固体物理(第11课)金属电子论和索末菲模型

1、第第5章章 金属金属(自由自由)电子论电子论金属:导电、导热、延展、光亮、易加工。金属晶体都是密排结构，提高结合能。面心立方：Ag Au Cu Al Ni Pb六方密集：Be Mg Zn Ca少数体心立方：Li Na K Rb Cs Cr Mn W金属原子配位数很多，超过其价电子数。价电子形成非局域电子，因此每个原子有很多空轨道，因此，非局域电子移动容易，近似于自由电子。汤姆逊发现电子，提出电子在电场作用下运动，形成电流。同时气体分子运动论也已成熟。5.1 经典的金属自由电子论经典的金属自由电子论5.1.1 特鲁德模型(示意图)为了说明导电、导热等物理现象。金属由正离子和电子组成，满壳层电子与

2、原子核构成原子实，外壳层电子即价电子数为-eZ，受到原子核束缚较弱，称为传导电子，弥散于金属内部，构成自由电子气体。服从玻尔兹曼统计：e-h/kT，在外电场作用下服从牛顿运动定律。每个电子对热容的贡献是3kBT/2。但与实验值相差较大。金属自由电子模型（钾）18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+1 电子气浓度电子气浓度 势垒限制电子逸出势垒限制电子逸出MNZMNZaNnZNVNnAALaL32A1 )43()43(341 31313 典型值：电子平均半径

3、aZnnrrnNVrasss其中NL为单胞数，na为单胞中原子数，Z为价电子数，a3为单胞体积，为元素密度，NA为阿伏加德罗常数，M为原子量，典型值为10221023个/cm3电子势垒模型体以外。电子不会逸出到金属晶非常大金属中的电子气体压强 利用气体压强RTNnPA5条假设条假设1. 独立电子假设 ：忽略电子-电子之间的库仑排斥力2. 自由电子假设：电子速度各向同性，电子和离子碰撞，忽略电子-离子的库仑吸引力。3. 碰撞假设：碰撞后电子方向随机，速度只与温度有关，单个电子的平均能量为：4. 驰豫时间近似(relaxation time approximation)电子与离子两次碰撞之间的平均

4、时间间隔，1/ 为碰撞概率，平均自由程(mean free path)：l=v。在无外力作用时，电子的平均集体运动速度按照exp(-T/ )的方式趋于0，弛豫时间与电子速度和位置无关。5 . 隐含假设：电子是经典粒子（当时没有量子力学） Tk 23 21B2vmE直流电导jE欧姆定律：eeeteteBmneEmnejvnejmeEtvvv，meEtatvmeEa，mTkvvvnej221/3, 0与欧姆定律相比有故得,于t的平均值即是由代入 故有无关，故有根据假设，和以前速度称为漂移速度电子得到附加速度 :加速度在E作用下，电子获得方均根速率度无外电场时，平均速特鲁德：金属电子的平均自由程。电

5、子散射，未考虑波粒二象性差，特鲁德模型有较大误A实验测试值为10 程为金属中电子的平均自由算出的值约为，室温下，根据上述模型理，有根据经典的能量均分定平均自由程得到 时如铜在测量即可知平均自由时间3AscmvTkvmvscmKTnemBee101102321 107 . 2 56. 1273 172142金属的比热特鲁德模型认为金属中电子具有经典理想气体分子的运动特征，它们遵循玻尔兹曼统计规律：每个电子有三个自由度，每个自由度有kBT/2的平均能量，共有3 kBT/2内能，电子气比热CV=3kBn/2,在高温下相当于晶格振动的比热,这与实验不相符。从经典理论来看，只能说明电子没有热运动，直接动

6、摇了经典电子运动论。量子力学和费米统计规律建立后，这一矛盾才解决。并在此基础上建立了新的金属电子理论。1.特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与电流的关系.2.试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的贡献.补充补充)(2cos :,)(,. , . 3.txAxknhPhEPE下式来表示方向传播的平面波可用沿频率波长即它是都不变或波长它的频率和波矢与自由粒子联系的波知所以由德布罗意公式可是常数量都由于自由粒子能量和动公式上述公式称为德布罗意满足以下方程：频率波长动量自由粒子的能量平面波这种波称为德布罗意波的平面波得到与自由粒子联系代入上式和将将其改写成复数

7、形式其中则的方向传播如果波沿单位矢量)()(A :,A :2 2k cos )(2cos ,EtrpitrkieEkPentrkAtnrAn),(t ),(t ),( t ,A t ,A 2222222222)(2222)()(trptrptrpeApet iEEt iEieyyxEtzpypxpixEtrpiEtrpizyx同理有得到进行二次偏微商对自由粒子波函数相当与算符即由上式可得得到求偏微商对自由粒子波函数)(2 U(r), 2- ti 2 .),(- : zyx , ),(zyx 2222222222222222rUmpEmmpEiptrpkjitrp式为则粒子能量和动量关系为设粒子

8、在力场中的势能得到利用能量动量关系式相当与算符即由上式可得是劈形算符其中同理有将以上三式相加得., HH , )(2- )(2- )(2- )(2- ti ,ti),(22222222的本征函数算符称为的本征值称为算符程这种方程称为本征值方于是上式可写成表示或通常以称为哈密顿算符算符上式称为薛定鄂方程或得到下列方程和代替分别和并以算符上式两边同乘以波函数HHEEHrUmrUmrUmErUmpEitr.,)(2-1 ti )()(,)()(t)(r, ,U(r) 22表示这个常量以等式才被满足一常量时所以只有两边都等于同是互相独立的变量和而右边只含上式左边只含得到去除并把方程两边用将其代入薛定谔

9、方程考虑写成下列形式：可以用分离变量法简化的解自由粒子的薛定谔方程不含时间如果ErtrtrUmddfftfrtfrtiEtiECertrCe f(t)ErUmfddfiddff)(),( )(2- Et Eti 22则有解出由等式左边得到即由等式左边得到。x,y,z,tVt)z(x,ytitzyxVzyxm的波函数中运动是粒子在势场式中含时薛定谔方程：,)(2 . 12222222薛定谔方程简介薛定谔方程简介粒子的定态波函数 定态薛定谔方程应满足如下方程：其空间部分波函数应有以下形式：在恒定势场条件下，即定态薛定谔方程： ),( ,2 ,),(, . 2222zyxEzyxVxmz)y(xet

10、zyxzyxVtzyxVtEi边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平面简谐波存在。晶格常数为a的简立方晶格常数b为2/a的倒易格点。b对应面间距。最大的 k，对应波长为2a。最小的 k，对应波长为L。K越小，所对应波长越长。b原胞体积 )(222321213132321aaaVVaabVaabVaaba补充资料：三维晶格情况下的波矢补充资料：三维晶格情况下的波矢nNNNNNNNbbbaaa 321321321321、被限制在第一布里渊区点的数目）：中的分布密度（单位体积点占据的体积：平均一个、kVVkkVNNNbNbNbkZhhhbNhbNhbNhk 22

11、1 221*1 , . 13333332211321333222111示意图示意图KLnJLnILnkzyx 222a2a2Na2k kx xk ky yk kz za2a2Na2KLnJLnILnkzyx 222倒易点阵波矢空间空间k321NaLNaLNaLzyxzyxnNanNanNanLnLnLk 2电子具有的波长22Nb33Nb11Nb电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故k的取值为lb/n，即l2/na时，意味着电子波长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L

12、，且该平面波与晶面垂直。可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。5.2 索末菲自由电子论索末菲自由电子论前提:1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自度等于半整数的粒子费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原理解释了原子的电子壳层结构和元素周期律，推动了电子自旋概念的确立。费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基础上，提出电子服从某一统计规律，后来称为费米狄喇克统计分布。电子、质子、中子（全同粒子）TkEEFDB

13、FeTEf)(11),(能量不连续 kPEl独立电子：电子之间无相互作用l自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。l忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。l引入了泡利不相容原理l服从费米狄喇克统计分布l根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电子的薛定谔方程。平均势能为能量零点，电子处于无限深度的势阱内，需作功才能逸出,电子的运动满足薛定谔方程。Lx,y,zx,y,zLx,y,zzyxV或0 0 0),( 边长为L。且有：设一金属为立方体，其L=Na Lx,y,zx,y,zLx,y,zzyxVL或或。且且有有：边边长长为为设设一一金金属属为为立立方方体体，其其0 0 0),( 5.2.

14、2 单电子的本征态和本征能量单电子的本征态和本征能量1.电子气的本征态电子气的本征态mkEAeAeEmEHzkykxkirk izyx222222在金属内部有：2/3322221111LVALAVAdrAdr态称为本征态。态称为本征态。函数对应的粒子运动状函数对应的粒子运动状的本征函数，而此时的本征函数，而此时为算符为算符值，值，的本征的本征为算符为算符，则称，则称若有若有为常数。为常数。为一个函数，为一个函数，为算符，为算符，设设UFUFUUFFU 122dr件：几率，波函数归一化条积元中粒子出现的表示空间某点处单位体22222222300022)sin()sin()sin()2( 000

15、zyxzyxLzzLyyLxxnnnmLhmkEznLynLxnLL，可得到方程的解为：入固定边界条件：采用分离变量法，并代该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电子的输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行波解。 zkykxkirk izyxAeAe 222222222 2 2 2111 zyxzzzyyyxxxLikLikLiknnnmLhmkEZnnLkZnnLkZnnLkeeezLzyLyxLxzyx周期性边界条件：通过周期性边界条件导致了波矢k 的量子化。金属中电子的能量是不连续的、分立的，每一组nx、 ny、 nz确定了一个波矢k，对

16、应两个量子态。它是自由电子波函数，是前进的平面波，称为行波解为晶格常数其中a 222 2 2 2222222222NaLKLnJLnILnKkJkIkkZnnLkZnnLkZnnLknnnmLhmkEAeAezyxzyxzzzyyyxxxzyxzkykxkirk izyx波矢k2,2NnnnNzyxKLnJLnILnkzyx 222倒易点阵波矢空间空间k321NaLNaLNaLzyxzyxnNanNanNanLnLnLk 2电子具有的波长22Nb33Nb11Nb 由于每一个k k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。3zz2yy1xxLnKLnKLnK其中 21,0,zyxnnn图2.5 K空间的状态分布33333