概率统计的解题技巧(共34页)

1、 概率统计的解题技巧【例题解读】考点. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:()等可能性事件(古典概型)的概率：();等可能事件概率的计算步骤： 计算一次实验的基本事件总数; 设所求事件，并计算事件包含的基本事件的个数; 依公式求值; 答，即给问题一个明确的答复.()互斥事件有一个发生的概率：()()(); 特例：对立事件的概率：()()().()相互独立事件同时发生的概率：(·)()·(); ()解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是

2、至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 解答过程提示:例一个总体含有个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 解答过程提示:例从自动打包机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为 解答过程在497.5g内的数共有个，而总数是个，所以有例.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为.现有人接种该疫苗，至少有人出现发热

3、反应的概率为.（精确到）解答提示至少有人出现发热反应的概率为故填.信号源例右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )（）（） （）（） 解答提示由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素

4、与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，所以选.例从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取件，假设事件： “取出的件产品中至多有件是二等品”的概率（）求从该批产品中任取件是二等品的概率；（）若该批产品共件，从中任意抽取件，求事件：“取出的件产品中至少有一件二等品”的概率 解答过程（）记表示事件“取出的件产品中无二等品”，表示事件“取出的件产品中恰有件二等品”则互斥，且，故于是解得（舍去）（）记表示事件“取出的件产品中无二等品”，则若该批产品共件，由（）知其中二等品有件，故例两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本将它

5、们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）解答提示从两部不同的长篇小说本书的排列方法有种，左边本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是种.所以,填.例甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有个红球，个白球；乙袋装有个红球，个白球.由甲，乙两袋中各任取个球.()若，求取到的个球全是红球的概率；()若取到的个球中至少有个红球的概率为，求.标准解答（）记“取到的个球全是红球”为事件.（）记“取到的个球至多有个红球”为事件，“取到的个球只有个红球”为事件，“取到的个球全是白球”为事件. 由题

6、意，得所以, ，化简，得解得，或（舍去），故 .例.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元（）求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率；（）求位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率 解答过程（）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”,， （）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”则，例某公司招聘员工

7、，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） 标准解答记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，则()，()，().() 应聘者用方案一考试通过的概率 (··)(··)(··)(··) ××

8、;()()×××()×××.应聘者用方案二考试通过的概率 (·) (·) (·) ×(×××) ()() () ( ).例某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（）求该选手至多进入第三轮考核的概率. 解答过程（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手进入第四轮才被淘汰的概率（）

9、该选手至多进入第三轮考核的概率考点离散型随机变量的分布列.随机变量及相关概念随机实验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母、等表示.随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（，）的概率（），则称下表.为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（），;（）.常见的离散型随机变量的分布列：（）二项分布次独立重复

10、实验中，事件发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为，并且，其中，随机变量的分布列如下：称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .（） 几何分布 在独立重复实验中，某事件第一次发生时所作的实验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第次独立重复实验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为：例厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为,从中任意取出件进行检验,求至少有件是合格的概率；（）若厂家发给商家件产品中,其中有件不合格,按合同规定该商

11、家从中任取件.都进行检验,只有件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.考查目的本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.解答过程（）记“厂家任取件产品检验，其中至少有件是合格品”为事件 用对立事件来算，有（）可能的取值为 ，记“商家任取件产品检验，都合格”为事件，则商家拒收这批产品的概率所以商家拒收这批产品的概率为例某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概

12、率分别为、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手被淘汰的概率;（）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）考查目的本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.解答过程解法一：（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率（）的可能值为， 的分布列为解法二：（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率（）同解法一考点 离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差()离散型随机变量的数学期望：；期望反映随机变量

13、取值的平均水平.离散型随机变量的方差：；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.基本性质：；.()若(，)，则 ; （这里） ; 如果随机变量服从几何分布，则， 其中.例甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数的期望和方差分别为： ，；工人乙生产出次品数的期望和方差分别为：，由知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但>，可见乙的技术比较稳

14、定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.例.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为商场经销一件该商品，采用期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元表示经销一件该商品的利润（）求事件：“购买该商品的位顾客中，至少有位采用期付款”的概率；（）求的分布列及期望考查目的 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.解答过程（）由表示事件“购买该商品的位顾客中至少有位采用期付款”知表示事件“购买该商品的位顾客中无人采用期付款”， （）的可能取值为

15、元，元，元，的分布列为（元）小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.例.某班有名学生，在一次考试中统计出平均分为分，方差为，后来发现有名同学的成绩有误，甲实得分却记为分，乙实得分却记为分，更正后平均分和方差分别是， ， ， ，解答过程：易得没有改变，而（），（）（×）.答案：考点 抽样方法与总体分布的估计抽样方法简单随机抽样：设一个总体的个数为，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随

16、机数表法.系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区

17、间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.典型例题例.某工厂生产、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为：.现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有件.那么此样本的容量 .解答过程：种型号的总体是，则样本容量.例一个总体中有个个体，随机编号，依编号顺序平均分成个小组，组号依次为，.现用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，规定如果在第组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第组中抽取的号码是 解答过程：第组的号码为 ，当时，第

18、组抽取的号的个位数字为的个位数字，所以第组中抽取的号码的个位数字为 ，所以抽取号码为例考查某校高三年级男生的身高，随机抽取名高三男生，实测身高数据（单位：）如下： 作出频率分布表；画出频率分布直方图.思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：最低身高为，最高身高，其差为。确定组距为，组数为，列表如下： 频率分布直方图如下：小结： 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功估计总体分布的基本功。考点 正态分布与线性回归.正态分布的概念及主要性质（）正态分布的概念如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ， 其

19、中、为常数，并且，则称服从正态分布，记为（，）.（）期望 ，方差.（）正态分布的性质正态曲线具有下列性质:曲线在轴上方，并且关于直线对称.曲线在时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.（）标准正态分布当，时服从标准的正态分布，记作（，）（）两个重要的公式, .（）与二者联系. 若，则 ;若，则.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量

20、之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对个样本数据（），（），（），其回归直线方程，或经验公式为：.其中，其中分别为、的平均数.例.如果随机变量（，），且，则（等于( )（） .（）（）.（）（） .（）（）解答过程：对正态分布，故（）（）（）（）（）（）（）.答案：例. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在 ，液体的温度（单位：）是一个随机变量，且（，）.（）若°，则<的概率为 ；（）若要保持液体的温度至少为 的概率不低于，则至少是 ?（其中若（，），则（）（<），（）（<）.思路启迪：（）要求（<

21、;）（），（，）不是标准正态分布，而给出的是（），（），故需转化为标准正态分布的数值.（）转化为标准正态分布下的数值求概率，再利用，解.解答过程：（）（<）（）（）（）（）.（）由已知满足（），即（<），（<）.（）（）.故至少为.小结：（）若（，），则（，）.（）标准正态分布的密度函数（）是偶函数，<时，（）为增函数，>时，（）为减函数.例设，且总体密度曲线的函数表达式为：，. （）则，是 ；（）则及的值是 .思路启迪： 根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出和.利用一般正态总体与标准正态总体（，）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.

22、解答过程：由于，根据一般正态分布的函数表达形式，可知，故（，）.又. 小结：通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.例 公共汽车门的高度是按照确保以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高（，）（单位：），则车门应设计的高度是 （精确到）？思路启迪：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率小于.解答过程：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为，由题意，需使()<. （，），。查表得，解得>，即公共汽车门的高度至少应设计为180cm，可确保以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.【专题训练与高考预测】一.选择题.下面关于离散型

23、随机变量的期望与方差的结论错误的是 （）.期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值集中与离散的程度.期望与方差都是一个数值，它们不随实验的结果而变化.方差是一个非负数.期望是区间，上的一个数.要了解一批产品的质量，从中抽取个产品进行检测，则这个产品的质量是 （ ）. 总体 .总体的一个样本 .个体 . 样本容量.已知的分布列为： 设则的值为 （ ） . . . . .设，则的值分别为 （） ， . ， . ， . ，.已知随机变量 服从二项分布，则等于 （）. . . .设随机变量的分布列为,其中,则等于 ( ). . . .设件产品中有件废品,从中抽取件进行检查,则查得废品数的数

24、学期望为( ) .都不对.某市政府在人大会上,要从农业、工业、教育系统的代表中抽查对政府工作报告的意见.为了更具有代表性,抽取应采用 () .抽签法 .随机数表法 .系统抽样法 .分层抽样.一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是 ( ) .某校高三年级名学生已编号为，为了解高三学生的饮食情况，要按：的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取名学生的编号可能是（ ）， ， ， ，.同时抛掷枚均匀硬币次,设枚硬币正好出现枚正面向上枚反面向上的次数为,则的数学期望是 ( ) .已知,且,则()等

25、于 ( )A.0.1 .某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有个、个、个、个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这个销售点中抽取一个容量为的样本，记这项调查为；在丙地区中有个特大型销售点，要从中抽取个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是.分层抽样法，系统抽样法.分层抽样法，简单随机抽样法.系统抽样法，分层抽样法.简单随机抽样法，分层抽样法.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6 二.填空题.某工厂规定:工人只要生产出一件甲级产品发奖金元,生产出一件乙级产品发奖金元,若生产出一件次品则扣奖金元,某工人生产甲级品的概率为,乙级品的概率为,次品的概率为,则此人生产一件产品的平均奖金为 元. . 同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量 表示结果中有正面向上, 表示结果中没有正面向上,则 . 甲、乙两种冬小麦实验品种连续年的平均单位面积产量如下（单位： ）品种第年第年第年第年第年甲乙其中产量比较稳定的小麦品种是 .一工厂生产了某种产品件,它们来自甲、乙、丙条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产