【精品】高中数学选修1-1_抛物线及其标准方程讲义+巩固练习_提高

1、抛物线及其标准方程【学习目标】1知识与技能：（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；（3）掌握简单运用2 过程与方法：（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题3 情感态度与价值观： 在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处【要点梳理】要点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不过 F ）的距离相等的点的集合叫作 抛物 线，定点 F 叫做抛物线的 焦点，定直线 l 叫做抛物线的 准线要点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”

2、，一个动点，一个顶点，一定直线，一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点 F 不在准线 l 上，若 F 在 l 上，抛物线变为过 F 且垂直与 l 的一条直线（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与 抛物线的定义联系起来， 将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化， 通过这种 转化使问题简单化要点二：抛物线的标准方程1 标准方程的推导（1）建系：如图，以过 F 且垂直于 l 的直线为 x 轴，垂足为 K，以 FK 的中点 O 为坐标原点建立直 角坐标系 xOy设|KF|=p(p>0)，那么焦点 F的坐标为 ( p ,0) ，准线 l的方程为x

3、p 22 设点 M (x， y)是抛物线上任意一点(3)列式：点M到l的距离为 d由抛物线的定义，抛物线就是集合P M | MF | d ，即 (x 2p)2 y2 |x 2p |(4) 化简：将上式两边平方并化简，得 y2 2px(p 0) 方程叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是 (p,0) ， 2 其准线方程是 x p 22 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式要点诠释：只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上， 且开口方向与一次项的系数的

4、正负 致，比如抛物线 x2 20y 的一次项为 20 y ，故其焦点在 y轴上，且开口向负方向(向下)抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4 倍，比如抛物线 x2 20y 的一次项 20y 的系数为 20，故其焦点坐标是 (0, 5) 一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线y 2 kxk 0 时开口 向 右k( ,0)4kx4k 0 时开口 向 左x2 kyk 0 时开口 向 上k(0, )4k y4k 0 时开口 向 下要点三：求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程一般有两种形式：（1）定义法，直接利用定义求解（2）待定系数法若已知抛物线的焦点位置， 则可设出抛物线的标准方程， 求

5、出 p 值即可， 若抛物线的焦点 位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2 ax（a0，） 焦 点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2ay（a0）要点诠释：从方程形式看， 求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数 用待定系数法求抛物线的标 准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型 （一般需结合图形依据焦点的位置 或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，应先“定位”，再“定量”， 即可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出

6、四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况【典型例题】类型一：抛物线的定义例 1 已知抛物线的焦点为（ 3，3），准线为 x 轴，求抛物线的方程【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般 需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论【解析】设 M（x，y）为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，得 （x 3）2 （y 3）2 | y|，两边平方，整理得 y 1 x2 x 36所求抛物线的方程为 y 1 x2 x 3 6【总结升华】（1）当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方 程（2）本题中抛物线方程 y

7、 1 x2 x 3 是非标准方程，可以化简为 x 3 =6 y 2 ，它是由63抛物线 x2=6y沿向量a= 3，2 平移（即先向右平移 3个单位，再向上平移 2个单位）后而得到的 .33举一反三：【变式 1】【变式 2】过点 A（3，0）与 y 轴相切的圆的圆心轨迹为 （ ） A圆B 椭圆C直线D抛物线【答案】D设 P 为轨迹上一点，则 P 到 A 的距离等于 P 到 y 轴的距离， 所以 P 的轨迹为以 A 为焦点， y 轴为准线的抛物线【变式 2】到点 A（1，0）和直线 x3 距离相等的点的轨迹方程是 【答案】 y2 88x设动点坐标为 （x，y），由题意得 x 1 2 y2 |x3|

8、 ，化简得 y288x例 2 平面上动点 P 到定点 F （ 1， 0）的距离比 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹 方程【思路点拨】求动点的轨迹方程，可以用坐标法直接求解，也可以用几何法求解【解析】解法一 ：设 P 点的坐标为（ x， y），则有 （x 1）2 y2 |x| 1，两边平方并化简得 y2=2x+2|x|2 y4x, x 0,0, x 0,即点 P 的轨迹方程为 y2=4x（ x0）或 y=0（x<0）解法二：由题意，动点 P到定点F（1，0）的距离比到 y轴的距离大 1，由于点 F（1，0）到 y 轴的距离为 1，故当 x<0 时，直线 y=0 上的点适

9、合条件；当 x0时，原命题等价于点 P 到点 F（ 1，0）与到直线 x=1的距离相等， 故点 P 在以 F 为焦点， x=1为准线的抛线物上，其轨迹方程为 y2=4x 故所求动点 P 的轨迹方程为 y2=4x（ x0）或 y=1（x<0）【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用 类似于公式法的待定系数法求解， 但要判断准确， 注意挖掘题目中的隐含条件， 防止重、漏解 举一反三：【高清课堂： 抛物线线的方程 358821 例 2】【变式 1】若点 M 到定点 F（4，0）的距离比它到直线 l：x+6=0的距离小 2，求点 M 的轨迹方程答案】 y2

10、16x【变式2】若动圆P与定圆C :(x 3)2 y2 1相外切，且与直线l : x 2相切，求动圆圆心 P的 轨迹方程【答案】 y2 12 x类型二：抛物线的标准方程例 3 求过点 ( 3,2) 的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：解析】点 ( 3,2) 在第二象限，抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时， 设所求的抛物线方程为 y2 2px( p 0)，过点 ( 3,2) ， 22 2 p ( 3) ，p23 y2当抛物线开口方向上时， 设所求的抛物线方程为 x2 2py ( p 0)，过点 ( 3,2) ， 32 2p 2 ，9 2 9 p 4 ， x 2 y ，所求的抛

11、物线的方程为 y2 4x或 x2 9y， 32对应的准线方程分别是 x 1， y 938【总结升华】 求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向， 选择适当的方程 形式，准确求出焦参数 P举一反三：变式 1】已知抛物线关于 y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M( 3, 2 3) ，求它的标准方程y变式 2】抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点 (5，2 )到焦点的距离是答案】6，则抛物线的方程为 （）Ay2 2xBy2 4xCy2 2xDy2 4x或 y2 36x【答案】 B【变式 3】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点 （-2，3）；（ 2）焦点在直线

12、3x-4y-12=0 上；（ 3）准线过点 （2，3）；（4）焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M（m, 3） 到焦点的距离等于 5【答案】（ 1） x2 4 y ；3（2）若焦点为（ 4，0），则 y2=16x；若焦点为（ 0，-3），则 x2=-12y；（3）准线为 x=2，则 y2= -8x；准线为 y=3，则 x2= -12 y；（4）x2=-8y例4 抛物线 y 1x2的焦点是，准线方程是 8【思路点拨】将抛物线化为标准形式，写出准线方程【答案】（0，-2）； y 2 ，【解析】 y 1x2可化为 x2=8y ，8所以其焦点坐标为（ 0，-2），准线为 y 2 【总结升华】 已知抛物线

13、方程求焦点坐标和准线方程时， 先看抛物线方程是否是标准方程， 若 不是，需化方程为标准方程依据标准方程，（1）由一次项的符号确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；（2）由一次项的系数确定 2p（大于 0）的值，求出 p，进而得到由此可得焦点坐标和准线方程 举一反三：【变式 1】抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是 （ ）A 1B 2C 4D8【答案】 C【变式 2】在抛物线 y2 2px（p>0）上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则此抛物线的焦点 坐标为 .【解析】由抛物线的定义可知， p 45，所以 p1.22 所以该抛物线的焦点坐标为 （1， 0）.类型三：抛物线中的

14、定（最）值问题例 5. 已知抛物线的方程为 x2 8y， F 是其焦点点 A（ 2，4）在抛物线的内部，在此抛物线上 求一点 P，使 |PF|PA|的值最小【思路点拨】如图所示，根据抛物线的定义把 PF 转化为 PQ，使折线段 PA，PQ 的两端点 A， Q 分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当 A， P，Q 三点共线时距离达到最小【答案】 P 2，12【解析】点 A（2，4）在抛物线 x28y 内部，如上图所示， 设抛物线的准线为 l，过 P作PQl于Q，过 A作ABl于B. 由抛物线的定义可知 |PF|PA|PQ|PA| A|Q| A|B|. 当且仅当 A，P，Q 三点共线时，

15、|PF|PA|的值最小， 此时点 P 的坐标为 （2，y0），代入 x28y，得 y0 1 ， 故当点 P 的坐标为 2，1 ）时， |PF|PA|的值最小【总结升华】确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置，通常有两种情况： （1） 当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；（2）当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移，转变为 （1）的情形即可 .举一反三：【变式】若点 A 的坐标为 （3，2），F 为抛物线 y22x的焦点，点 P 在该抛物线上移动，为使得 |PA|PF|取得最小值，则 P 点坐标为 （ ）1A（0，0）B（1，1）C （2，2

16、）D. 1，1【答案】 C【解析】由抛物线定义， |PF|等于点 P 到抛物线准线的距离 |PP，|如图所示， 因此，当且仅当点 P、A、P在同一条直线上时，有 |PF|PA| |PP|PA|最小， 此时点 P 的纵坐标等于 A点纵坐标，即 y2， 故此时 P 点坐标为 （2，2）故选 C.类型四：抛物线的实际应用例 6 一种卫星接收天线的轴截面如图所示卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线 的接收天线，经反射聚集到焦点处已知接收天线的口径为48 m，深度为 05 m，求抛物线的标准方程和焦点坐标【思路点拨】 建立适当的空间直角坐标系， 将应用题转化为数学问题， 利用抛物线的有关知识 加以解

17、决解析】如图，建立直角坐标系，则 A （05，24）设抛物线的标准方程是 y2=2px（p>0）将 A （05，24）代入得 2 42=2p×05，解得 p=576 所以，所求抛物线为 y2=11 52x，焦点坐标为 （288，0） 【总结升华】关键是确定抛物线的方程举一反三： 【变式】一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高 的 4 倍，若拱口宽为 a m ，求使卡车通过的 a 的最小整数值【解析】以隧道顶点为原点， 拱高所在直线为 y轴建立直角坐标系， 则点B的坐标为 a2，a4 ， 如图所示设隧道所在抛物线方程为 x2 my（

18、m<0），2则 a =m2 m a.即抛物线方程为 x2a y.即 y 0.82将（0.8，y）代入抛物线方程，得 0.82 ay，欲使卡车通过隧道，应有 y（a）>3，即 a 0.82 >3，4 4 aa>0， a>12.21，a 的最小整数值应取 13.巩固练习】、选择题1将抛物线 y4x2绕顶点逆时针方向旋转90 后，所得抛物线的准线方程是(A.1y 16B. y 116C. x116D. x 1162抛物线2px过点 A(2, 4) ， F 是其焦点，又定点 B(8,8)，那么 |AF |:|BF | ( )A.1:4B.1: 2C.2:5D.3:83抛物

19、线A. (0, m)4B. (0, m)41C. (0,4m)1D. (0, 41m)4设抛物线直线 AF 的斜率是y28x 的焦点为 F，准线为3，那么 |PF|()l，P 为抛物线上一点，PAl， A 为垂足如果A4 3B8C8 3D165已知抛物线 y1 x2(m 0) 的焦点坐标是 ( m2px(p>0)的准线与圆 (x3)2y216 相切，则 p 的值为()A. 1B12C2D46抛物线 y28x上一点 P到x轴距离为 12，则点 P到抛物线焦点 F的距离为( ) A20B8C22D24二、填空题7过点 （1，2）的抛物线的标准方程是 8抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 4x

20、2y21 的一个焦点，则此抛物线的焦点到 准线的距离为 9到点 A（1，0）和直线 x3 距离相等的点的轨迹方程是 10设抛物线 y22px（p>0）的焦点为 F，点A的坐标为（0，2），若线段FA的中点 B在抛物 线上，则点 B 到该抛物线准线的距离为 三、解答题11已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点 M（3，m）到焦点的距离是 5. （1）求抛物线方程和 m 值（2）求抛物线的焦点和准线方程12已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（-3 ，M）到焦点的距离等 于 5 ，求抛物线的方程与 M 的值13点 M 到直线 y+5=0的距离比它到点 N（0，4）距

21、离大 1，求点 M 的轨迹方程14若抛物线 y22px（p>0）上一点 M到准线及对称轴的距离分别为 10和6，求M 点的横 坐标及抛物线方程15一抛物线拱桥跨度为 52 m，拱顶离水面 6.5 m，一竹排上载有一宽 4 m，高 6 m的大 木箱，问竹排能否安全通过？【答案与解析】1【答案】 D；【解析】 抛物线 x2 1 y的焦点为（0, 1 ） ，旋转后顶点为 （ 1 ,0） ，准线为 x 1.4 16 16 162【答案】 C； 【解析】将点 A（2, 4）的坐标代入 y2 2px，得 p 4，抛物线方程为 y2 8x， 焦点 F (2,0) ，已知 B(8, 8) ，22|AF

22、| (2 2)2 (4 0) 2 = 4 2|BF | (8 2)2 ( 8 0) 2 =10 53. 【答案】 A；【解析】 x2My(M<0)，2pM，p m ， 2焦点坐标为 (0, p)，即 (0,m).244. 【答案】 B；【解析】如图，设准线 l 与 x 轴的交点为 H，由直线 AF的斜率为 3，得AFH60°，FAH30°， PAF60 又由抛物线的定义知 |PA|PF|，PAF 为等边三角形，由|HF|4 得|AF|8，【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系抛物线 y22px(p>0)的准线方程是 x p ，由题意知， 3 p4，

23、p2. 【答案】 A【解析】 设 P(x0，12)，则 x018， |PF|x0 p 20.7. 【答案】 y2 4x 和 x2 1 y2【解析】因为点（1，2）在第四象限， 所以满足条件的抛物线的标准方程是 y22p1x（p1>0） 或 x2 2p2y（p2>0）将点（1， 2）分别代入上述两个方程，解得 p12，p21 .因此满足条件 4 的抛物线有两条，它们的方程分别为 y24x 和 x2 1 y .28. 【答案】 3【解析】 p c 3 ，p 3.229【答案】 y288x【解析】 设动点坐标为 （x， y），由题意得 （x 1）2 y2 |x 3|，化简得 y2 8 8x.10【答案】 3 24【解析】抛物线的焦点 F的坐标为（ p，0），线段 FA的中点 B的坐标为（ p ，1），代入抛 24物线方程得12p× p ，解得 p