EM04恒定电流场

1、1电磁场与电磁波第四章 恒定电流场武武 汉汉 科科 技技 大大 学学 信信 息息 科科 学学 与与 工工 程程 学学 院院2本章要点本章要点v 电流密度电流密度v 恒定电流场方程恒定电流场方程v 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件v 恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗v 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟3电流密度电流密度恒定电流场恒定电流场：导体中的电子维持连续不断的定：导体中的电子维持连续不断的定向移动，并具有恒定的电场强度。向移动，并具有恒定的电场强度。恒定电流场中的电场强度由外加电压产生，恒定电流场中的电场强度由外加电压产生，可以存在于导体中。可以存在于导体中

2、。静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以存在于导体中。存在于导体中。4电流密度电流密度电流的分类：电流的分类：传导电流传导电流：导体中的自由电子或电解液中的离：导体中的自由电子或电解液中的离子运动形成的电流。在运动中，与原子晶格碰子运动形成的电流。在运动中，与原子晶格碰撞而消耗能量。撞而消耗能量。运流电流运流电流：电子、离子或其它带电粒子在真空：电子、离子或其它带电粒子在真空或空气中运动而形成的电流。或空气中运动而形成的电流。以下若无特别说明，主要讨论传导电流。以下若无特别说明，主要讨论传导电流。5电流密度电流密度电流电流：任取一个面积任取一个面积S，

3、在，在t时间内穿过时间内穿过S的电的电量为量为q。dtdqtqit0lim因为电流在截面的各点上不一定分布均匀，所因为电流在截面的各点上不一定分布均匀，所以引入电流密度来体现以引入电流密度来体现电流在不同面积微元上电流在不同面积微元上的大小和方向分布。的大小和方向分布。6电流密度电流密度体分布的体分布的电流密度电流密度：方向为正电荷的运动方向；：方向为正电荷的运动方向；大小为单位时间内，垂直穿过单位面积的电荷大小为单位时间内，垂直穿过单位面积的电荷量。量。)(lim)(lim0000SIeStqeJtSntSn体分布电流与体分布电流密度的关系：体分布电流与体分布电流密度的关系：SSdJI电流密

4、度与电流的关系是一个矢量电流密度与电流的关系是一个矢量场与它的通场与它的通量的关系。量的关系。7电流密度电流密度如果电流只分布于导体表面，可以用如果电流只分布于导体表面，可以用面电流密面电流密度度来描述。在垂直于电荷流动的方向上取一线来描述。在垂直于电荷流动的方向上取一线元元l，流过此线元的电流为，流过此线元的电流为I。方向为正电荷的运动方向。方向为正电荷的运动方向。nlSelIJ0limdleJIlnS8电流密度电流密度根据前人的试验结果，电流密度与电场强度的根据前人的试验结果，电流密度与电场强度的关系可以表示为：关系可以表示为：(sigmasigma) )代表代表电导率电导率，体现了媒质的

5、导电性，体现了媒质的导电性能。不同的媒质，导电性能一般不同；相同的能。不同的媒质，导电性能一般不同；相同的媒质在不同的外界条件下，电导率也有区别媒质在不同的外界条件下，电导率也有区别。EJ9电流密度电流密度如果如果为无限大，这种导体就叫做为无限大，这种导体就叫做理想导体理想导体。静电场中达到静电平衡时，所有的导体内的电静电场中达到静电平衡时，所有的导体内的电场强度都为场强度都为0 0，而在恒定电流场中，只有在理想，而在恒定电流场中，只有在理想导体之中，电场强度才可能为导体之中，电场强度才可能为0 0。有些金属具有很大的有些金属具有很大的数值，导电性很好，被数值，导电性很好，被称为称为良导体良导

6、体。在很多情况下良导体中的电场强。在很多情况下良导体中的电场强度非常小，可以近似被看作是理想导体。度非常小，可以近似被看作是理想导体。某些绝缘体的某些绝缘体的数值非常小，它们的导电性能非数值非常小，它们的导电性能非常差，有时候可以近似被看作是理想介质。常差，有时候可以近似被看作是理想介质。10电流密度电流密度例例4.14.1：一个同轴电缆，内外半径为：一个同轴电缆，内外半径为a、b，中，中间有绝缘介质，外加电压间有绝缘介质，外加电压U0，试求因绝缘性能，试求因绝缘性能不完善而产生的漏电流密度和漏电阻。不完善而产生的漏电流密度和漏电阻。U0ab11电流密度电流密度解：解：根据场分布的圆柱对称特性

7、，绝缘介质内的电根据场分布的圆柱对称特性，绝缘介质内的电场强度与电流密度均沿径向。场强度与电流密度均沿径向。在绝缘介质区域中在绝缘介质区域中取半径为取半径为r，长度为，长度为L的同轴圆柱面，通的同轴圆柱面，通过不同半径大小的过不同半径大小的圆柱面的电流强度圆柱面的电流强度I I均相同，但电流密均相同，但电流密度不相同。度不相同。U0rJ (r)12电流密度电流密度LrIrJ2)(漏电流密度的大小为：漏电流密度的大小为：电场强度的大小为：电场强度的大小为：LrIrE2)(已知内外导体之间的电压，积分得已知内外导体之间的电压，积分得：)ln(22)(0abLIdrLrIdrrEUbaba得到设定参

8、数为：得到设定参数为：)ln(20abLUIU0rJ (r)13电流密度电流密度得到漏电流密度的表达式：得到漏电流密度的表达式：eabrUrJ)ln()(0得到漏电阻的表达式：得到漏电阻的表达式：LabIUR2)ln(0注：漏电阻的大小与圆柱体的长度有关。注：漏电阻的大小与圆柱体的长度有关。14恒定电流场的方程恒定电流场的方程研究恒定电流场中，电流密度的散度与旋度。研究恒定电流场中，电流密度的散度与旋度。0)(lldrE0lldJ斯托克斯定理斯托克斯定理0J 为常数为常数0J均匀导体中，恒均匀导体中，恒定电流场无旋定电流场无旋15恒定电流场的方程恒定电流场的方程tqSdJS电荷守恒定律电荷守恒

9、定律：通过任一闭合面的电流密度的：通过任一闭合面的电流密度的通量等于闭合面中包含电荷的时间减少率。通量等于闭合面中包含电荷的时间减少率。恒定电流场中，电荷分布不随时间变化，得恒定电流场中，电荷分布不随时间变化，得电电流连续性原理流连续性原理：0SSdJ含义：在恒定电流场中，电流密度通过任一闭含义：在恒定电流场中，电流密度通过任一闭合面的通量为合面的通量为0 0。16恒定电流场的方程恒定电流场的方程均匀导体中的均匀导体中的恒定电流场方程恒定电流场方程：积积分分形形式式微微分分形形式式0lldJ0J0SSdJ0 J电流连续性原理电流连续性原理守恒定理守恒定理17恒定电流场的方程恒定电流场的方程AA

10、AEEEJ0/EE如果导电媒质不均匀，则电导率的分布具有梯如果导电媒质不均匀，则电导率的分布具有梯度，导体中的电场强度具有散度。度，导体中的电场强度具有散度。18恒定电流场的方程恒定电流场的方程/EE在恒定电流场中，电荷的空间分布是不随时间在恒定电流场中，电荷的空间分布是不随时间变化的，这样的电荷被称为变化的，这样的电荷被称为驻立电荷驻立电荷。/ E驻立电荷的体密度为：驻立电荷的体密度为：E分布规律：在均匀导体中，分布规律：在均匀导体中，的梯度为的梯度为0 0，所，所以体驻立电荷不存在，驻立电荷只存在于导体以体驻立电荷不存在，驻立电荷只存在于导体的表面上。的表面上。19恒定电流场的方程恒定电流

11、场的方程均匀导体通电后，有驻立电荷从电源充入导体均匀导体通电后，有驻立电荷从电源充入导体中，但是同性的驻立电荷相互排斥，向导线表中，但是同性的驻立电荷相互排斥，向导线表面扩散，需要经过一个短暂的时间，驻立电荷面扩散，需要经过一个短暂的时间，驻立电荷才能完全从导线内部消失，这段时间称为才能完全从导线内部消失，这段时间称为驰豫驰豫时间时间。)(1(tE)(1(t 0/t/0te20恒定电流场的方程恒定电流场的方程在导线通电的短暂过程中，驻立电荷的体密在导线通电的短暂过程中，驻立电荷的体密度以上述指数规律衰减。其中弛豫时间为度以上述指数规律衰减。其中弛豫时间为=/=/，其越小，驻立电荷在导线内衰减，

12、其越小，驻立电荷在导线内衰减就越快。就越快。思考：思考：介质的电导率是多大？导体的介电常数是多大？介质的电导率是多大？导体的介电常数是多大？21恒定电流场的方程恒定电流场的方程例例4.2 4.2 在一块厚度为在一块厚度为d的导电板上，由两个半径的导电板上，由两个半径为为r1与与r2的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 的两半径划出一块扇形的两半径划出一块扇形体，设导电板的电导率为体，设导电板的电导率为 ，求：，求：1 1）沿厚度方向的电阻；）沿厚度方向的电阻；2 2）沿两圆弧面之间的电阻；）沿两圆弧面之间的电阻；3 3）沿角度增大方向的电阻。）沿角度增大方向的电阻。 dr1r222恒定电流场的方程恒定

13、电流场的方程解：解：1 1）设外加电压）设外加电压U1，通过电，通过电流为流为I I1，如图所示。，如图所示。I I1U1电场强度与电流密度可表示为：电场强度与电流密度可表示为：dUE11dUJ)(11电流强度沿厚度方向分布均匀，可表示为：电流强度沿厚度方向分布均匀，可表示为：)(221221111rrdUSJI23恒定电流场的方程恒定电流场的方程故沿厚度方向的电阻为：故沿厚度方向的电阻为：)(22122111rrdIUR注注：电压之间的截面面积相同，间距也相同。：电压之间的截面面积相同，间距也相同。2 2）设外加电压）设外加电压U2，通过电，通过电流恒定为流恒定为I I2，如图所示。，如图所

14、示。I I2U2r24恒定电流场的方程恒定电流场的方程电流密度与电场强度可表示为：电流密度与电场强度可表示为：)()(22rdIrE)()(2222rdISIrJ两端电压可表示为：两端电压可表示为：122222ln)(2121rrdIdrrdIdrrEUrrrr故两圆弧面之间的电阻为：故两圆弧面之间的电阻为：12222ln1rrdIUR注注：电压之间的截面面积不同，间距相同。：电压之间的截面面积不同，间距相同。I I2U2r25恒定电流场的方程恒定电流场的方程3 3）设外加电压）设外加电压U3，通过电，通过电流恒定为流恒定为I I3，如图所示。，如图所示。I I3U3r 033)(rdrEU在

15、半径为在半径为r的圆弧段上，各的圆弧段上，各点的电场强度大小相同，有：点的电场强度大小相同，有：得电场强度和电流密度为：得电场强度和电流密度为：erUrE33)(erUrJ33)(26恒定电流场的方程恒定电流场的方程电流强度可表示为：电流强度可表示为：123333ln)(213rrdUdrrdUdSerJIrrS沿角度增加方向的电阻为：沿角度增加方向的电阻为：)ln(12333rrdIUR注注：电压之间的截面面积相同，间距不同。：电压之间的截面面积相同，间距不同。I I3U3r 27恒定电流场的方程恒定电流场的方程当导体电压之间的截面积总相同，间距不同时，当导体电压之间的截面积总相同，间距不同

16、时，解题思路为：解题思路为：U-E-J-I-R当导体电压之间的截面积不同，间距总相同时，当导体电压之间的截面积不同，间距总相同时，解题思路为：解题思路为：I-J-E-U-R总结：总结：当导体电压之间的截面积总相同，间距总相同当导体电压之间的截面积总相同，间距总相同时，解题思路为上面两个的任意一个。时，解题思路为上面两个的任意一个。28电流电流I I的划分的划分横向的叠加：横向的叠加：I=II=I1 1+I+I2 2 恒定电流场的方程恒定电流场的方程电压电压U U的划分的划分纵向的叠加：纵向的叠加：U=UU=U1 1+U+U2 2U1U2U12I1I2I29恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条

17、件采用和第二章类似的方法，在分界面上构造一采用和第二章类似的方法，在分界面上构造一个圆柱体，高为很小的值，面积为个圆柱体，高为很小的值，面积为SS，写出针，写出针对这个圆柱体的电流连续性原理方程：对这个圆柱体的电流连续性原理方程：SnnSJSJSdJ021在两种导电媒质的分界面上，因为两侧媒质的电在两种导电媒质的分界面上，因为两侧媒质的电导率不同，电流密度或者电场强度有可能出现不导率不同，电流密度或者电场强度有可能出现不连续的分布。连续的分布。30恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件采用和第二章类似的方法，在分界面上取一段采用和第二章类似的方法，在分界面上取一段矩形的闭合路径，长为矩形的闭

18、合路径，长为ll，高为很小的值，沿，高为很小的值，沿着这个闭合路径，对电场强度进行线积分：着这个闭合路径，对电场强度进行线积分：0221121lJlJlElEl dEttttl得：得： ，电场强度的切向分量连续电场强度的切向分量连续。2211ttJJ得：得： 。在两种导电媒质的边界两侧，。在两种导电媒质的边界两侧，电电流密度的法向分量连续流密度的法向分量连续。nnJJ2131恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件总结：相邻导电媒质的总结：相邻导电媒质的恒定电流场边界条件恒定电流场边界条件电流密度电流密度电场强度电场强度2211ttJJnnJJ21nnEE2211ttEE2132恒定电流场的边

19、界条件恒定电流场的边界条件区域区域2 2中不存在电流：中不存在电流：J2t=0，J2n=0。理想导体，理想导体， 1理想介质，理想介质， 20由边界条件得：由边界条件得：J1n=J2n=0。EJ 的特殊情况：的特殊情况：区域区域1 1中仅存在切向的电流：中仅存在切向的电流：J1t 0。33恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件因为因为J1t= 1E1t，且，且 1很大，所以很大，所以E1t很小很小。由边界条件得由边界条件得E2t=E1t很小，而很小，而E2n 0，所以在，所以在区域区域2中，电场强度基本上是垂直于分界面的。中，电场强度基本上是垂直于分界面的。 1 2E2nJ1t（电流集中在导

20、体表面）（电流集中在导体表面）其它其它分量分量近似近似为为0 0很小的电场就能够驱动较大的电流。很小的电场就能够驱动较大的电流。34恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗在传导电流中，移动的电子与原子晶格发生碰在传导电流中，移动的电子与原子晶格发生碰撞，产生热能，形成能量的损耗。撞，产生热能，形成能量的损耗。当导体两端电压为当导体两端电压为U U，流过的电流为，流过的电流为I I时，在单时，在单位时间内电场力对电荷所作的功，即位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是：功率是：UIP 考虑微观的情况，在导体中，沿电流线方向取一考虑微观的情况，在导体中，沿电流线方向取一长度为长度为l l、截面为、

21、截面为S S的体积元，该体积元的体积元，该体积元内消内消耗的功率为：耗的功率为：VEJSlEJIlEIUP35恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗当当V0V0，取，取P/VP/V的极限，得出导体内任一的极限，得出导体内任一点的点的功率损耗密度功率损耗密度，表，表示为：示为：20limEEJVPpVEJp上式就是焦耳定律的微分形式。上式就是焦耳定律的微分形式。思考：为什么焦耳定律不适用于运流电流？思考：为什么焦耳定律不适用于运流电流？对于运流电流而言，电场力对电荷所作的对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变功转变为电荷的动能，而不是电荷与晶格碰撞的热能。为电荷的动能，而不是电荷与晶格碰撞

22、的热能。36恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟将恒定电流场方程和无源区的静电场方程进行将恒定电流场方程和无源区的静电场方程进行比较，可以发现这两组方程非常相似。其中恒比较，可以发现这两组方程非常相似。其中恒定电流场中的电流密度，对应于静电场中的电定电流场中的电流密度，对应于静电场中的电位移矢量，恒定电流场中的电导率，对应于静位移矢量，恒定电流场中的电导率，对应于静电场中的介电常数。相同条件下的这两种场，电场中的介电常数。相同条件下的这两种场，形式上具有一定的相似性，可以进行相互的比形式上具有一定的相似性，可以进行相互的比拟。如果互换对应的物理量，可以由一种场中拟。如果互换对应的物

23、理量，可以由一种场中的结果，得到另一种场中的结果。的结果，得到另一种场中的结果。37恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟38恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟实际的工作中，电流比电荷更容易控制，对电流实际的工作中，电流比电荷更容易控制，对电流场的实现和分析测量，比在静电场中容易一些，场的实现和分析测量，比在静电场中容易一些，所以常常借助恒定电流场，来研究类似的环境下，所以常常借助恒定电流场，来研究类似的环境下，静电场的特性，这种方法称为静电场的特性，这种方法称为静电模拟静电模拟。SSSdESdJIlldEUlSl dESdEUIGSSSdESdDqlSl dESdEU

24、qClldEU39恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟CG在已知在已知G G后，用后，用替换替换，就可以求得对应的电，就可以求得对应的电容容C C，采用相反的步骤，也可以由已知的，采用相反的步骤，也可以由已知的C C求得求得G G。qIDJ其它比拟关系：其它比拟关系：40恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟例例4.3 4.3 在实验室中，为了使电子设备可靠的接在实验室中，为了使电子设备可靠的接地，一般敷设一根共用的深埋地线，其与大地地，一般敷设一根共用的深埋地线，其与大地之间的电阻称为接地电阻。接地电阻越大，电之间的电阻称为接地电阻。接地电阻越大，电子设备通过地线耦合的

25、干扰就越大，因此应尽子设备通过地线耦合的干扰就越大，因此应尽量减少其接地电阻。量减少其接地电阻。a 41恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟解：解：图示的接地电阻可近似看成导体球放在无限大图示的接地电阻可近似看成导体球放在无限大的均匀导电媒质中的情况。设导体球带电量为的均匀导电媒质中的情况。设导体球带电量为q，介电常数为介电常数为 。导体球的电位为：导体球的电位为：aq4导体球的电容为：导体球的电容为：aqC4a 42恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟aGR411根据恒定电流场与静电场的比拟，接地电阻的根据恒定电流场与静电场的比拟，接地电阻的电导与导体球的电容相对应，

26、得电阻的大小为：电导与导体球的电容相对应，得电阻的大小为：43恒定电流场的应用恒定电流场的应用44恒定电流场的应用恒定电流场的应用电源演示电源演示45恒定电流场的应用恒定电流场的应用46恒定电流场的应用恒定电流场的应用47恒定电流场的应用恒定电流场的应用48恒定电流场的应用恒定电流场的应用电力工程中，通常需要获悉电气设备周围的电电力工程中，通常需要获悉电气设备周围的电场分布。若在运行中进行现场测量是很不安全场分布。若在运行中进行现场测量是很不安全的。此时可将设备放入电流场中，只要保证电的。此时可将设备放入电流场中，只要保证电流场的形状及其边界条件与电气设备所在的电流场的形状及其边界条件与电气设备所在的电场形状及边界条件相同，那么通过测量该电流场形状及边界条件相同，那么通过测量该电流场的分布，即可获知原先电场的分布，这种方场的分布，即可获知原先电场的分布，这种方法称为位场模拟。对于高压套管、电缆头及绝法称为位场模拟。对于高压套管、电缆头及绝缘子等即可采用这种位场模拟方法获得其周围缘子等即可采用这种位场模拟方法获得其周围