刚体的基本运动

1、THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系n平移平移n定轴转动定轴转动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 2.1 刚体的平行移动刚体的平行移动 2.2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动 2.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 2.4 轮系的传动比轮系的传动比 2.5 角速度与角加速度的矢量表示角速度与角加速度的矢量表示 点的速度与加速度的矢积表示点的速度与加速度的矢积表示 第二章 刚体的基本运动THEORETICAL MECHAN

2、ICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 重点和难点重点和难点1重点重点 （1）两种基本运动形式的整体运动规律和其上各）两种基本运动形式的整体运动规律和其上各点运动轨迹、速度、加速度的求解。点运动轨迹、速度、加速度的求解。 （2）定轴轮系传动比的计算。）定轴轮系传动比的计算。2难点：难点： 角速度、角加速度的矢量表示和点的速度、加速角速度、角加速度的矢量表示和点的速度、加速度的矢积表示。度的矢积表示。THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始位刚体运动时

3、，若其上任一直线始终保持与它的初始位置置平行平行，则称为刚体的，则称为刚体的平行移动平行移动，简称为，简称为平移平移或或平动平动。 2.1 刚体的平行移动刚体的平行移动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 第二章第二章 刚体的基本运动刚体的基本运动 2.1 刚体的平行移动刚体的平行移动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系直线平移直线平移电梯的升降电梯的升降曲线平移曲线平移荡木荡木AB的运动的运动平移刚体上任一点的轨迹可能是直平移刚体上任一点的轨迹可能是

4、直线或曲线线或曲线 2.1 刚体的平行移动刚体的平行移动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系结论：结论：刚体平移时，体内所有各点的轨迹形状相同。刚体平移时，体内所有各点的轨迹形状相同。在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和加速度。在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和加速度。则平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。则平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 ABBArrr ttddddBArr BAvvBAaadd0BAr trBA 2.1 刚体的平行移动刚体的平行移动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学

5、土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 2.2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动刚体绕定轴转动的特点刚体绕定轴转动的特点：当：当刚体运动时，其上刚体运动时，其上( (或或其扩展其扩展部分部分）有一直线始终固定不）有一直线始终固定不动，而其它各点则绕此直线动，而其它各点则绕此直线作圆周运动。作圆周运动。保持不动的那条直线叫做保持不动的那条直线叫做转转动轴动轴。 THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系刚体作定轴转动的特点刚体作定轴转动的特点2.3.4.ox线量因点而异，但角量相同，用角量描述刚体的线量因点而异，但角量相

6、同，用角量描述刚体的整体运动规律。整体运动规律。p ) rz 2.2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系1. 1. 转动方程转动方程 平面平面：固定且通过固定且通过z轴轴 平面平面：与刚体固连与刚体固连)(tf转动方程：转动方程： 单位：单位：弧度弧度（rad） zxO定平面定平面动平面动平面(P) 用右手螺旋定则来确定转用右手螺旋定则来确定转角的正负号角的正负号从从z 轴的正向往负向看去，轴的正向往负向看去，逆时针转向为正逆时针转向为正，反之为负反之为负。 2.2 刚体绕定轴的转动刚体绕

7、定轴的转动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系t t瞬时瞬时 刚体的转角为刚体的转角为 间隔间隔 t t后后 刚体的转角为刚体的转角为 刚体在刚体在 t t时间内的角位移时间内的角位移: :刚体的角速度刚体的角速度: : tttddlim0单位：弧度单位：弧度/ /秒秒(rad/s)(rad/s)2.2.角速度角速度描述刚体定轴转动的快慢程度描述刚体定轴转动的快慢程度30n 式中n为转速 单位：转/分(r/min)。oxp ) rz0 )0 0 2.2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动THEORETICAL MECHANI

8、CS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系3.3.角加速度角加速度描述角速度变化的快慢程度描述角速度变化的快慢程度 220ddddlimtttt 与与 同号，刚体加速转动；同号，刚体加速转动；与与 异号，刚体减速转动。异号，刚体减速转动。单位：弧度单位：弧度/秒秒2 (rad/s2 ) 2.2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系匀速转动和匀变速转动匀速转动和匀变速转动与点的运动相类似。与点的运动相类似。t0当 =常数常数,为匀速转动匀速转动 0202200022

9、1 ttt当 =常数常数,为匀变速转动匀变速转动 2.2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 2.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度1.1.运动方程运动方程 M为刚体内任一点，为刚体内任一点，OM=R，称之为转动半径。，称之为转动半径。在运动的初瞬时，在运动的初瞬时，M点与固点与固定平面定平面的点的点MO重合。取重合。取点点MO为圆周弧坐标的原点，为圆周弧坐标的原点，当刚体转动当刚体转动 角时，角时，M点的点的弧坐标，即弧坐标，即动点动点M沿其圆周沿其圆周轨迹的运

10、动方程为轨迹的运动方程为 RMMs0THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系2. 2. 速度速度 RtRtsvdddd转动刚体内任一点的速度的代数值等于该点的转动转动刚体内任一点的速度的代数值等于该点的转动半径与刚体的角速度的乘积。半径与刚体的角速度的乘积。 速度的方向沿圆周的切线方向，指向与角速度的转速度的方向沿圆周的切线方向，指向与角速度的转向一致。向一致。转动刚体上各点的速度方向与其转动半径垂直。转动刚体上各点的速度方向与其转动半径垂直。速度的大小与转动半径成正比。速度的大小与转动半径成正比。 2.3 转动刚体内各点的速

11、度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系3. 3. 加速度加速度M点切向、法向加速度点切向、法向加速度 tvaddt 2nva Ra t2nRa R 切向加速度沿该点轨迹的切线方向。指向由角加速度切向加速度沿该点轨迹的切线方向。指向由角加速度的的正负号来确定。如正负号来确定。如为正值，则为正值，则at的指向应与刚体逆时针转向一的指向应与刚体逆时针转向一致。致。法向加速度总是沿着转动半径的方向法向加速度总是沿着转动半径的方向, ,指向圆心指向圆心。 ta 2.3 转动刚体内各点的速度和加速度

12、转动刚体内各点的速度和加速度THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 M点的加速度点的加速度a等于其切等于其切向加速度和法向加速度的向加速度和法向加速度的矢矢量和量和 。ntaaa 4222 Raaant大小大小2tan ntaa2arctan 方向方向 在同一瞬时，刚体内在同一瞬时，刚体内各点的加速度与其转动半各点的加速度与其转动半径的夹角径的夹角是相同的是相同的 ta 2.3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水

13、利学院工程力学系第二章第二章 刚体的基本运动刚体的基本运动例例 题题解：解：AB杆为平移，杆为平移，O1A为定轴转动。根据为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬平移的特点，在同一瞬时，时，M、A两点具有相同两点具有相同的速度和加速度。的速度和加速度。 例例2-1 平行四连杆机构在图示平面内运动。平行四连杆机构在图示平面内运动。 m， m， m，如，如 按按 的规律转动，其中的规律转动，其中 以以rad计计，t以以s计计。 s时时，M点的速度与加速度。点的速度与加速度。 2 . 021BOAO6 . 021ABOO2 . 0AMAO1t158 . 0tTHEORETICAL MECHANICS山东

14、大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系A A点作圆周运动，其运动方程为点作圆周运动，其运动方程为tAOs313ddtsvA（m/s) 0ddt tvaA2212452 . 09AOvaAAn（m/s）2 . 01AO(m)， 122 . 04 . 2 此时此时AB杆正好第六次回到起始的水平位置杆正好第六次回到起始的水平位置O点处点处 、 的方向如图示的方向如图示 MvMa例例 题题THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 例例2-2 某主机采用一台电动机带动，起动时，电动机转速某主机采用一台电动机带动，

15、起动时，电动机转速在在5s内由零均匀升到内由零均匀升到n500 r/min，此后由此转速作匀速运，此后由此转速作匀速运动如图示。试计算：动如图示。试计算：(1)电动机启动阶段内的角加速度；电动机启动阶段内的角加速度；(2)10s钟内电动机转过的转数。钟内电动机转过的转数。在起动阶段电动机作匀变速转动在起动阶段电动机作匀变速转动 t 0解解: :(1)角加速度角加速度3.523050030nrad/s 46.1053 .52 rad/s252.305例例 题题THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系（2）电动机在）电动机在10s

16、内转过的转数在内转过的转数在t15s内内,电动机作电动机作匀变速转动，转过的角度为匀变速转动，转过的角度为8 .130546.1021212211 trad从从t15 s后，电动机作匀速转动，到后，电动机作匀速转动，到t210 s时，转时，转过的角度为过的角度为, rad。所以，。所以，电动机在电动机在10s内共转过的角度为内共转过的角度为262)510(3 .522trad8 .3922628 .13021 因为每转等于因为每转等于2 rad，所以，所以 以转数表示有以转数表示有5 .6228 .392转转例例 题题THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工

17、程力学系土建与水利学院工程力学系 例例2- 3 轮子绕轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径成成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。 0 00, 0, 0. 0.例例 题题THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系解解:首先画出运动量分析的草图首先画出运动量分析的草图: : 0000t3d/d60tan22nttRRaattt000231d3d0)311ln(33d31d00000ttttaOM60tana例例 题题TH

18、EORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系aOM60tana 和和 的关系的关系:31dddd3d/d22tt3lnd3d1000d3d30e例例 题题THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系2.4 轮系的传动比轮系的传动比一一. .齿轮传动齿轮传动定义定义齿轮传动比齿轮传动比EFEFFEEFZZrriEFvv EFvv EEFFrr1.1.内啮合内啮合THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系CDD

19、CDDCCrZirZ 成正比2121 602nnn2.外啮合外啮合11221,22211nrZinrZ “”号表示角速度的转向相同，为内啮合情形号表示角速度的转向相同，为内啮合情形 “”号表示转向相反，为外啮合情形号表示转向相反，为外啮合情形 2.4 轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系11221,22211nrZinrZ 此结论对于锥齿轮传动和带此结论对于锥齿轮传动和带轮传动同样适用。轮传动同样适用。在一些复杂轮系（如变速器）在一些复杂轮系（如变速器）中包含有几对齿轮。可将每一对中包含有几对齿轮。

20、可将每一对齿轮的传动算出后，将它们连乘齿轮的传动算出后，将它们连乘起来，变为可得总的传动比。起来，变为可得总的传动比。 2.4 轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 主动轮和从动轮的半径分别为主动轮和从动轮的半径分别为r1和和r2角速度分别角速度分别为为 1和和 2。如不考虑带的厚度，并假定带与带轮间。如不考虑带的厚度，并假定带与带轮间无相对滑动。无相对滑动。带轮的带轮的传动比传动比 122112rri即两轮的角速度与其半径成反比，转动方向相同。即两轮的角速度与其半径成反比，转动方向相同。 2.4

21、轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系如果照图中的方向转动如果照图中的方向转动轮子，大家看看哪个笼轮子，大家看看哪个笼子会被打开、哪个笼子子会被打开、哪个笼子会被关上。会被关上。 2.4 轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系蛇和猫开蛇和猫开,企鹅被关住了。企鹅被关住了。2.4 轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系

22、例例 题题例例2-4 图为减速器，轴图为减速器，轴为主动轴，与电动机相联。为主动轴，与电动机相联。已知电动机转速已知电动机转速n1450r/min，各齿轮的齿数，各齿轮的齿数z114，z242，z320，z436。求减速箱的总传动比。求减速箱的总传动比i14及轴及轴的转速。的转速。2.4 轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系轴轴与与的传动比为的传动比为 122112zznni轴轴与与的传动比的传动比 为为343223zznni从轴从轴至轴至轴的总传动比为的总传动比为2312341232213113i

23、izzzznnnnnnirpm5268rpm451450452036144212133113.innnni轴轴的转向如图所示。的转向如图所示。例例 题题2.4 轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 传动系统的总传动比等于各级传动比的连乘积，传动系统的总传动比等于各级传动比的连乘积，它等于轮系中所有从动轮（这里指轮它等于轮系中所有从动轮（这里指轮2及轮及轮4）齿数）齿数的连乘积与所有主动轮（这里指轮的连乘积与所有主动轮（这里指轮1及及3）齿数的连）齿数的连乘积之比。乘积之比。 例例 题题2.4 轮系的

24、传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系Dn1例例2-5 2-5 图中是带式输送机，已知主动轮图中是带式输送机，已知主动轮的转速的转速n1 1是是1200 1200 r/min，齿数，齿数z1 1=24=24，齿轮，齿轮与与用链条联动，齿数分别是用链条联动，齿数分别是z3 3=15=15和和z4 4=45=45。带轮。带轮和齿轮和齿轮相固连，直径相固连，直径D等于等于4646cm，如要求，如要求输送带的速度输送带的速度v大约等于大约等于2.2.4m/s ，求轮，求轮应有的齿数应有的齿数z2。例例 题题2.4

25、轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系解解: :对于直接啮合的齿轮或用齿条联动的一对齿轮，转对于直接啮合的齿轮或用齿条联动的一对齿轮，转速与齿数成反比。以速与齿数成反比。以 n 表示转速，则：表示转速，则：, ,5432nnnn43342112 ,zznnzznn432114zzzznn14minr 10060Dvn96443112znzznzDn1例例 题题2.4 轮系的传动比轮系的传动比THEORETICAL MECHANICS山东大学山东大学 土建与水利学院工程力学系土建与水利学院工程力学系 为了确定刚体定轴转动的角速度的全部性质，应该知道为了确定刚体定轴转动的角速度的全部性质，应该知道转转动轴的位置、角速度的大小动轴的位置、角速度的大小(转动的快慢转动的快慢)和转动方向这三个因和转动方向这三个因素素。这三个因素可用一个矢量表示出来，称为角速度矢，用。这三个因素可用一个矢量表示出来，称为角速度矢，用 表示。表示。 2-5 2-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度 右手螺旋规则右手螺旋规则方向：方向：大小大小：tddk dkktt ddd角加速度