必修一数学培优辅导教材第5讲：函数的概念

1、函数的概念考点：函数的定义例1：判断以下是否是函数：(l)y = 42 一5 ； (2)y = ±v ； (3)y = Jx_3 + 2-X ； (4),2 + y2 = 9 练1：函数y = /()的图象与直线 = l的公共点数目是()A. IB O C. O 或1 D. 1 或2练2:如下图(1)(2) (3) (4)四个图象各表示两个变量x,y的对应关系，其中表示y是X的函数关系的练3: M=xlO2,2V = ylOy3给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的 函数关系的有()A、0个B、 1个 C、2个D、3个考点：映射的概念例1:以下给出的对应是不是从集合A到集合B

2、的映射？集合A = PP是数轴上的点,集合B = R9对应关系/：数轴上的点与它所代表的实数对应;集合A = PP是平面直角坐标系中的点,集合B = (Xyy)xeR.yeR.对应关系/：平面直角坐标 系中的点与它的坐标对应；集合A = xx是三角形,集合B = (A-IA-是圆,对应关系/：每一个三角形都对应它的内切圆；集合A = xx是华星中学的班级,集合B = xx是华星中学的学生,对应关系_/：每一个班级都对应 班里的学生.练1:下列对应中有几个是映射？练2：设f'.AB是集合A到B的映射，下列说法正确的是(). A中每一个元素在B中必有象B、B中每一个元素在A中必有原象C、B

3、中每一个元素在A中的原象是唯一的 D、B是A中所在元素的象的集合练3:已知集合A = xOH, B = yO<y2,下列从A到B的对应/不是映射的是()2C f.y = J 3练 4：已知集合 A = 123,k.B = 4,7,+3",且 UeNxeA9yeB 使 3 中元素 y = 3x + l 和 A 中的元素X对应,则",k的值分别为（）A. 2,3 B. 3,4 C 3,5 D 2,5,从B到A的映射个数例2：集合A=3, 4, B=5, 6, 7,那么可建立从A到B的映射个数是是练1：若集合A = -I.OJ, B = -2, - l,dl,2 , f :

4、 -*B表示A到B的一个映射，且满足对任意x5 有x÷/(A)为偶数，则这样的映射有个.设 f.B 是从集合A到 B 的映射，A = B = (x, y)A-R. yR , f .(x,y) (kx,y+h) t 若 B 中元素 (6, 2)在映射f下的原象是(3, 1),则k, b的值分别为例3:设f、g都是由A到八的映射，其对应法则如下表(从上到下)：映射f的对应法则是表1则与/g(l)相同的是()A. g(Dl; B. g(2); C. g(3); D. g练1:已知函数/(X) , g()分别由下表给出X123/(X)131X1238 W321则/g(i)的值为；满足JgW&

5、gt;gfM的X的值是练2：为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文T密文(加密)，接收方由密文T明文(解密), 已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a + 2b,2b+cy2c+3dy4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为(). 7,6,1,4 ； B. 4,6丄 7 ； C. 6,4丄7 ； D.匕6,4,7JV + H 9练3:已知M = N = 5,6,7,&9,规定M到N的一个映射为f(x) = c,如果/(«) = 6,求a；如果 (b) = 6,求b；(3)如果 ff.f(c

6、)=69 求c考点：函数的定义域例1：求下列函数的定义域(I) f(x)=-! ;(2) f(x) = 3÷2 J (3) x) = 7+T + -! X-22-X练1：求下列函数的定义域：（1） y =练2：函数y = -r-的自变量X的取值范围是()yJX 一 1. x>0 B. > 1 C XHo D XMO 且 1练3：函数y = JX(X-1) +五的定义域是(). Ix0 B. xx CxI10 DI01练4：求下列函数的定义域(1)y = E+E; <2)V = 2ZLhEZ.A-I(3) V =!-： f(x) = x2-5x + 6 + c'

7、;11 _1厶+ Ld练5：已知已知函数f (x) = W 的定义域是R,则实数3的取值范围是(GJ - + OT _ 3. a>l B. -12<a0C. -12<a<0D. al33考点：抽象函数的定义域例IS若y = f( + 2)的定义域是(1,3,求yf(x)的定义域.练1：已知函数心)的定义域是S 叽 求函数F(X) =/(3x-l) + f(3x + l)的定义域.练2： (1)函数/(x)的定义域为(OJ),求函数f(x2)的定义域;(2)已知函数/(2a + 1)的定义域为(OJ).求/(X)的定义域； 已知函数f(x+l)的定义域为-2,3 求/(2

8、-2)的定义域.考点：函数的值域(常用)一、用非负数的性质例 1：求下列函数的值域：(1) y=-3j+2; (2) y5+2Jx + 1 (XMT)练：函数/(x) = +x-l的最小值是练2：求函数y = ÷7÷T的值域二. 分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域.例1：求下列函数的值域：(I) y=-(2) y=Xx + 1xl2 L + 32J + 4 v +1练1：求下列函数的值域：(1)y =二二(2)=j +1对 + 2x + 3三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法. 例1:求函数y=3

9、x÷x2的值域.2练1：求函数y = x2 - + 1 (x>0)的值域X练2：求函数y = 3x-Jl-2x的值域.四. 利用判别式特殊地，对于可以化为关于X的二次方程a(y)x2+b(y)x÷c(y)= O的函数y=f(x),可利用Ot(y)O.求出y的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的血 例1：求函数y =丄的最值.Jr +4练1：利用判别式方法求函数=37 + 3的值域. -x + l五. 利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外.例1:若y =.一x-6,求y的最大、最小值.练1:求函数y = -4 + 3的值

10、域练2：求函数y = xr+l + yx2 -6x + 18的值域.六. 利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑 例1:求函数y=2x-5+J15-4的值域.练1：求函数y = 3x-Jl二云的值域.七. 利用已知函数的有界性.例A求函数尸左磊的值域A.求值域综合性题目例1：求下列函数的值域:)+4-x52x2-4 + 3(3) y = 1 2 一 X .练1：求下列函数的值域:(1) y = -X2 + 4x-2 (1 x4) ； (2) y = “' Jr + X 6练2:求下列函数的值域(l)y = x +丄；(2)y = x + +

11、3 练3:求下列函数的值域：(I) y = 4-3÷2x-x2 Jx2-x + y =2x2-2x + 3(2) y = X + 1 -2x ；(4) y = /-3 + 丁5_1 ；练4：求下列函数的值域：(1) y = 3x2-x + 2; (2) y = -6x-5 ； (3) V = x-2(4) y = x + 4jl -兀；(5) y = X + Jl AJ ； (6) y =Ix-ll + lx + 4l J(7) y = -;(8) y =(>-);X* +x + l2x-l2考点：应用值域去未知系数取值范围IX-I(A> 0),例1:若f(a) >

12、 U ,则实数。的取值范围是.2(X < 0).练1：函数mr匕一(°3)的值域是()x' + 6x(-2 <x0)A. R B一9.+oc) C一&1D一9,1 练2:已知函数y = (x) = +tx + 3在区间一 1, 1上的最小值为一3,求实数的值.练3:已知函数f(x)=2 ÷mx - 4在区间(2, 4)上的两个端点取得最大的最小值。(1) 求m的取值范围；(2) 试写出最大值Y为m的函数关糸式；(3) 最大值Y是否存在最小值?若有，请求出来；若无，请说明理由。练4:若一系列函数的解析式相同.值域相同但其定义域不同则称这些函数为“同

13、族函数”，那么函数解析式为V = A-2,值域为1,4的“同族函数"共有个.练 5:已知函数 f (x) = ax2 +bx + c , /(O) = O,(x + l)=(x) + x+l 试求函数*(x)的值域例2：函数U) = -2)+2-2)-4的定义域为心 值域为(TO.0,则满足条件的实数组成的集合是.75 练A若函数y = 2-3x-4的定义域为Om,值域为1-4,则加的取值范围是()4. (0,4 B亍 4 C. -3 D.才+ oc) 练2:设函数y = ax + 2a + ,当一 lxSl时，y的值有正有负，则实数的范围练3:对于任意实数v,函数/() = (5

14、- a)x2 - 6x + a + 5恒为正值.求。的取值范围.练4:记二次函数f (x)-x2 -4nx+l在-1,3的最大值为g(m),写出g(m)的函数表达式,并求出g("的最小值考点：相等函数例1:试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1) f (x) = , g (x)=疔;0.A < 0；(3) f (x)g (x)=("歩)X (nh);(2) f (x)(4) f (x) =>x x + l t g (x) = yx2 + X ;(5) f (x) =XJ2-1, g (t) =tJ2t 1练2：判断下列各组中的两个函数是同一函数的为(i)y严(

15、x + 3)(-5)x + 3 y1 = + 1 - > y2 = x+)(xT)； f(x) = x 9 g(x) = xr ； f (x) =- F 9 F() = Xyjx-1 ； (5)/(x) = (2-5)2 t ,(x) = 2-5.课后作业1：如图所示，能表示“y是X的函数”的是2：已知A = al,a2,a39 B = Z , bj ,则从A到3的不同映射共有()A. 8个B. 6个C 4个D1个3：函数y = 的定义域是Jr _ 44：函数y = =的定义域是 严5：求函数f() = 4的定义域是卜+ 1|6：已知函数y = f( + )定义域是-2,3,求y = (2x-l)的定义域.7：已知函数f(x)定义域为(0, 2),求/(x2 ) + 23的定义域:8：求函数y = Jx' +4兀+ 6的值域.V + 3L + 39：求下列函数的值域：尸右尸尹210：求函数y = x3 一一 + 1 (x>O)的值域.X11：求函数y = Jj+2x + 2 + JF -4x + 8的值域12：求函数y = 3x- JI-X的值域.y = -x2 +x + 2.3r + ?求下列函数的定义域与值域：尸亍；14：求下列函数的值域 y =(2) y = -2x-l ,x-l,3;A + 1(3) y = -2x'-3x