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文档简介

1、1. 梯度下降法 (Gradient descent)梯度下降法，通常也叫最速下降法(steepest descent)，基于这样一个事实：如果实值函数 f(x) 在点x处可微且有定义，那么函数 f(x) 在 x点沿着负梯度(梯度的反方向)下降最快。假设x是一个向量，考虑f(x) 的泰勒展开式：如果想要函数值下降，则要。如果想要下降的最快，则需要取最小值，即，也就是说，此时x的变化方向(的方向)跟梯度的方向恰好相反。梯度法迭代公式：那么步长如何选取呢？的确，很难选择一个合适的固定值，如果较小，会收敛很慢；如果较大，可能有时候会跳过最优

2、点，甚至导致函数值增大；因此，最好选择一个变化的步长，在离最优点较远的时候，步长大一点，离最优点较近的时候，步长小一点。 一个不错的选择是，于是牛顿迭代公式变为：，此时是一个固定值，称为学习率，通常取0.1，该方法称为固定学习率的梯度下降法。另外，我们也可以通过一维搜索来确定最优步长。1.1 梯度下降法的一般步骤：Step1 给定初始点, 迭代精度，k=0. Step2 计算，如果,停止；否则，计算搜索方向Step3 计算最优步长 ；Step4 更新迭代点，令, 转step2。 初始点的选取：设，对每一个分量分别独立取值梯度下降法简单，计算量小，仅仅需要求一阶导数，对初始点也没有特殊要求，具有

3、整体收敛性。采用精确线搜索的梯度下降法的收敛速度为线性。精确线搜索满足的一阶必要条件，得，由最速下降法得，因此有，即：相邻两次的搜索方向是相互直交的（投影到二维平面上，就是锯齿形状了）。最后，我们讨论一个问题，这个所谓的最速下降法真的是“最快速”的吗？其实，它只是局部范围内具有最快速性质,对整体求解过程而言，它的下降非常缓慢。例如, 我们来看一个常被用来作为最优化算法的performance test函数：Rosenbrock函数，它在点 (1,1) 处取得最小值0。此函数具有狭窄弯曲的山谷，最小值(1,1) 就在这些山谷之中，并且谷底很平。优化过程是之字形的向极小值点靠近

4、，速度非常缓慢（"之字型"下降，越靠近极小点下降越缓慢）。1.2 批量梯度法 VS 随机梯度法梯度下降法每次更新都要对全体样本重新计算整个梯度，这种方法叫做批量梯度法(Batch Gradient Descent)，当样本点很多时，这种方法速度很慢；于是，人们不再追求精确计算梯度方向，而是采取一种近似计算的思想，每次只利用一个训练样本计算梯度，来更新x，这种方法叫做随机梯度法（Stochastic Gradient Descent）。 需要特别注意的一点是，随机梯度法最后的最优值不是计算过程中的任何一个(注意不是最后一个哦), 而是计算过程中所有的平均值(各分量分别求平均值)，即。通常，SGD能比BGD更快地收敛到最优点，因此更适合大数据的计算。然而，对SGD而言，选择一个合适的终止条件是比较困难的。一个可选的

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