MATLAB在高等数学中的应用

1、MATLAB在高等数学中的应用 引言在科学技术不断发展的今天，计算机得到迅速发展计算机的出现归功于数学家的奠基性工作，计算机的发展又为数学的发展提供了威力无比的武器和工具，从而彻底改变了长期以来数学仅仅靠一支笔，一张纸的传统，使数学的应用在广度及深度两方面都达到了前所未有的程度，深刻地影响了数学的发展进程和思维模式，同时也使数学技术成为现今高科技的一个重要组成部分和突出标志中国科学院院士王梓坤在今日数学及其应用一文中指出“精确定量思维是对 21 世纪科技人员共同的素质要求。所谓定量思维就是指人们从实际问题中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验

2、，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解决问题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用”。在当前众多数学应用软件中，MATLAB 是一个应用广泛、功能强大的软件在年代后期，Cleve Morler 博士编写了MATLAB 年，Cleve Morler 和 John Little 成立 Math Works 公司， 正式把 MATLAB 推向市场，并对 MATLAB 进行不断的开发MATLAB 已经发展成为适合多学科的功能强大的大型软件在欧美等高校，MA TLAB 已经成为线性代数，自动控制理论，数理统计，数字信号处理，动态仿真等高级课程的基本教学工具，同时被研究单位和工业部门广泛应用，使科学研究

3、和解决各种具体问题的效率大大提高MATLAB 提供了专业水平的数值计算，符号计算和图形可视化等功能，它几乎可以解决实际应用中出现的绝大多数的数值计算问题，如数据分析，曲线拟合，数值分析等MATLAB 软件不仅能够进行简单的数值计算，还能进行求导，积分，解方程，求特征值和特征向量等符号计算，并且 MATLAB 的图形功能强大，既包括对二维和三维数据可视化，图像处理，动画制作等高层次的绘图命令，也包括可以完全修改图形局部及编制完整图形界面的低层次的绘图命令MATLAB 作为数学软件用于解决高等数学中一些计算问题和绘图问题，给学生一种全新的感觉，激发起学习的兴趣，加深对所学知识的理解，使学生对数学发

4、展现状及应用有切实的体会如在高等代数中，矩阵的幂方和除法是两个计算量比较大而且容易出错的运算，尤其是幂方，而这些在MATLAB 中都会很快又准确的得出结果26 103例 已知 A= 6 10 14 ，求 A 310 14 0应用 MATLAB 命令：A=2 6 10;6 10 14;10 14 03ans=259244164368441673926768436867683840MATLAB的优势同样在令很多人头疼的绘图上MATLAB 也能很快给出符合要求而精确的图形例 作出螺旋线x sin t, y cost, z t 的图形应用 MATLAB 命令：>> t=0:pi/50:10

5、*pi;>>plot3(sin(t),cos(t),t)通过上面的例题使学生在心理上对高等数学的学习不再感到枯燥，将书本上学习的高等数学知识变成计算机语言很快就能得出结果，即使是需要费时的计算和绘图，这些都有助于学生自觉的将MATLAB 应用在高等数学的学习中以下介绍MATLAB 在高等数学中的应用 微积分方面数值分析主要讨论有关函数的极值问题，零点问题以及微积分问题等，MATLAB 提供了大量的解决上述数值分析任务的函数 .极值函数MATLAB 的主要极值函数是fminbnd ，该函数的常用调用格式为：X=fimnbnd(FUN, ,)其中输入参数FUN 为欲求极值的函数，为求极

6、值的范围例 求函数 cotx在，上的极值应用 MATLAB 命令：>>y=fminbnd('cot',1,2)>>y=1.9999如何求函数的极大值？思考一下 .求根函数函数 fzero 为求根函数，其调用格式为：X=fzero(FUN,X0)其中输入参数FUN 为欲求根的函数，当 X0 为一个数值时，将得到 X最近的方程的根，当 X0为两个数值时，将求出两个元素之间的方程的根例 求函数 cotx在附近的零点，在区间，中的零点应用 MATLAB 命令：> > x=fzero('cot',1)> >x=1.5708&

7、gt; >x=fzero('cot',1,2)> >x=1.5708 .数值积分函数MATLAB 中的数值积分函数是quad,其调用格式为：Q=quad(FUN,A,B) 将求出函数FUN 在 A 和 B 之间的积分结果2例 求 sin xdx1应用 MATLAB 命令：>> q=quad('sin',1,2) q =0.9564 .微分函数Diff(s) 对符号表达式s 对自变量的积分Diff(s,'v') 对以 v 为自变量的符号表达式s求微分3Diff(s,'v',n) 其中 n 为正整数，对函

8、数表达式s求 n 阶微分例 求sint2的一阶微分，t7的七阶微分应用 MATLAB 命令：>> t=sym('t');>> u=sym('u');>>diff(sin(t2)ans =2*cos(t2)*t>> diff(t7,7)ans =5040能形象直观的理解一致收敛性并对函数列的一致收敛性进行判别在高等数学中函数列的一致收敛性概念比较抽象难理解，而借助MATLAB 强大的绘图功能就例 已知如下三个函数序列： fn(x)nx2e nx, x 0,5; gn (x)2n2x2n2xe nx , x 0,1;h

9、n(x)1n2x2 (1n2x2)2 , x 0,).通过作出它们的图象，根据一致收敛的几何意义来观察它们的一致收敛性(1) 作出 fn(x) 的一族曲线如下：应用 MATLAB 命令：hold on; x=0:0.02:5; for n=1:8y=n*x.2.*exp(-n.*x); plot(x,y); end;44.551 可见 , fn (x) 中每条曲线的峰值随着n而趋于 0 , 故 fn(x) 能在 0, 5 上0(2) 作出 g n (x) 的一族曲线如下：应用 MATLAB 命令：clf;hold on;x=0:0.01:1;for n=5:-1:1y=n2*x.*exp(-n

10、2*x.2);plot(x,y);end图22 可见， g n (x) 中每条曲线的峰值随着n 而趋于故在 x 0的任意小右邻域内gn(x) 不可能一致收敛；但是对任意小的正数a , gn(x) 在 a , 1 上仍有可能一致收敛于0 (3) 作出 hn (x) 的一族曲线如下：应用 MATLAB 命令：>>clf;>>hold on;>>x=0:0.01:3;>>for n=1:1:5y=(1-n2*x.2)./(1+n2*x.2).2;plot(x,y);end ;33 可见，极限函数在x 0 处不连续，故在x 0 的任意小右邻域内, hn

11、(x) 不可能一致收敛；但在任何a,)0,) 上， hn(x) 仍有可能一致收敛于0 在高等数学中幂级数求和函数手算比较困难，应用MATLAB 求和函数就会很快求出和函数kx例 求幂级数x 的和函数S2k 2 k(k 1)应用 MATLAB 命令：syms k xS2=symsum('xk/k/(k-1)',k,2,inf)S2 = 1/2*x2*(2/x*(-log(1-x)/x-1)*(x-1)-1/(x-1)*(-2*x+2)S2=simplify(S2)(将 S2 简化 )15S2 = -log(1-x)*x+log(1-x)+x在上面的例题中应用MATLAB 对高等数

12、学中出现的一些复杂计算和函数项序列一致收敛进行判别，体现了MATLAB 在高等数学中的应用矩阵MATLAB 的数学能力大部分是从它的矩阵函数中派生出来的，在计算行列式、秩MATLAB 中提供了丰富的矩.Det计算矩阵行列式的值Rank函数计算矩阵的秩5765例7A=610 88 10, 求，rank(A) .5 79 10应用 MATLAB 命令：>> A=5 7 6 5 ;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10 ；>> det(A)ans =1>> rank(A)ans =4 .特征值的计算eig（）计算矩阵的特征值如果是n n 矩阵，若满足

13、，则称为的特征值24453451例 10 ,求 A 的特征值.7836 9 10 6 8应用 MATLAB 命令：>>A=2 4 4 5;3 4 5 1;7 8 3 6;9 10 6 8 ；>> eig=(A)ans =20.4983-3.4064-1.31331.2214如果还要求特征向量，则可以用eig（）函数的第一个返回值得到应用 MATLAB 命令：>> X,D=eig（A）X =-0.3659-0.64860.70500.4314-0.2674-0.2135-0.6239-0.7569-0.51750.63210.27810.0644-0.7258

14、0.3664-0.19050.4868D =20.49830000-3.40640000-1.313300001.2214在 MATLAB 中特征值和特征向量的求解过程体现了矩阵作为MATLAB 的基本计算单位在进行矩阵运算时是很简便的 方程和方程组“方程是很多工程和科学工作的发动机” 若干世纪以来，工程师和科学家们花了大量的时间用于求解方程(组)数学家研究各种各样的方程求解方法MATLAB 为求解方程(组)提供了便利条件 .方程MA TLAB 的命令输入格式：solve('eqn1','eqn2' ,'eqnN','var1',

15、'var2', 'varN')其中 eqni 表示第 i 个方程，vari i 表示第 i 个变量，i=1,2, ,N在求解多项式方程时还可以用MATLAB 函数 roots(p)，其中 p 是多项式的系数按降幂排列所形成的 n+1 维列向量，它能够给出全部根(包括重根)避免在高等数学日常计算中出现的丢根情况例 11 求解多项式方程x9x8 10.应用 MATLAB 命令：>> P=1,1,0,0,0,0,0,0,0,1;>> roots(P)ans =-1.2131-0.9017 + 0.5753i-0.9017 - 0.5753i-0

16、.2694 + 0.9406i-0.2694 - 0.9406i0.4168 + 0.8419i0.4168 - 0.8419i0.8608 + 0.3344i 0.8608 - 0.3344i.2 方程组.2.1 线性方程组除了使用MATLAB 函数 solve 以外，还可以用其他MATLAB 命令如将线性方程组写成矩阵形式 A*X=b ，其中为m*n 阶方阵，X 和 b 均为 n 阶列向量1 2 33665 6804X=8 03514例 12 解线性方程组72 5 8514应用 MATLAB 命令：>> A=1 2 3;4 5 6;7 8 0;2 5 8;>>b=3

17、66 804 351 514'>> x=Abx =247.9818-173.1091114.9273 .2.2 非线性方程组非线性方程组可以用solve( )函数进行求解，一般给出的是数值解，也可以用fsolve( )进行求解，输入格式为fsolve('FUN',X0)其中 FUN 表示 M 文件函数，X0 表示变量的初始点下面用MATLAB 求解一个比较复杂的非线性方程组2sinx y ln z 7 0例 13 解非线性方程组3x 2 y z3 1 0xyz50.应用 MATLAB 命令：function eq=nxxf(x)global number;n

18、umber=number+1;eq(1)=sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7;eq(2)=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1;eq(3)=x(1)+x(2)+x(3)-5;global number;number=0;y=fsolve('nxxf',1,1,1)y =0.59912.39592.0050 微分方程微分方程是高等数学中一个比较重要的分支,它的应用也比较广泛,使用 MATLAB 软件就可以方便地求出它的各种形式的解5 .解析解求微分方程的解析解的MATLAB 命令：dsolve('eqn1','eqn2', ,&

19、#39;x') 其中 'eqni'表示第 i 个方程，'x'表示微分方程组中的自变量除了用 MATLAB 求解一阶微分方程外，也可以解决较复杂的二阶微分方程例 14 求解二阶微分方程x2 y x y(x2 n2)y 0,y ( /2),y (/2) 2/ ,n 1/2应用 MATLAB 命令：>> dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-(1/2)2/x2)*y=0','y(pi/2)=2','Dy(pi/2)=(-2/pi)','x')ans =2(1/2)*pi(1/

20、2)/x(1/2)*sin(x)6 .数值解在没有解析解的情况下就要求数值解求解微分方程(组)数值解，用阶龙格库塔公式和阶龙格库塔公式，其程序为：t,y=ode23('F',ts,y0,options) t,y=ode45('F',ts,y0,options)其中 F 为由微分方程(组)写成的M 文件名例 15 求方程x2 yxy (x 2n 2 )y0应用 MATLAB 命令：function f=jie3(x,y)f=y(2);-y(2)/x+(1/2)2/x2-1)*y(1);>> x,y=ode23('jie3',pi/2,p

21、i,2,-2/pi)x =1.57081.60741.76451.92152.07862.23572.39282.54992.70692.86403.02113.1416y =2.0000-0.63661.9758-0.68691.8518-0.88791.6982-1.06311.5192-1.21081.3193-1.32931.1032-1.41740.8756-1.47440.6416-1.50020.4060-1.49510.0002-1.4140>> y1=y(:,1);>> y2=y(:,2);>> plot(x,y1,x,y2,'r&

22、#39;),gtext('y1'),gtext('y2')7 插值MATLAB 中的插值函数为interpl( ), 其调用格式为yi=interpl(x,y,xi,'method')其中 x,y 为插值点，yi 为在被插值点xi 处的插值结果；x,y 为向量'method'表示采用的插值方法 MATLAB 提供的插值方法有几种：'nearest'最邻近插值;'linear'线性插值;'spline'三次样条插值;'cubic'立方插值用MATLAB 插值做一个数学实

23、验例 16 在一天 24小时内，从零点开始每间隔小时测得的环境温度数据为(OC)12， 9， 9， 1， 0， 18， 24， 28， 27， 25， 20， 18， 15， 13，推测中午点(即13 点)时的温度应用 MATLAB 命令：> > x=0:2:24;> > y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13;> > x1=13;> > y1=interp1(x,y,x1,'spline')y1 =27.8725所以，中午点时的温度大约为27.8725OC若要得到一天24 小时的温度曲线，只

24、需继续键入：应用 MATLAB 命令：>> xi=0:1/3600:24;>> yi=interp1(x,y,xi,'spline');>> plot(x,y,'o',xi,yi)MATLAB 中的拟合函数为polyfit（ ）, 其调用格式为:Polyfit（X,Y,n）执行该函数将产生一个n 阶多项式P，并且使得P（X）=Y .例 17 下表展示了来自年以来第x 年从中国进口到美国的（以百万美元计数）值（ a）求一能近似该数据的线性函数y b mx（ b）对每个y 求lny，并利用y 和 lny 的值求一个能近似该数据的线

25、性函数lny b mxc）利用（b）中的方程求一个能拟合该数据的形为yaekx的指数函数年1985198619871988198919901991第 x年0123456进口值y3862477162938511119901523718976应用 MATLAB 命令 :(a) 线性拟合x=0:6;> > y=3862 4771 6293 8511 11990 15237 18976;>> plot(x,y,'o')> > hold on> > f1=polyfit(x,y,1)f1 =2.57042.2374>> y1=p

26、olyval(f1,x);>> plot(x,y1,'r')线性拟合函数拟合效果(b) 对数线性拟合f2=polyfit(x,log(y),1)f2 =0.27658.2275>> y2=polyval(f2,x);>> hold on>> plot(x,log(y),'o')对数线性函数拟合效果(c) 由 (b)可知，y3742.5e0.2756x1.0e+003 *19plot(x,y,'o')>> hold on>> plot(x,3742.5*exp(0.2756*x

27、)21指数拟合效果由拟合效果知指数函数拟合较好 数学实验数学实验是对实际生活中的数学问题的解决，提出问题并进行探究、思考、分析等思维活动，最终理解并解决问题，提出想法借助于数学软件实现培养学生的独立能力和创新精神波音公司飞机最佳定价策略2(P46-48)全球最大的飞机制造商波音公司自1955 年推出波音707 开始 成功地开发了一系列的喷气式客机问题：讨论该公司对一种新型客机最优定价策略的数学模型1) ) 问题分析定价策略涉及到诸多因素，这里考虑以下主要因素：价格、竞争对手的行为、出售客机的数量、波音公司的客机制造量、制造成本、波音公司的市场占有率等等因素。2) ) 假设及模型价格记为p，根据

28、实际情况，对于民航飞机制造商，能够与波音公司抗衡的竞争对手只有一个，因此他们可以在价格上达成一致，具体假设如下：1 )型号：为了研究方便，假设只有一种型号飞机；销售量： 其销售量只受飞机价格p 的影响 预测以此价格出售，该型号飞机全球销售量为假设该公司销售部门预测得到应该受到诸多因素的影响，假设其中价格是最主要的因素根据市场历史的销售规律和需求曲线，N=N(p)=-78p 2 +655p+125.3) ) 市场占有率：既然在价格上达成一致，即价格的变化是同步的，因此，不同定价不会影响波音公司的市场占有率，因此市场占有率是常数，记为h4) 制造数量：假设制造量等于销售量，记为x既然可以预测该型号飞机全球销售量，结合波音公司的市场占有率，可以得到x=h*N(p).5) 制造成本：根据波音公司产品分析部门的估计，制造成本为C(x)=50+1.5x+8x 4 .6) 利润：假设利润等于销售收入去掉成本，并且公司的最优策略原则为利润R( p)最大利润函数为R(