导数综合练习题压轴(含详细答案)精华

1、精品文档导数练习题16欢迎下载3.1.(本题满分12分)已知函数f(x)=ax3 +bx2 +(c3a 2b)x+d的图象如图所示.(I)求c, d的值；(II )若函数f (x)在x =2处的切线方程为 3x + y 11 =0 ,求函数f (x)的 解析式；1 一(III )在(II )的条件下，函数 y = f (x)与y =_ f (x) +5x +m的图象有3三个不同的交点，求 m的取值范围.(本小题满分14分)已知函数f (x) = x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点， 且在x= 1处取得极大值.(I )求实数a的取值范围；(2a 3)2(II )右万程f(x) = 恰好有两

2、个不同的根，求 f(x)的解析式；9(III )对于(II )中的函数 f(x),对任意 口、P w R ,求证：|f (2sino()f(2sinp)悍 81 .4.(本小题满分12分)已知常数a>0 , e为自然对数的底数，函数 f(x) = ex-x, g(x)=x2-alnx(I )写出f(x)的单调递增区间，并证明ea a a ；(II )讨论函数y = g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.2.(本小题满分12分)已知函数 f (x) = aln xax3(a w R).(I)求函数f(x)的单调区间；(II )函数f(x)的图象的在x = 4处切线的斜率为 -,若函数g(

3、x)=1x3+x2f'(x) + m在区间232(1, 3)上不是单调函数，求m的取值范围.5.(本小题满分14分)已知函数 f(x)=ln(x1)k(x1)+1 .(I)当k=1时，求函数f(x)的最大值；(II )若函数f(x)没有零点，求实数 k的取值范围;7 .(本小题满分14分)已知函数 f (x) = x2 - 4x (2 _ a) In x,(a R, a = 0)(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；(II )求函数f (x)在区间e,e2上的最小值.6.(本小题满分12分)已知x=2是函数f (x) =(x2+ax - 2a3)ex的一个极值点(e=2.718

4、).(I)求实数a的值；3 (II )求函数f (x)在x W ,3的最大值和最小值.28 .(本小题满分12分)已知函数f (x)= x(x 6)+aln x在xW(2,")上不具有 单调性.(I )求实数a的取值范围；2(II )右f (x)是f(x)的导函数，设g(x) = f (x) + 6-,试证明：对任意两个不相等正数 Xi、x2, x不等式1g(x1)-g(x2)1w1x1-x21 恒成立.(II )若 aw(1, e (e= 2.71828| )设 F(x)= f(x)- g(x),求证：当 xx?w 1,a时，不等式 I F(Xi) F(X2)<1 成立.9.

5、(本小题满分12分)1 2已知函数 f (x) = x -ax (a -1) ln x, a 1.2(I)讨论函数f(x)的单调性；(II )证明：若 a <5,则对任意 x，x2 w (0,收),x1手 x2,有“x"(x2) > -1.x - x211.(本小题满分12分)设曲线 C ： f(x)=lnxex ( e= 2.71828)，f'(x)表示 f (x)导函数.(I )求函数f (x)的极值；(II )对于曲线C上的不同两点 A(x1,y1) , B(x2,y2) , x1 < x2 ,求证：存在唯一的 x/(x1,x2), 使直线AB的斜率等

6、于f'(xo).10.(本小题满分14分)1 2已知函数 f (x) =- x +alnx, g(x)=(a+1)x ,a#1.2(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；12.(本小题满分14分)定义 F(x, y) =(1 +x)y,x, y w (0,代)，(I)令函数f (x) =F(3,log2(2xx2 +4),写出函数f(x)的定义域;(II)令函数g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线 C在X0(HmX0父1)处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围；(III )当

7、x,yw N *且*<丫 时，求证 F (x, y) >F (y,x).2322(III ) f(x) = 3x 12x + 9 .可转化为：x - 6x +9x+3=(x - 4x+3)+5x+m有二个不等头根，即：g(x)= x3 7x2十8xm与x轴有三个交点；._2_g'(x)=3x -14x + 8 = (3x-21j(x-4),xQ©I , 323区4；13 J4(4,+如)g'(x)+0-0+g(x)增极大值减极小值增(10 分)g/2)=竺 .m, g(4)=_16.m.327当且仅当g -26827 m>0且g(4)=16m<

8、 0时，有三个交点,、一68 一故而，一 16 < m < 一 为所求.272.(本小题满分12分)已知函数 f (x) = aln x ax3(aw R).(I)求函数f(x)的单调区间；(12 分)导数练习题(B)答案1.(本题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx2 +(c-3a -2b)x+d的图象如图所示.(I)求c, d的值；(II )若函数f (x)在x =2处的切线方程为3x+y 11 =0 ,求函数f(x)的 解析式；1(III )在(II )的条件下，函数 y = f (x)与y =- f (x) +5x +m的图象有 3三个不同的交点，求 m的取值范围.解

9、：函数 f (x)的导函数为f'(x) =3ax2 +2bx+c3a -2b(I)由图可知 函数f(x)的图象过点(0, 3),且f (1)=0(2分)/日 d =33a 2b c -3a -2b =0d = 3=c=0(4分)3 . 一(II )函数f(x)的图象的在x=4处切线的斜率为 £,若函数2(1, 3)上不是单调函数，求m的取值范围.解：(I) f'(x)= a(1-X)(x> 0)x当a A 0时，f (x)的单调增区间为(0,1】,减区间为k,y )当a< 01 f (x)的单调增区间为1,"),减区间为(0,1】当a=1时，f

10、(x)不是单调函数3a3(II ) f'(4) = 得a=2, f(x)=2lnx+2x34213m 22g (x) = - x( 2)x - 2x, g'(x) = x (m 4)x - 2丫 g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g'(0) = -2g'(1) : 0,g'(3) 0.m ： - 3,(8 分)J. 119 (10 分)m I,z 、1g(x) = -x3(2分)(5分)(6分)19-,-3)32m_ . 一、x f'(x) + 在区间(12 分)(II )依题意 f'(2)=3 且 f(2)=512a 4b -3

11、a 2b =-3 J8a 4b -6a -4b 3 =5解得 a=1,b=-6 所以 f (x) =x36x2 + 9x + 3(8分)3.(本小题满分14分)已知函数f (x) = x3 , ax2 bx - c的图象经过坐标原点，且在 (I )求实数a的取值范围；(II )若方程f (x)=(2a 3)2恰好有两个不同的根，求x= 1处取得极大值.f (x)的解析式;2aa, , e2a 2 2a e .2二(eaa)(ea - a) . 0(8分)(10 分)(III )对于(II )中的函数 f(x),对任意 a、PWR,求证：| f(2sino() f(2sinP)区81 . 解：(

12、I) f (0) =03 c =0, fx) =3x2+2ax + b, f'(1) =03 b = 2a3,f (x) =3x2 2ax -(2a 3) =(x -1)(3x 2a 3),.2a 3 一 . 由f (x) =0= *=1或* =-,因为当x =1时取信极大值，32a 3所以一刍一Hna斗，所以a的取值范围是:(-00,-3)；3(4分)(II )由下表:xS1)12a 43(1,3 )2a +33/ 2a+3,q(，33f '(x)+0-0-f(x)递增极大值_a _2递减极小值a 462-276(2a 柏)2递增2依题意得：_6(2a +3)2 = (2a

13、3),解得：a = 9 279所以函数f (x)的解析式是：f(x) =x3 -9x2 +15x(10 分)(III )对任意的实数0(,都有2325m0(32,2£25冶£2,在区间-2 , 2有：f (-2) =83630 =74, f (1) =7, f (2) =836+30 = 2f(x)的最大值是 f (1) =7, f (x)的最小值是 f (-2) =-8-36 -30 = -74函数f(x)在区间-2,2上的最大值与最小值的差等于81,所以 | f(2sina) f(2sin P)|<81 .(14 分)4.(本小题满分12分)已知常数a >0

14、 , e为自然对数的底数，函数f(x)=ex -x , g(x) =x2 alnx.(I)写出f(x)的单调递增区间，并证明ea >a；(II )讨论函数y=g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.解：(I) f (x) =ex 120,得f (x)的单调递增区间是(0,也)， (2分)11 a >0 , f(a)> f (0) =1, 1- ea >a +1 >a ,即 ea >a . (4 分)2a 2a2(x+J)(x-匚)5(II ) g (x) =2x 亘=22-,由 g (x) = 0,得 x=三工,列表xx2x岳(0, 丁) 2扃2(2产) 2

15、g'(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增、“ 2a , 一一八 2a aa 当x =时，函数 y = g(x)取极小值 g()=-(1-ln-),无极大值.2222(6分)- 2a a e . e 由(I) ea >a , a , a - 2g= 1A0, g(ea) = e2a - a2(i)当出 w1,即0<aE2时，函数y=g(x)在区间(1,ea)不存在零点 2(ii )当上a >1 ,即a>2时2,aa若£(1_皿,)>0,即2<a<2e时，函数y=g(x)在区间(1,ea)不存在零点 224 aa右一(1 ln )

16、= 0,即a = 2e时，函数y= g(x)在区间(1,e)存在一个零点x=e； 22若与(1一 lna) < 0 ,即a>2e时，函数y=g(x)在区间(1,ea)存在两个零点； 22a综上所述，y=g(x)在(1,e )上，我们有结论：当0<a<2e时，函数f(x)无零点；当a = 2e时，函数f(x)有一个零点；当a2e时，函数f(x)有两个零点. (12分)5 .(本小题满分14分)已知函数 f(x) = ln(x-1)-k(x-1)+1 .(I)当k = 1时，求函数f(x)的最大值；(II )若函数f(x)没有零点，求实数 k的取值范围；2fx解：(I)当

17、k=1 时，f<x)=_x-1f(x)定义域为(1, +°0),令 f'(x)=0，得 x = 2 , (2 分)当 xW(1,2)由 f,(x)>0,当 xE(2,)时，f,(x)<0,，f(x)在(1,2)内是增函数， 在(2,依)上是减函数，当x = 2时，f(x)取最大值f(2) = 0 (4分)(II )当k£0时，函数y= ln(x1)图象与函数y= k(x1)-1图象有公共点，函数f(x)有零点，不合要求； (8分)11 k - k k(x - )当 k>0时，f'(x)=-k =L (6分)x-1x-1xTk 1k 1

18、 ,.1一，.令 f (x) = 0,得* = , . x (1,)时，f (x)> 0, x= (1+-,8)时，f (x)< 0 ,kkk1 1,_ ，f (x)在(1,什一)内是增函数，在1+,收)上是减函数，kk1 . f (x)的取大值是 f(1+) = lnk, k:函数 f (x)没有零点，-ln k <0 , k> 1 ,因此，若函数f(x)没有零点，则实数 k的取值范围kw (1,收).6.(本小题满分12分)已知x=2是函数f (x) =(x2+ax - 2a3)ex的一个极值点(e=2.718).(I)求实数a的值； 3(II )求函数f (x)在

19、x可一,3的最大值和最小值. 2解：(I)由 f (x) =(x2+ax -2a_3)ex可得f '(x) =(2x +a)ex +(x2 +ax -2a _3)ex =x2 +(2 +a)x a -3ex (4 分) x=2是函数f (x)的一个极值点，f'(2) =01 (a +5)e2 =0 ,解得 a = -5 (6 分)(II )由 f (x) =(x 2)(x1)ex >0,得 f(x)在(q,1)递增，在(2,f)递增，由f (x) <0 ,得f (x)在在(1,2)递减 23. f(2)=e 是 f (x)在 xw2,3的最小值；37 333 af(

20、2)=4e2 , f(3)=e f (3) -f(-)=e3331 f(x)在x可一,3的最大值是f(3)=e3. 27 .(本小题满分14分)已知函数 f (x) = x2 4x (2 a) ln x,(a R, a = 0)(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；(II )求函数f (x)在区间e,e2上的最小值.角军：(I) f (x) = x2 -4x -16ln x ,(8分)-7e34e，4eje7)>0, f(3)f 412分)f'(x)=2x-4-米= 2(x+2)(x-4)2 分xx由 f'(x) >0 得(x +2)(x -4) >0

21、 ,解得 x >4 或 x <2注意到x a0,所以函数f (x)的单调递增区间是(4, +8)由 f'(x) <0 得(x +2)(x -4) <0 ,解得-2 v x<4,注意到x>0,所以函数f (x)的单调递减区间是(0,4.综上所述，函数 f(x)的单调增区间是(4, +8),单调减区间是(0,46分(n )在 x w e,e2 时，f (x) = x2 4x 十(2 a)ln x22 - a 2x -4x 2 - a所以 f'(x)=2x4+=,xx设 g(x) =2x2 -4x 2 -a当 a<0时，有=16+4X2(2a

22、) =8a <0 ,此时g(x)A0,所以f'(x) >0, f (x)在e,e2上单调递增，所以 f (x)min = f(e) =e2 -4e+2 -a8分当 a>0 时，4 = 16-4父2(2a) =8a a 0,; /2a2 a令 f'(x) >0 ,即 2x2 4x+2a A0,解得 x>1 +或 x<1；22令 f' (x) < 0 ,即 2x2 -4x + 2- a<0,解得 1 a < x< 1 + -a .22若1 + ±2a*2 ,即ag(e2 1)2时，f (x)在区间e,e2

23、单调递减，所以 f(x)min = f(e2) = e4-4e2 + 4-2a.I.2a ooo o右 e< 1 + < e ,即 2(e- 1) < a < 2(e 一1)时间， / f2a2a2一f (x)在区间e,1+ 上单调递减，在区间1 + ,e 上单调递增， 22"2a a 12a所以 f (x)min = f (1 ) = - - . 2a - 3 (2- a)ln(1 ).2aoo若1 + 一厂 we,即0< a(e1)2时，f (x)在区间e,e2单调递增，所以 f (x)min = f (e) = e2 - 4e 2 - a综上所述，

24、当 a 或(e2 1)2 时，f (x) min = a4 - 4e2 + 4 - 2a ; f当 2(e-1)2 < a< 2(e2 1)2 时，f (x%. = -2a-3+ (2 - a) ln(1+ a )；22当 aw2(e 1)2 时，f(x)min = e2 4e+2a14 分8 .(本小题满分12分)已知函数f (x)= x(x-6)+ aln x在xW(2,")上不具有 单调性.(I )求实数a的取值范围；2(II )右f (x)是f(x)的导函数，设g(x) = f (x) + 6 -2 ,试证明：对任意两个不相等正数 Xi、x2, x不等式1gg臼助

25、嚼 2|恒成立.解：(I) f'(x) = 2x 6+2x 6x + a (2 分)x x f(x)在xW (2, F)上中耳有单调性，在xW (2,y)上f'(x)有正也有负也有 0,即二次函数y = 2x26x + a在xW(2,*)上有零点 (4分)._ 232_ _- y = 2x 6x + a是对称轴是x =一,开口向上的抛物线， y = 2 2 -6 2+ a<02的实数a的取值范围(*,4) (6分)a 2(II )由(I) g(x)=2x + 二, x x2a2方法 1: g(x)=f(x)-2+6 = 2x+- -2 (x > 0), xx x-

26、3,a 4c 442x - 4x4八. a<4，g (x) = 2-+>2-=3， (8分)x x x x x、几4设 h(x) =2 x4.8 i2 4(2x -3)F , h (x) =- - =4XXX Xh(x)在(0,3)是减函数，在(3 ")增函数，当x=3时，h(x)取最小值竺22227从而 g(x) >38,(g(x)38x)、0 ,函数 y =g(x) 38x是增函数，27272738, 、 38Xi、X2是两个不相等正数，不妨设Xi <X2 ,则g(X2) -2yX2 >g(Xi) -27Xi38g(xi) -g(x2) 38一g (

27、X2) g (xi) >(X2 Xi), X2 Xi >0, ->27Xi -X227. g(Xi) g(X2)X1 - x23838.27 ,即 |g(x) -g(X2)| 27|Xi -X21(12 分)方法 2：M(Xi,g(Xi)、N(X2,g(X2)是曲线y = g(x)上任意两相异点,g(Xi) -g(X2)2(Xi X2)aX1 - X22 2XiX22(XiX2)a2 2 一Xi x2xix2XiX2_4_(.XiX2)3Xi +X2 >2XiX2 , a <42XiX2(XiX2)3XiX2(8分)设 t=-j,t >0,令 kMN =u(

28、t)=2+4t34t2 , u'(t) =4t(3t 2), XiX2(i,Z)单调增加.(iii )若a i > i,即a >2,同理可得f (x)在(i,a i)单调减少，在(0,i),(ai) 单调增加.i 2(II )考虑函数 g(x)= f(x) + x =x ax+(ai)ln x+x.2a - i a - i由 g'(x) = x-(a-i) 2 x (a - i) = i- G. a - i -i).x . x由于a< a5,故g'(x)A0,即g(x)在(0,z)单调增加，从而当x1 > X2 > 0时有g(xi) g(X

29、2)a 0,即 f(xi) f(X2)+ Xi X2 > 0,故 f(Xi)-f(X2)f(xi)- f(x2)f(X2)- f(Xi)败> -1 , 4 0Mxi < X2 时，有=> -1xi - x2xi - x2x2 - xi10.(本小题满分14分)1 2已知函数 f(x) = x + aln x, g(x) = (a + i)x ,a#i.2(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a的取值范围;(II )若 aw(i, e (e= 2.71828| ),设 F(x)= f(x)- g(x),求证：当 xx?w i

30、,a时，不等式 | F(xi) F(X2)K1 成立.2 . 一 2由 u (t) >0,得 t A ,由 u'(t) <0得 0<t <一, 33-2 _ ,_2、，u(t)在(0,一)上是减函数，在(一，收)上是增函数，33,.23838/. u(t)在t= 一处取极小值 ，二u(t)之一，所以32727即|g(x，-g(x2)| 38|Xi -X2I9.(本小题满分i2分)一 一 一i 2，八.已知函数 f (x)=万 x - ax (a - i) In x,a i.(I)讨论函数f(x)的单调性；g(xj -g(4)xi -X238> 27(12

31、分)a斛：(I) f(x) = x+-, g(x) = a+i,x函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，2一一 . (a，i)(x ，a)当 xW1,3时，f'(x) ,g'x)=(a 1)(X一巴之 0 恒成立， x即(a +i)(x2 + a)之0恒成立，.a> -1 , _ a< -1 , _«2在xw 1,3时恒成立，或22在x=1,3时恒成立，a ； ： ra - -x''' _9WxWi, ''' ai或 a _ 9(II ) F(x)=1 x2 + aln x,(

32、a +i)x , F*(x) = x+- -(a + 1)=-(X-a)(1)2xx F(x)定义域是(0,y),a (1, e,即 a> 1F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a, y )是增函数(2分)(4分)(6分)(II )证明：若 a <5,则对任意 Xi,X2 w (0, ),Xi #X2,有 f(Xi) - f(X2)A -i.1，当 x=1 时，F(x)取极大值 M=F(i)=a，a - i(i) f(x)的定义域为(0, = ), f'(x) =x-a+- = xXi -X22X - aX a - i (x -1)(x i - a)2

33、1 O当 x=a 时，F(x)取极小值 m = F(a) = a In a-a a, (8 分) x1,x2 = i,a, . | F(xi) - F(x2)p| M -mh M - m (10分)(x -i)2(i )若a i =i,即a =2,则f'(x)-.故f (x)在(0,依)单调增加.x(ii )若 a i <i,而a >i,故i ca <2,则当 xw (a i,i)时，f'(x) < 0.当 xE(0,a i)及 xji,)时，f'(x) >0,故 f(x)在(ai,i)单调减少，在(0, a-i),、一1 2.1一一 .设

34、 G(a)=Mm=la aIna ，则 G(a)=alna-i, 221G (a) =1 , a (1, e , G (a) >0 aG(a) =aIna1 在 aw(1, e是增函数，/. G'(a) >G'(1) = 01 2.1 - G(a) =-a -aIn a -万在 aw(1,e也是增函数，函数g(x) = -x2-x1 - In-x2在(xe)内有唯一零点 x0,命题成立(12 分)(12 分)G(a)<G(e),即 G(a) Je222. e=3(方法 2) . fF(x0)=kAB,1 (e-1)-1,为1,- -e =x0In x2 1nx

35、i e(x2 x1)X2 - X1一1=1 , G(a) = M -m<1当 XEma时，不等式 | F(x1)-F(x2)|<1 成立.11.(本小题满分12分)(14 分)设曲线 C ： f (x) =ln x ex ( e = 2.71828 ), f'(x)表示 f (x)导函数.(I)求函数f (x)的极值；(II )对于曲线 C上的不同两点 A(x1,y1), B(x2,y2), x <发，求证：存在唯一的 x0W(x1,x2), 使直线AB的斜率等于f'(x0).1解：(I ) f (x) =-e = x1 -exx(0,1) e1e1(一*)

36、ef '(x)十°一f(x)一单调递增极大值单调递减一(4分)当x变化时，f '(x)与f (x)变化情况如下表:当x =1时，f(x)取得极大值f (1) = -2 ,没有极小值；即 x° ln x2 x° ln x + x 一 x2 0, x° w (x1，x2),且 x 唯设 g(x) = xln x2 _ xln x + x _ x2,则 g(x1) = x1 In x2 _ x11nxi + x1 _ x2, 再设 h(x) = x In x2 xln x + xx2, 0cx<x2, ，h'(x)= In x2

37、In x> 0 1- h(x) = xln x2 -x In x+ x- x2在 0< x< x2 是增函数g(x1)= h(x)< h(x2)= 0 ,同理 g(x2)> 0方程 xIn x2 - xIn x1 + x1 - x2 = 0 在 x0 w (x1 ,x2)有解一次函数在(x1,x2) g(x) = (In x2 一 In x1)x+ x 一 x2 是增函数方程 xIn x2 - xIn x1 + x1 - x2 = 0 在 x0 w (x1,x2)有唯一解，命题成立 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C不存在拐点，不给分.12.(本小题满分14

38、分)定义 F(x,y) = (1 + x)y,x,y三(0,依)，(I)令函数f(x) = F(3,Iog2(2xx2+4),写出函数f (x)的定义域；(10 分)(12 分)(II )(方法 1)f (x0) =kAB , .e1一 -e = x。ln x2 -ln x1 -e(x2 一 为).上二上-lnx2xo即 x0 In 迤一(x2 为)=0,设 g(x) = xIn ” x1x1x2/. x2g(x1) =x In (x2 x), g(x1)x =In Xx1-(x2 -x1)-1 >0 , g(x1)是x1的增函数,x2- x1 <x2, . g(x)<g(x2) =x2In (x2 x2) =0 ；X2，、,*2,、,、g(x2) =x?In (x2 x1)，g(x2) x1x =此逐一1>0, g(x2)是x2的增函数,2 Xx1x1 <x2, . g(x2) Ag(x)=x In 一(x 一x)= 0 , x1，函数 g(x) =xIn * (x2 x1)在(x