导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

1、导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数y f(x)在x xo处附近有定义，当自变量在x xo处有增量 x时，则函数yy f(x)相应地有增量y f (xox) f(x0),如果 x 0时，y与 x的比x(也叫函数的平均变化率)有极限即一y无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函x数yf(x)在xxo处的导数，记作 丫*，即£(%) lim f(xx-f0)x 0x在定义式中，设 x xo x,则 x x xo,当 x趋近于0时，x趋近于xo ,因 此，导数的定义式可写成f (xox)f (xo).f (x)f (xo)f (xo)lim lim.x 0xx xo xxo2 .求函

2、数y f(x)的导数的一般步骤：1求函数的改变量y f (x x) f (x)2求平均变化率 工 上一刈一出 ；3取极限，得导数 y f (x) lim xxx o x3 .导数的几何意义：导数f (xo) lim f(xx-f(3是函数y f (x)在点xo处的瞬时变化率，它 x o反映的函数y f (x)在点xo处变化的快慢程度它的几何意义是曲线y f(x)上点(xo, f (xo)处的切线的斜率 .因此，如果y f (x)在点xo可导，则曲线y f (x)在点(xo, f (xo)处的切线方程为 y f (xo)f (xo)(x xo)4 .导函数(导数)：如果函数yf(x)在开区间(a

3、,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b),都对应着一个确定的导数f (x),从而构成了一个新的函数f (x),称这个函数f (x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y ,即f (x) = y=limox) f(x)xf (x)在开区间(a,b)(x (a,b)函数yf (x)在xo处的导数y x就是函数y上导数f (x)在xo处的函数值，即y x xo = f (%).所以函数y f (x)在x0处的导数也记作f (x0) .1 .用导数的定义求下列函数的导数：12 c.4y f(x) x ； 2 y f(x) x2.1已知lim x 0f(xo 2Ax)

4、 f(xo)1,求 f (Xo)2 若 f (3)2,则则f(3) f(1 2x)x 1二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则:（1）公式C'0,（C是常数）（cosx）' sin x（ax）' ax ln a(log ax)(tan x)（2）法则:f(x)g(x)1xln a12cos xf(x) g(x)_ ，f (x)g(x)(sin x) cosx(xn)'nxn 1(ex)'ex、，1(ln x) 一 x八 ,，、1(cot x) 丁sin xf(x)g(x),g (x)f (x)_ _ » » _f (x), f (

5、x)g(x) g(x)f(x)g(x)g2(x)2,复合函数的求导法则：复合函数y f (g(x)的导数和函数y f (u) , u g(x)的导数间的关系为yx' yu'ux'.题型1,导数的四则计算1,求下列函数的导数：x, x- e 11y e In x2 y ex 1sin x1 cosx24 y x 1 sin x x cosx5x x exy 3 e 2 e6 y3x3 4x 2x 12,求导数(1) yx3 x2 4sin x(3) y 3cosx 4sin x(4) y 2x 3(5) y In x 2三，复合函数的导数链式法则若 y= f (u), u

6、= (x) y= f (x),则yx=f(u)(x)若 y= f (u), u= (v), v= (x) y= f ( (x),则yx= f (u) (v) (x)说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的， 且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。11,函数y 4的导数.(1 3x)2,求y 51二的导数.1 x3,求下列函数的导数4,求下列函数的导数(2) y=ln (x+ 11 x2 )(1) y= J12x cos x5 ,设 y ln(x Jx1)求 y跟踪练习：求下函数的导数.6, (1) y cos-(2) y v2x137,尸(5x 3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2 x2)3(4)y=(2x3+x)218,(1) y=23(2x1)(2)y=sin(3 x) (4)6y=cos(1+ x2)2、39, y (2 x )