(x)* XR除以生成多项式G(x) 得到的余数就是校验码。几个基本概念1、多项式与二进制数码多

2、项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幕次对应二进制数 的最高位，以下各位对应多项式的各幕次，有此幕次项对应1，无此幕次项对应0。可以看出：x的最高幕次为R，转换成对应的二进制 数有R+1位。多项式包括生成多项式 G(x)和信息多项式f(x)。如生成多项式为G(x)=X4+X3+X+1， 可转换为二进制数码11011 。而发送信息位1111，可转换为数据多项式为f(x)=X 3+X2+X+12、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传 输过程中，这个数始终保持不变。在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模 2除生成校验码。在 接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模

3、 2除检测和确定错 误位置。应满足以下条件：a、生成多项式的最高位和最低位必须为 1。b、当被传送信息(CRC码)任何一位发生错误时，被生成多项 式做模2除后应该使余数不为0。c、不同位发生错误时，应该使余数不同。d、对余数继续做模2除，应使余数循环。将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查 到常用的对应于不同码制的生成多项式如图 9所示：NK码距dG(x)多项式G(x)743x3+x+11011743x3+x2+11101734x4+x3+x2+111101734x4+x2+x+11011115113x4+x+1100111575x8+x7+x6+x4+11110100013

4、1263x5+x2+11001013121510 .9 .8 .6 .5 .3x +x +x +x +x +x+1 1110110100163573x6+x+1100001163515x12+x10+x5+x4+x2+1101000011010110411024x16+x15+x2+111000000000000101图9常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其 它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位做下一 位的模2减。步骤如下：a、用除数对被除数最高几位做模 2减，没有借位。b、除数右移一位，若余数最高位为1,商为1，并对余

5、数做模2 减。若余数最高位为0,商为0,除数继续右移一位。c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。【例】1111000除以1101:1011商1111000-被除数1101除数1000110110101101111余数4、CRC码的生成步骤(1) 将x的最高幕次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。将信息码左移R位得到多项式f(x)*XR。(2) 用生成多项式(二进制数)对f(x)*XR做模2除，得到余数(即校验码)。(3) 将余数多项式加到f(x)*XR中，得到完整的CRC码。【例】假设使用的生成多项式是 G(x)=x3+x+1。4位的原始报文 为1010，求编

6、码后的报文。解：(1) 将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。(2) 此题生成多项式有4位(R+1 )，要把原始报文F(x)左移3 (R)位变成 1010000(3) 用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进 行模2除：1001商10100001011除数1000101111余数（校验位）（4）编码后的报文（CRC码）：1010000+ 111010011CRC码为1010011 （和纠错）。在接收端收到了 CRC码后用生成多项式为G（x）去做模2除，若 得到余数为0，则码字无误。若得到余数不为0,则接收的数据有错。5、通信与网络中常用的CRC在数据通信与

7、网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构 成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误， 而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16 =x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT = x16+x15+x2+1。【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G（x） = x3+x2+1 ,用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成CRC码。若发送信息位1111和1100则它的CRC码分别为A和B_。由 于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的CRC码，例如码字C_、_ D_、和E_。（ 1998年试题11）供选择的答案A :111110

8、0111110111111101111111B :1100100110010111001101100111CE : 0000000 0001100001011100110101000110100111110100011011000解：A: G(x) = 1101 , f(x) = 1111 , f(x)*x3®x) = 1111000-1101 =1011 余 111得到的CRC码为1111111B: G(x) = 1101 , f(x) = 1100 , f(x)*x3-G(x) = 1100000-1101 =1001 余 101得到的CRC码为1100101CE:分别用G(x)

9、 = 1101对作模2除： 0000000-1101 余 000 1111101-1101 余 0010010111-1101余0000011010-1101余0001000110-1101余0001001111-1101余1001010001-1101余0001011000-1101余100所以C_、_D和E的答案是、【例2】计算机中常用的一种检错码是 CRC，即_A_码。在进行编码过程中要使用 B 运算。假设使用的生成多项式是G(X)=X4+X3+X+1 ,原始报文为11001010101 ,则编码后的报文为C 。 CRC码 D 的说法是正确的供选择的答案:A :水平垂直奇偶校验循环求和循环冗余正比率B :模2除法 定点二进制除法二十进制除法循环移位法C: 1100101010111 110010101010011 110010101011100 110010101010101D :可纠正一位差错可检测所有偶数位错 可检测所有小于校验位长度的突发错 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错解：从前面有关CRC的论述中可得出：A :循环冗余B :模2除法C : G(x)