切线的性质和判定

1、切线的性质和判定切线的性质和判定直线和圆的位置关系2 赵集镇一初中赵集镇一初中 九四班九四班 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？出的方向是什么方向？2 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？么方向？情景导入经过半径的外端且垂于这条半径经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。 条件：条件：(1)经过半径的外端；经过半径的外端；

2、圆的切线判定定理：圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；垂直于过该点半径； OAllOA，且，且l 经过经过O上上 的的A A点点直线直线l是是O的切线的切线符号语言表达符号语言表达说明：说明：在此定理中，题设是在此定理中，题设是“经过半径的外端经过半径的外端”和和“垂直于垂直于这条半径这条半径”，结论为，结论为“直线是圆的切线直线是圆的切线”，两个条件缺一不，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：切线：定理辨析OAOAAO经过半径外端并且垂直于这条半径经过半径外端

3、并且垂直于这条半径的直线是圆的切线的直线是圆的切线。判断下图中的判断下图中的L L是否为是否为O O的切线的切线? ?半径半径外端外端垂直垂直证明一条直线为圆的切线时，必须证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：过半径外端两个条件缺一不可：过半径外端垂直于这条半径。垂直于这条半径。1 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)(1)与圆与圆只有一个公共点只有一个公共点的直线是圆的切线；的直线是圆的切线；(2)(2)到圆心的到圆心的距离等于半径距离等于半径的直线是圆的的直线是圆的切线；切线；(3)(3)过半径外端点且和半径垂直的过半径外端点且和半径垂直的

4、直线直线是圆的切线；是圆的切线；(d=r)(d=r)归纳：归纳：OCBA这种证明方法简记为：这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证证切线，连半径，证垂直垂直”注意：注意：使用此方法时使用此方法时必须已知直线与圆有必须已知直线与圆有一公共点。一公共点。练 习练 习 1 、 如 图、 如 图 4 ， A B 是是 O 的 直 径 ，的 直 径 ，ABC=45，AC=AB，AC是是O的切线吗？的切线吗？为什么？为什么？ BACO解：解：AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即即ABAC AB是是 O的直径的直径 AC是是 O的切线的切线变式练习练习练习2、如图、如图:线段线段AB经过

5、圆心经过圆心O，交，交 O于点于点A、C，BAD=B = 30，边，边BD交交圆于点圆于点D。BD是是 O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？ AOBCD解：解：BD是是 O的切线的切线连接连接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 ODB=900 即：即： ODDB BD是是 O的切线的切线变式练习一般情况下，要证明一条直线为圆一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。直线垂直于这条半径。证明：连结证明：连结OPOP。 OB=OAOB=OA，

6、BP=PCBP=PC， OPACOPAC。 又又 PEACPEAC， PEOPPEOP。 PEPE为为0 0的切线。的切线。变式练习驶向胜利的彼岸已知已知: :ABCABC内接于内接于O O，ABAB是是O O的的直径，直径，CAD=ABCCAD=ABC，判断直线，判断直线ADAD与与O O的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由. .21DBOAC已知已知: :ABCABC内接于内接于O O，ABAB是是O O的弦，的弦，CAD=ABCCAD=ABC，判，判断直线断直线ADAD与与O O的的位置关系，并说明位置关系，并说明理由理由. .1DOACBE2变式变式 : :证明：过证明：过O

7、O作作OEACOEAC于于E E。 AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD OD OD是是O O的半径的半径 ACAC是是O O的切线。的切线。证明直线与圆相切，但无切证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明垂线，再证明d=rd=r即可即可例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? (1) (1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点, ,则连结这点则连结这点和圆心和圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂再证所作半径与这直线垂直。简记为：直。简记为：连半径连半径, ,证垂直

8、证垂直。 (2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线, ,再证垂线再证垂线段长等于半径长。简记为：段长等于半径长。简记为：作垂直作垂直, ,证半径证半径。思考直线直线L是是 O的切线，的切线，A是是切点。切点。 LOA于于A点点简记为：简记为：“知切线，连半径，得垂直知切线，连半径，得垂直”探索切线性质探索切线性质假设假设ABAB与与CDCD不垂直不垂直, ,过点过点O O作一条直径垂直于作一条直径垂直于CD,CD,垂足为垂足为M,M,则则OMOA,OMOA,即圆心到直线即圆心到直线

9、CDCD的距离的距离小于小于O O的半径的半径, ,因此因此,CD,CD与与O O相相交交. .这与已知条件这与已知条件“直线与直线与O O相相切切”相矛盾相矛盾. .CDBOA所以所以ABAB与与CDCD垂直垂直. .M例例3如图，如图，AB是是 O的直径的直径, C为为 O上一点，上一点，AD和过点和过点C的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为D. 求证：求证：AC平分平分DABAODCB证明：连接证明：连接OCCD 是是 O的切线，的切线，OCCD.又又ADCD , OC/AD.ACO CAD .又又OC=OD, CAO ACO CAD CAO ,故故AC平分平分DAB1， 如图：

10、如图：AC是是 O的切线，的切线，B=600。求。求CAD=BACODAOCB 2，如图：以，如图：以O为圆心的同心圆，为圆心的同心圆，大圆的弦大圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线，C是切是切点，求证：点，求证：C是是AB的中点。的中点。 已知如图，已知如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O是底边是底边BC的的中点，中点， O与腰与腰AB相切于点相切于点D。AC与与 O相切吗？为相切吗？为什么什么?E解：解：AC与与 O相切相切 连接连接OD,作作OEAC OEC=900 AB是是 O的切线的切线ODAB, ODB=900=OEC AB=AC B=C O是是BC的中点的中点OB=OC O

11、BD OCE OD=OE AC与与 O相切相切1. 1. 判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2. 2. 常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等

12、于圆的半径。（段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径作垂直，证半径）l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线3. 3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即即“连半径，得垂直连半径，得垂直”。1.切线和圆只有一个公共点切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直

13、线必过圆心经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质、可归纳为切线的性质、可归纳为:已知直线满足已知直线满足a.过过圆心圆心,b.过切点过切点,c.垂直于切线垂直于切线中任意两个中任意两个,便得到第三便得到第三个结论个结论.总结：总结：切线的性质定理的应用切线的性质定理的应用例例. .已知已知RtRtABCABC的斜边的斜边AB=8cm,AB=8cm,直角边直角边AC=4cm.AC=4cm.以点以点C C为圆心作圆为圆心作圆, ,当半径为多长当半径为多长时时,AB,AB与与C C相切相切解解:(1):(1)过点过点C C作作CDABCDAB于于D.D.AB=8cm,AC=4cm.AB=8cm,AC=4cm.A=60A=60因此因此, ,当半径长为当半径长为 cmcm时时,AB,AB与与C C相切相切. .32BACB=30B=30D 练一练练一练巩固练习巩固练习2、矩形的两边长分别为、矩形的两边长分别为2.5和和5，若以较，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（圆相切的线段最多有（ ）A、0条条 B、 1条条 C、 2条条 D、 3条条D3 3、已知如图、已知如图ABCABC内接于内接于 O