【精校】2020年河南省洛阳市高考二模数学文

1、2i ai 1 i_ a ai 2i - 22亘Lai是实数, 22La0,即2答案：Da=4.3.在边长为2的正三角形 ABC内任取一点P, 率是（）则使点P到三个顶点的距离都不小于1的概A.1-2020年河南省洛阳市高考二模数学文一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.已知集合 M=y|y=x 2-1, xC R, N=x|y= 73x2 ，则 Mn N=（）A.-1 , +8）B.-1 ,C.写,+叼D.?解析：先确定每个集合的元素是什么，然后根据要求求出每个集合的范围，在进行集合运算即可.当 x R时，y=x2-1

2、 > -1M=-1 , +8）又当3-x2>0时，第 x 曲,.N=志,33Mn N=-1 , 33 .答案：B2.已知i为虚数单位，ae R,如果复数2i jL是实数，则a的值为（）A.-4B.-2C.2D.40求得a值.解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为B.D.6解析：求出满足条件的正三角形 ABC的面积，再求出满足条件正三角形 ABC内的点到正方形 的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案.满足条件的正三角形 ABC如下图所示：其中正三角形 ABC的面积S三角形 ! 4 J3 , 一 '4满足到正三角形 ABC的

3、顶点A、B、C的距离至少有一个小于 1的平面区域如图中阴影部分所示,则S阴影=1兀，2则使取到的点到三个顶点 A、B C的距离都大于1的概率是:答案：C4.已知点(a,)在募函数f(x)=(a-1)x b的图象上，则函数f(x)是()2A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数解析：根据题意求出a、b的值，写出f(x)的解析式，即可判断它的奇偶性点(a ,1)在哥函数f(x)=(a-1)x b的图象上，21- a-1=1 ,解得 a=2;又 2b= 1,解得 b=-1 ,2，f(x)=x -1;函数f(x)是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数答案：A5.已知焦点在y轴

4、上的双曲线 C的渐近线方程为 3x±2y=0,则该双曲线的离心率为 ()C 10C.2解析：根据题意，曲线的方程为22L 1, (t > 0),据此计算分析可得9t4ta、b的值,可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案.根据题意，双曲线 C的点在y轴上且渐近线方程为 3x±2y=0,22设双曲线的方程为y- 1 , (t >0),9t 4t则 a ,913 J , b 、4T2 ,t ,则 c ,a2b2;近,/-该双曲线白离心率e - -13.a 3答案：B6.定义一PinP2一为n个正数Pi, P2,，Pn的“均倒数”，若已知数列an,的前 Pn项的“均

5、倒数”为，又bn an ,则' 5n5b|b2 b2b31biobiiA. A17B. _919C.1021c 11D.23解析:数列an的前n项的“均倒数”为15nnSn,Sn=5n ,5na1=S=5,n>2 时，an=S-Sn-1=(5nj-5(n-1)2=10n-5 ,n=1时，上式成立， . an=10n-5 ,an2n1,1bnbn 112n 1 2n 1111一 ,2 2n 1 2n 111bib2b2b31b10bli191211211021答案：C7.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为（）府视图a22B.9兀D.10 兀1 ，解析：由三视图可知几何体为圆柱与

6、,球的组合体4圆柱的底面半径为1,高为3,球的半径为1.所以几何体的表面积为12 21 3 412 - -12 -12 9 .4 22答案：B8.已知条件p：关于x的不等式|x-1|+|x-3| vm有解；条件q： f(x)=(7-3m)x为减函数，则p成立是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：条件p：由于|x-1|+|x-3|>2,即可得出m的取值范围；条件 q： f(x)=(7-3m) x为减函数，可得0<7-3mv1,解得m范围即可得出.条件 p： |x-1|+|x-3|引3-1|=2 ,而关于 x 的不等式 |x-1|+

7、|x-3| vm有解，m>2;条件 q： f(x)=(7-3m) x为减函数，0v7-3mv1,解得 2V m< 7 .3则p成立是q成立的必要不充分条件.答案：Bx219.已知函数fA.B.-一gcosx ,则y=f(x)的图象大致是()C.D.解析：当xC - , 0)时，f(x) >0,所以排除A, C,;当xC (0 ,5)时f(x) <0,故选D.答案：D10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是1.99 ,则()A.a=98B.a=99C.a=100D.a=101解析：由程序框图知：算法的功能是求11 1.99 ,k 1解得:答案:k=99, k+1=

8、100>99, B故 a=99.11.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的球面上, ABC是边长为1的正三角形，PC为球。的直径，该三棱锥的体积为 Y2,则球。的表面积为（）6A.4兀B.8兀C.12 兀D.16 兀解析：根据题意作出图形，欲求球 。的表面积，只须求球的半径 r.利用截面圆的性质即可 求出OO,进而求出底面 ABC上的高PR即可计算出三棱锥的体积， 从而建立关于r的方程, 即可求出r,从而解决问题.根据题意作出图形：设球心为0,球的半径r.过ABC三点的小圆的圆心为 Q,则00,平面ABC 延长C0交球于点D,则PDL平面ABC.PD=2OG2二V三棱锥P ABC41

9、. r=1.则球0的表面积为47t. 答案：A12.已知函数f4x, x 0,g(x)=kx-1 ,右方程 f(x)-g(x)=0 在 xC (-2 , 2)有xln x, x>0，高 ABC是边长为1的正三角形,SA ABC=-三个实根，则实数 k的取值范围为()A.(1 , ln2 何B.(ln2 3)2C.( 3 , 2)2D.(1 , ln2 拘 U ( 3 , 2)2解析：显然x=0时，原方程无解；可化为基本不等式可得最值和单调区间，作出。f x 1k ,讨论x<0, x>0时，通过导致或(x)在xC(-2 , 2)图象，和直线y=k,观察可得三个交点的情况，即可得

10、到所求 k的范围.显然，x=0不是方程f(x)-g(x)=0 的根，则 f(x)-g(x)=0 ，即为 k可设k x1x4, x< 0x1.、c一Inx, x> 0x由 x<0,可得(x)x 1 42J x g-1 4 2 ,x， x即有4 (x)在x<0时，有最大值(f) (-1)=2 ;,.1,，11x1当 x>0 时，()(x)= 一+lnx 的导数为()(x) ,xx x x在 x>1 时，(f) ' (x) >0, (f) (x)递增；在 0vxv1 时，(f) ' (x) <0,(f) (x)递减.可得x=1处取得最小

11、值1.作出(f) (x)在xC (-2 , 2)图象得在1vkvln2+1或-2- 1+4vkv2时，直线y=k和y=(Hx)的图象均有三个交点 22则k的取值范围是(1 , ln20)U( 3 , 2).2答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)y x13.已知实数x, y满足 x y 1,则目标函数z=2x-y的最大值是 y 1解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案y x由约束条件满足x y 1,联立y x ,解得A(-,-). x y 122化目标函数z=2x-y

12、为y=2x-z ,由图可知，当直线y=2x-z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为1 1 1.2 21答案：12r r r r r r r14.已知| a |=1 , | b|=2 , a b * 3,设a与b的夹角为。，则。等于 一一解析：根据向量数量积的定义以及向量夹角公式进行求解即可r r rrr由I a |=1, | b|=2 , abgo3,r r 2得 agb b 3,即 a gb cos b 3 ,1贝U 2cos 0 +4=3,贝U cos 0 = 2，-0< 0 < Tt ,0 =.-2答案：315 .已知圆C的圆心是直线 x-y+2=0与x轴的交点，且圆

13、 C与圆(x-2) 2+(y-3) 2=9相外切，若 过点P(-1 , 1)的直线l与圆C交于A, B两点，当/ ACB最小时，直线l的方程为_ 解析：首先利用已知条件求出圆的方程，进一步利用圆与圆的位置关系的应用求出直线的方程.圆C的圆心是直线 x-y+2=0与x轴的交点，则：圆心C(-2 , 0).设圆C的半径为r.由于：圆C与圆(x-2) 2+(y-3) 2=9相外切，则：r+3=、.32 42 =5,解得：r=2.故圆C的方程为：(x+2)2+y2=4 ,若过点P(-1 , 1)的直线l与圆C交于两点，则点 P在圆的内部，当过P的直线与圆的直径垂直时，/ACBM小，所以：直线A和B的交

14、点的直线方程为：y-1=-1(x+1),整理得：x+y=0.答案：x+y=016 .设 Sn为数列an的前 n项和，且 a1=2, an+1=2S-2n,贝U a5=3解析：根据数列的递推公式可得an-2 n-1是从第二项开始是以-1为首项以3为公比的等比数 列，即可求出通项公式，代值计算即可 an+1=2S-2n,当 n=1 时)a2=2a1-2=3-2=1 , .an=2S>1-2n-1 , n" .n-1由-可付 an+1-a n=2an-2,即 an+1 =3an-2,即 an+1-2 n=3(an-2 n-1),. a2=1, a2-2=-1 , an-2 n-1是从

15、第二项开始是以-1为首项以3为公比的等比数列， .an-2 n-1=(-1) X3n-2, .an=2n-1-1 x 3n n>2. a5=16-27=-11.答案：-11 三、解答题（本大题共6小题，共70分，第1721题为必考题，每小题 12分，共60分；第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，已知扇形的圆心角/ AOB=2_,半径为4短,若点C是AB上一动点（不与点A,B重合）.若弦BC=4（后-1）,求？C的长.解析：（1）在OBC中，由余弦定理计算可得 cos/BOC勺值，即可得/ BOC勺值，由弧长公 式计算可得答案.答案：（1

16、）在 OB计,BC=4h/3-1） , OB=OC=42 ,由余弦定理cos BOCOB2 OC2 BC2 X2OBgOC 2所以/ BOC,6一 c2、. 2于是?C的长为一4& 263（2）求四边形OACE®积的最大值.解析：（2）根据题意，设/ AOC与，由三角形面积公式分析可得四边形的面积为S的值，结合三角函数的性质分析可得答案.答案：（2）设/ AOC与，0 （0, ）/BOC=2-。，33所以四边形的面积为 S,则 S S7Aoe SvBOC - 4 .2 4x2 sin - 4.2 4、.2sin 22324sin8/3 cos16 Esin -,由ee（0,

17、2）,所以。+ e（, 5-）, 3666当。=时，四边形 OACB勺面积取得最大值 16 J3 .318.已知四棱锥 P-ABCD的底面是平行四边形，PA1平面 ABCD PA=AB=AC=4 AB± AC,点E,F分别在线段AB, PD上.(1)证明：平面PDCL平面PAC.解析：(1)由底面ABCD平行四边形，且 AB± AG彳导AC! CD，再由PA!平面ABCD彳寻PA LCD,利用线面垂直的判定可得 CDL平面PAC再由面面垂直的判定可得平面 PDCL平面PAC. 答案：(1)证明：:四棱锥 P-ABCD的底面ABC皿平行四边形，AB± AG，ACL

18、CD，. PA，平面 ABCD CD 平面 ABCDPAI CQ. ACn PA=A . CD，平面 PAC,CD 平面PDC 平面 PDCL平面 PAC.(2)若三棱锥E-DCF的体积为4,求FD的值.PD解析：(2)由已知求得三角形 DEC勺面积，设点F到平面ABCD勺距离为d,利用等积法求解d,则FD的值可求. PD答案：(2) - AC± CD AB=AC=CD=,4 . . Se=1X 4X4=8, 2设点F到平面ABCD勺距离为d,* Ve-dcf=Vf-de(= S/ decX d=4 , 3解得d= 3 ,2.FDd3.PDPA 819.一只药用昆虫的产卵数 y与一定

19、范围内的温度 x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度工/°C212324272932产卵数y/个61120215777计算得：X26336_Xi x y y557 ,i 12,3, 484236.64 ,5, 6.(i)若用线性回归模型，求解析:答案:3930线性回 归模型 的残差 平方和8.0605 e= 3167其中Xiy关于x的回归方程yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1 ,y bx a(精确到0.1).(1)求出n的值，计算相关系数，求出回归方程即可6_Xi X依题意，n=6, b 口一6Xii 1bX= 33-6.6 X 26=-138.6 ,557 6

20、.6,84，y关于x的线性回归方程为y=6.6x-138.6.(2)若用非线性回归模型求得 y关于x的回归方程为y =0.06e33、，且相关指数R2=0.9522.(i)试与(I )中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的合效果更好.(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35。C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).附：一组数据(X1, y0, (x 2, y2),(xn, yn),其回归直线y bxa的斜率和截距的最小二乘估计为n_X X yi y_, a y bx；相关指数R2 1 n 2Xi X i 1yiyi解析：(2)(i)根据相关指数的大小, (ii)代入求值计算即可.6答案：(2)

21、(i)利用所给数据，即可比较模型拟合效果的优劣26yi 火 236.64 , 小- 2y 3930得,线性回D3方程y=6.6x-138.6n2yiyi2 i 1236.64的相关指数 R 1 = 1 1 0.0602 0.9398.23930y yi 10.9398 V 0.9522 , 因此，回归方程Q=0.06e0.23°3x比线性回归方程$y=6.6x-138.6拟合效果更好(ii)由(i)得温度 x=35 C时，$y =0.06e必03 x35=0.06 xe8.0605 ,又. e8.0605 3167,1 y=0.06 X3167=190(个)，所以当温度x=35C时，

22、该种药用昆虫的产卵数估计为190个.20.在直角坐标xOy中，已知椭圆E中心在原点，长轴长为8,椭圆E的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心.(1)求椭圆E的标准方程.解析：(1)求得圆心坐标，设椭圆的标准方程，根据椭圆的性质，即可求得椭圆的标准方程答案：(1)由圆的方程 x2+y2-4x+2=0 ,得 C: (x-2) 2+y2=2,则圆心为点C(2, 0),2 y 1(a>b>0), b22 x从而可设椭圆E的方程为一2a其焦距为2c,由题意设2a=8, c=2,所以 a=4, b2=a2-c 2=12,22故椭圆E的方程为1.16 12(2)设P是椭圆E上y轴左

23、侧的一点，过P作两条斜率之积为 1的直线Ii, l2,当直线Ii,2l2都与圆C相切时，求P的坐标.解析：(2)设直线l1, l 2的方程，利用点到直线的距离公式公式及韦达定理即可求得k1k2,与椭圆方程联立，即可求得 P点坐标.答案：(2)设点P的坐标为(x。，y。)，直线l1, l 2的斜率分别为k1,电则 l 1, l 2 的方程分别为 l 1： y-y 0=k1(x-x 0) , 12： y-y 0=k2(x-x 0),由题意知，匕 k2=1 ,由l 1与圆C： (x-2) 2+y2=2相切得2k1y0 k1x0-衣，2、k12 1即(2-x 0) 2-2k 12+2(2-x 0)y

24、0k1+y02-2=0 ,同理可得(2-x 0) 2-2k 22+2(2-x 0)y 0k2+y02-2=0 ,从而 k, k2 是方程(2-x 0) 2-2k 2+2(2-x °)y 0k+y02-2=0 的两个实根，X0于是,Xo2且 k1k2y。2 >02 .16由2_y0_122V。 2T2 X0X02-8x 0-36=0,解得由 X0=-2 得 y0= ±3,故点P的坐标为(-2x0=-2(x 0=18 舍去), 5它们均满足上式，,3)或(-2 , -3).21.已知函数 f(x)=lnx-ax(a C R).若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln2=0

25、 相切，求实数 a的值.解析：(1)根据题意，由函数的解析式求出其导数，设切点横坐标为x°,则有1x0x 1 In 2 In x0,解可得a的值，即可得答案ax0答案：(1)根据题意，由 f(x)=lnx-ax ，得 f' (x)= 1-a , x设切点横坐标为x°,依题意得1x°x0 1 In 2 In x0 ax01解得x02 ,即实数a的值为1.a 1(2)若不等式(x+1)f(x) Wlnx-在定义域内恒成立，求实数 a的取值范围.e In x 1解析：(2)根据题意，原问题可以转化为a ，在定义域内恒成立，令x 1 e x 1In x 1 g x

26、 5二一,(x>0),求出g(x)的导数，利用导数分析g(x)的最大值，据此分x 1 e x 1析即可得答案.答案：(2)由在(x+1)f(x)=(x+1)(Inx-) < Inxe e定义域内恒成立,ln x 1得a 之 一1一 在定义域内恒成立,x 1 e x 1ln xx 11(x >0)，e x 11 1 .一一 In x e x2 ，x 1<0 ，一11再令h x 1 一 一 m*,则卜* e x即 y=h(x)在(0 , +°°)上递减，又 h(e)=0 ,所以当xC(0,e)时，h(x) >0,从而 g' (x)>0

27、, g(x)在 xC (0 , e)递增;当 xC (e , +8)时,h(x) <0,从而 g' (x) <0, g(x)在 xC(e, +8)递减,所以g(x)在x=e处取得最大值g eIn e 1e 1 e e 1所以实数a的取值范围是1, +8).e请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点。处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单c .x 1 t cos位相同.曲线C的方程是2j2sin,直线1的参数方程为(t为4y 2 tsin参数，0W “ v兀)，设P(1 , 2),直线l与曲线C交于A, B

28、两点.当a =0时，求|AB|的长度.解析：(1)把极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可得出答案： 曲线C的方程是22 sin一，化为22,72- sin - cos ,422化为 p 2=2 p sin 0 -2 p cos 0 ,1.x2+y2=2y-2x ,曲线C的方程为(x+1) 2+(y-1) 2=2.当a =0时，直线l : y=2,代入曲线C可得x+1 = ±1.解得x=0或-2. . |AB|=2.(2)求|PA| 2+|PB| 2的取值范围解析：(2)设11, 12为相应参数值t2+(4cos 可得 |PA| 2+|PB| 2=(t 1+t2)2-2t 1t2 即可

29、得出.答案：(2)设11, 12为相应参数值12+(4cos3 < sin 2( a +() < 1,511+t2=-(4cos a +2sin a), 11t2=3.a +2sin a )t+3=0a +2sin a )t+3=0> 0,利用根与系数的关系 > 0, . |PA| 2+|PB| . |PA| 2+|PB|2=(t 1+t2)2-2t 1t2=(4cos a +2sin a ) 2-8=20sin 2( a2 -e (6 ,14.23.已知函数f(x)=|x-a|+ (a 0)2a(1)若不等式f(x)-f(x+m) W1恒成立，求实数 m的最大值.解析

30、：(1)若不等式f(x)-f(x+m) 实数m的最大值.<1恒成立，利用f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|答案:(1) . f(x)=|x-a|+1一, 2a. f(x+m)=|x+m-a|+12af(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|w |m| ,实数m的最大值为1.(2)当a<工时，函数 g(x)=f(x)+|2x-1|2有零点,求实数 a的取值范围.(2)g(x)=f(x)+|2x-1|占八、2a2x min2a2a10V av 22a2a< 02a2即可求实数a的取值范围.(2)2x2x 12a2a23x2a11,x< a3x2a11

31、,2a1,1 x> 2 gmin g2a2a10< a< a< 02 或 222a2a a 1 01一 一£ av 0,20).实数a的取值范围是-, 2考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高 考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要 掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。因为一 题试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上 时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才 能获得一个优异的成绩。在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超 常发挥，考个好

32、成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。有 的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试 准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要 调整的重点读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多 人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高 考试成绩。一是学会合理定位考试成绩你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握 和熟练程度。像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没 有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中 等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。因此，在考试