[理学]第3章动量定理ppt课件

1、重大数理学院赵承均 动量动量单位：千克单位：千克米米/秒秒, kgm/s一、动量定理momentum质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。pmv由由NewtonNewton第二定律，得：第二定律，得：dtvmddtvdmamF)(dtpdF这就是动量定理。这就是动量定理。 在经典力学范围内，在经典力学范围内，m=constantm=constant，动量定理与，动量定理与F=maF=ma等价，但在高速等价，但在高速运动情况下，只需动量定理成立。运动情况下，只需动量定理成立。即：即：momentum theorem重大

2、数理学院赵承均 由动量定理，有：由动量定理，有：)(vmddtF1221vmvmdtFtt二、冲量定理元冲量元冲量dIFdt0ttIFdt 冲量冲量冲量冲量impulse作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。单位：牛顿秒单位：牛顿秒, Ns冲量是矢量，其方向为合外力的方向。冲量是矢量，其方向为合外力的方向。冲量定理：冲量定理：Ip 即：合外力的冲量等于质点的动量增量。即：合外力的冲量等于质点的动量增量。impulse theorem重大数理学院赵承均 在冲击过程中，力普通是时间的函数。冲击过程中任一时辰质点所受在冲击过程中，

3、力普通是时间的函数。冲击过程中任一时辰质点所受的合力称为此时辰质点上的冲力。的合力称为此时辰质点上的冲力。平均冲力与同段时间内变力等效。平均冲力与同段时间内变力等效。冲力冲力当变化较快时，力的瞬时值很当变化较快时，力的瞬时值很难确定，用一平均力替代该过难确定，用一平均力替代该过程中的变力，这一等效能称为程中的变力，这一等效能称为冲击过程的平均冲力。冲击过程的平均冲力。dIFdtimpulsion平均冲力平均冲力mean impulsionottoFdtIFtttFFoottt重大数理学院赵承均 例例1 1：撑杆跳运发动从横杆跃：撑杆跳运发动从横杆跃过过, ,落在海棉垫子上不会摔伤，落在海棉垫子

4、上不会摔伤，假设不是海棉垫子，而是大假设不是海棉垫子，而是大理石板，又会如何呢？理石板，又会如何呢？思索 例例2 2：汽车从静止开场运动，：汽车从静止开场运动，加速到加速到20m/s20m/s。假设牵引力大，。假设牵引力大，所用时间短；假设牵引力小，所用时间短；假设牵引力小，所用的时间就长。所用的时间就长。Ip 重大数理学院赵承均 动量与冲量的区别动量与冲量的区别. .动量是形状量；冲量是过程量；动量是形状量；冲量是过程量；. .动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。讨论冲量定理的运用冲量定理的运用. .计算冲量

5、时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。.F.F为合外力，不是某一个外力。为合外力，不是某一个外力。. .动量定理的分量式：动量定理的分量式：otxxxxoxtIF dtpm vv . .平均冲力的计算由：平均冲力的计算由：IFt重大数理学院赵承均 解：解：以人为研讨对象，可分为两个运动过程，以人为研讨对象，可分为两个运动过程，1.1.自在下落过程自在下落过程到达地面时的速率为：到达地面时的速率为：2.2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定与地面接触碰撞过程，受力分析，规定向上为坐标正向。向上为坐标正向。例：质量为例：质量为

6、60kg 60kg 的撑杆跳运发动，从的撑杆跳运发动，从 5 5 米的横米的横杆跃过自在下落，运发动与地面的作用时间分别杆跃过自在下落，运发动与地面的作用时间分别为为 1 1 秒和秒和 0.1 0.1 秒，求地面对运发动的平均冲击秒，求地面对运发动的平均冲击力。力。2vgh2oypmgh 0yp 重大数理学院赵承均 由：由： 可以看出当物体形状变化一样量，力的作用时间越短，物体遭到的可以看出当物体形状变化一样量，力的作用时间越短，物体遭到的冲击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。冲击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。yNmgoyyFtp 即：即：2Nmgtmgh 2mghNm

7、gt1s,600N600N1200N0.1s,600N6000N6600NtNtN 重大数理学院赵承均 例例1.1.质量分别为质量分别为 mA mA 和和 mB ( mA mB )mB ( mA mB )的两质点的两质点 A A 和和 B ,B ,遭到相等遭到相等的冲量作用的冲量作用, ,那么：那么： C (A) A (A) A 比比 B B 的动量增量少的动量增量少. . (B) A (B) A 比比 B B 的动量增量多的动量增量多. .(C) A (C) A 、 B B 的动量增量相等的动量增量相等. .(D) A (D) A 、 B B 的动能增量相等的动能增量相等. .思索题思索题

8、重大数理学院赵承均 例例2.2.质量为质量为 20g 20g 的子弹沿的子弹沿 x x 轴正向以轴正向以500m/s500m/s的速度射入一木块后，与的速度射入一木块后，与木块一同以木块一同以50m/s 50m/s 的速度仍沿的速度仍沿 x x 轴正向前进，在此过程中木块所受冲量轴正向前进，在此过程中木块所受冲量的大小为的大小为A AB BC CD D A 9N s 9N s10N s 10N s0.02505009N s重大数理学院赵承均 例例3.3.质量为质量为 m m 的小球，以程度速度的小球，以程度速度 v v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正

9、方向，那么由于此碰撞，小球的动量变化为：指向壁内的方向为正方向，那么由于此碰撞，小球的动量变化为：A AmvmvB B0 0C C2mv2mvD D-2mv-2mv D 2mvvmv 重大数理学院赵承均 例例4.4.体重一样的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，体重一样的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，那么到当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，那么到达顶点情况是达顶点情况是A A甲先到达。甲先到达。B B乙先到达。乙先到达。C C同时到达。同时到达。D D谁先到达不能确定。谁先到达不

10、能确定。 C 1 12 2120mvm vvv以甲、乙、绳、滑轮为系统以甲、乙、绳、滑轮为系统重大数理学院赵承均 例例5.5.图示一圆锥摆，质量为图示一圆锥摆，质量为m m的小球在程度面内以角速度的小球在程度面内以角速度匀速转动。在匀速转动。在小球转动一周的过程中，求：小球转动一周的过程中，求：小球动量增量的大小。小球动量增量的大小。小球所受重力的冲量大小。小球所受重力的冲量大小。小球所受绳子拉力的冲量大小。小球所受绳子拉力的冲量大小。小球运动一周动量变化为小球运动一周动量变化为0 0。由可知，小球所受重力和拉力的冲量为由可知，小球所受重力和拉力的冲量为0 0，因此，拉力的冲量必然等，因此，拉

11、力的冲量必然等于小球重力冲量的负值，即：于小球重力冲量的负值，即：解：解：2mgmgImgT2NmgImgT 重大数理学院赵承均 一、质点系 在实践问题中，选取质心作在实践问题中，选取质心作用参考点，常使得问题简化。用参考点，常使得问题简化。 质心质心 相互作用的质点构成的整体，称为质相互作用的质点构成的整体，称为质点系。由运动的可迭加性质亦即矢量的点系。由运动的可迭加性质亦即矢量的性质，质点系的整体运动可以看做是各性质，质点系的整体运动可以看做是各个质点单独运动的迭加。个质点单独运动的迭加。1Ni iiCmrrM质心的位矢xoyzcririmcmmass centerparticle sys

12、tem 将质点系看做是具有质量中心将质点系看做是具有质量中心的系统，质点系的运动可以由此点的系统，质点系的运动可以由此点的运动来替代。这个特殊点叫做质的运动来替代。这个特殊点叫做质点系的质量中心，简称质心。点系的质量中心，简称质心。1NiiMm重大数理学院赵承均 对于对于N N个质点组成的质点系中的第个质点组成的质点系中的第i i个个质点，满足动量定理质点，满足动量定理 ：二、质点系的动量定理 1eFimjm 2eF ijiF iijF ieiiiidpFFFdtN N个质点列出个质点列出N N个方程，取和得到：个方程，取和得到： 1NieiidpdpFFFdtdt显然：显然： edpFdt

13、0iF即：质点系的合外力导致总动量的变化。即：质点系的合外力导致总动量的变化。resultant external force重大数理学院赵承均 即：合外力的冲量等于质点系动量的增量。即：合外力的冲量等于质点系动量的增量。动量守恒定律动量守恒定律 0eoFpp即：质点系的合外力为零时，系统的总动量坚持不变，也就是质点动量即：质点系的合外力为零时，系统的总动量坚持不变，也就是质点动量的矢量和不变。的矢量和不变。三、质点系的冲量定理 eFdtdp显然：显然： eedIFdt外力元冲量为：外力元冲量为：积分得到：积分得到： 0teeotIFdtppThe law of conservation of

14、 momentum重大数理学院赵承均 1.1.内力不会改动系统的动量，只需外力可改动系统的动量。内力不会改动系统的动量，只需外力可改动系统的动量。例如：两队运发动拔河，有的人说甲队力气大，乙例如：两队运发动拔河，有的人说甲队力气大，乙队力气小，所以甲队能获胜，这种说法能否正确队力气小，所以甲队能获胜，这种说法能否正确? ?甲队甲队乙队乙队讨论质点系的动量定理质点系的动量定理重大数理学院赵承均 分析：分析： 拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用力与反作用力，为系统的内力，不会改动系统总的动量。用力与反作用力，为系统的内力，不会改动系统

15、总的动量。只需运发动脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的只需运发动脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运发动，摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运发动，以添加系统外力。以添加系统外力。1F2F重大数理学院赵承均 2.2.动量守恒是指总动量不变，各个质点的动量是可以变化的，经过内力的动量守恒是指总动量不变，各个质点的动量是可以变化的，经过内力的作用，动量在系统内的各个质点间进展转移。作用，动量在系统内的各个质点间进展转移。3.3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，假设内力远大于外力，动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻

16、，假设内力远大于外力，或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。4.4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取适宜的坐标系后，可动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取适宜的坐标系后，可以写成相应各分量方程方式，那么方程两端的物理含义阐明了相应方向以写成相应各分量方程方式，那么方程两端的物理含义阐明了相应方向上的合外力与动量变化之间的关系。上的合外力与动量变化之间的关系。例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。重大数理学院赵承均 例例: : 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端

17、刚好触到程度桌面一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到程度桌面上。假设把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明：在绳下落的过程中上。假设把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明：在绳下落的过程中恣意时辰作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳分量的三倍。恣意时辰作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳分量的三倍。设设 t=0 t=0 时辰，绳的上端为时辰，绳的上端为 x x 轴轴的原点的原点O O ，向下为正方向，绳长，向下为正方向，绳长为为 l , l ,总质量为总质量为 M M 。证：证：由牛顿第三定律，由牛顿第三定律， , , 为桌面对绳子的作用力，为桌面对绳子的作用力， 为绳子为绳子对

18、桌面的反作用力。对桌面的反作用力。NNNNoxxNl重大数理学院赵承均 那么那么t t时辰，已落到桌面上的绳长为时辰，已落到桌面上的绳长为x x，质量为：，质量为：重力为：重力为：以之为研讨对象，受力如下图。以之为研讨对象，受力如下图。xmMlxGMgl由平衡条件：由平衡条件：0GNT代入得到：代入得到：MgNxTl重力重力平均冲击力平均冲击力支持力支持力0GTNmNGT重大数理学院赵承均 求求 T T：取：取 dt dt 内落至桌面的内落至桌面的 dx dx 为研讨对象，受力如下图：为研讨对象，受力如下图：MdxdGgl下落时桌面绳子对它的作用力，即平下落时桌面绳子对它的作用力，即平均冲击力

19、的反作用力：均冲击力的反作用力：TTTdmdGTdG由动量定理：由动量定理：0MT dtvdxl即：即：22MdxMMTvvgxldtll 重大数理学院赵承均 23MMMNxgxgxglll3MNxgl重大数理学院赵承均 碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。特点：机械能守恒、动量守恒。特点：机械能守恒、动量守恒。1m2m2ov1ov碰前碰前1m2m碰撞碰撞四、碰撞过程1.1.完全弹性碰撞完全弹性碰撞1m2m碰后碰后2v1vtotaly elastic collisioncolliding process重大数理学院赵承均

20、由机械能守恒：由机械能守恒：22221 1221 12211112222oomvm vmvm v1 1221 122oom vm vm vm v由动量守恒：由动量守恒：联立求解：联立求解：12122112()2oomm vm vvmm2121 1212()2oomm vmvvmm重大数理学院赵承均 2.2.讨论：讨论：122,0omm v1m2m1ov121221121()2ooomm vm vvmmv 2121 1212()20oomm vmvvmm当当m1m2m1m2m1m2时，且第二个球时，且第二个球静止，那么碰后，第一个静止，那么碰后，第一个球速度不变，而第二球以球速度不变，而第二球以

21、2 2倍于第一个球的初速度运倍于第一个球的初速度运动。动。1m2m1ov重大数理学院赵承均 特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞后两物体合为一体。物体形变能量不能后两物体合为一体。物体形变能量不能恢复。恢复。1 12212()oomvm vmm v2.2.完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞1m2m碰前碰前1ov2ov1m2m碰后碰后v1 12212oomvm vvmmtotally non-elastic collision重大数理学院赵承均 例例1.1.质量为质量为 M =2.0 kg M =2.0 kg 的物体不思索体积的物体不思索体积, ,用一根长用一根长 l

22、=1.0 m l =1.0 m 为为的细绳悬挂在天花板上的细绳悬挂在天花板上, ,今有一质量为今有一质量为 m=20 g m=20 g 的子弹以的子弹以v0=600 m/s v0=600 m/s 的的程度速度射穿物体程度速度射穿物体, ,刚射出物体时子弹的速度大小刚射出物体时子弹的速度大小 v = 30 m/s, v = 30 m/s, 设穿透设穿透时间极短时间极短, ,求求: :子弹刚穿出时绳中张力的大小。子弹刚穿出时绳中张力的大小。子弹在穿透过程中所受的冲量。子弹在穿透过程中所受的冲量。lvovmM 因穿透时间极短因穿透时间极短, ,可以为物体未分开可以为物体未分开平衡位置平衡位置, ,因

23、此因此, ,作用于子弹、物体系统上的作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向外力均在竖直方向, , 故系统在程度方向上动故系统在程度方向上动量守恒量守恒, ,设子弹穿出时物体的速度为设子弹穿出时物体的速度为 那么那么: :解：解：vomvmvMv5.7m/somvvvM重大数理学院赵承均 - - 号表示冲量的方向与速度方向相反，即程度向左。号表示冲量的方向与速度方向相反，即程度向左。子弹穿出瞬间，物体绕悬挂点做圆周运动：子弹穿出瞬间，物体绕悬挂点做圆周运动：2vTMgMl284.6NvTMgl2 2子弹受冲量子弹受冲量: :11.4N smmoIpmvmv lvovmM重大数理学院赵承均 例例

24、2.2.一枚静止的炸弹在程度面内爆炸，炸成三块。第一块质量为一枚静止的炸弹在程度面内爆炸，炸成三块。第一块质量为m m，速度，速度v1=800m/sv1=800m/s，向西；第二块质量为，向西；第二块质量为m m，速度，速度v2=600m/s,v2=600m/s,向南；第三块质量向南；第三块质量为为2m2m，求：第三块弹片的速度大小和方向。，求：第三块弹片的速度大小和方向。m2mm1v2v3?v 重大数理学院赵承均 动量矩角动量动量矩角动量 角动量是另一种矢量矩。对点的动角动量是另一种矢量矩。对点的动量矩定义如右图所示。量矩定义如右图所示。一、矢量矩 对某一参考点而言，定义矢量对对某一参考点而

25、言，定义矢量对此点的矩，称为对点的矢量矩；对某此点的矩，称为对点的矢量矩；对某轴的矩，称为对轴的矢量矩。轴的矩，称为对轴的矢量矩。力矩角力力矩角力 力矩是一种矢量矩。对点的力力矩是一种矢量矩。对点的力矩定义如右图所示：矩定义如右图所示：o FMsinMrFrFMsinLrprpLo vLrrvectors momentmomentangular momentum重大数理学院赵承均 冲量矩角冲量冲量矩角冲量 冲量矩是另一种矢量矩。对点的冲量矩定义为：冲量矩是另一种矢量矩。对点的冲量矩定义为： rdIMdt元冲量矩元冲量矩冲量矩冲量矩 oottrttIMdtrF dt即：力对给定点的冲量矩定义为力

26、对该点的力矩对时间的累积。即：力对给定点的冲量矩定义为力对该点的力矩对时间的累积。. .同一矢量对不同的参考点，相应的矢量矩是不同的。同一矢量对不同的参考点，相应的矢量矩是不同的。. .力矩、动量矩、冲量矩是转动力学量，与平动力、动量、冲量相当。力矩、动量矩、冲量矩是转动力学量，与平动力、动量、冲量相当。单位：牛顿单位：牛顿米米秒，秒， N m sN m sangular impulsion留意重大数理学院赵承均 平动中的动量定理平动中的动量定理: :二、角动量定理dpFdt对上式做以下矢量运算对上式做以下矢量运算: :dprFMrdt d rpdpdrrpdtdtdtdprdt由于由于: :

27、得到得到: :dLMdt即：动量矩的时间变化率来即：动量矩的时间变化率来源于作用在点上的合力矩。源于作用在点上的合力矩。angular momentum theorem重大数理学院赵承均 即：合外力的冲量矩等于质点对同一即：合外力的冲量矩等于质点对同一参考点的的角动量的增量。参考点的的角动量的增量。三、冲量矩定理角动量守恒率角动量守恒率dLMdt由角动量定理由角动量定理: :显然有显然有: :0oMLL即：作用在点上的合力矩为零时，质点对参考点的动量矩不变。即：作用在点上的合力矩为零时，质点对参考点的动量矩不变。dLMdt由角动量定理由角动量定理: :积分得到冲量矩定理积分得到冲量矩定理: :

28、 roILLThe law of conservation of angular momentumangular impulsion theorem重大数理学院赵承均 . .角动量与动量是两个不同的物理量，角动量方向为角速度的方向，动角动量与动量是两个不同的物理量，角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的方向。量的方向为速度的方向。. .角动量定理中的力矩、动量矩、冲量矩必需是对同一参考点计量的。角动量定理中的力矩、动量矩、冲量矩必需是对同一参考点计量的。. .对于变力矩，可用平均力矩替代对于变力矩，可用平均力矩替代: :. .恒力矩情况：恒力矩情况： roIM tLL roIM tLL

29、. .转动力学量的方向总以逆时针的力学效果为正、顺时针的力学效果为负。转动力学量的方向总以逆时针的力学效果为正、顺时针的力学效果为负。留意重大数理学院赵承均 1.1.确定研讨对象；确定研讨对象；2.2.受力分析思索产生力矩的力；受力分析思索产生力矩的力；3.3.规定正向，确定始末两态的角动量；规定正向，确定始末两态的角动量；4.4.运用定理列方程求解。运用定理列方程求解。四、典型问题1.1.动量矩定理与冲量矩定理动量矩定理与冲量矩定理重大数理学院赵承均 例：在摩擦系数为例：在摩擦系数为桌面上有细杆，桌面上有细杆，质量为质量为 m m、长度为、长度为 l l，以初始角速，以初始角速度度 0 0 绕垂直于杆的质心轴转动，绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停顿转动。问细杆经过多长时间停顿转动。解：以细杆为研讨对象作受解：以细杆为研讨对象作受力分析。重力及桌面的支持力分析。重力及桌面的支持力不产生力矩，只需摩擦力力不产生力矩，只需摩擦力产生力矩。产生力矩。确定细杆受的摩擦力矩确定细杆受的摩擦力矩分割质元分割质元dmdm细杆的质量密度为：细杆的质量密度为：mldmdx质元受的摩擦力矩质元受的摩擦力矩dMgxdm o,