随机向量实用教案

1、一、多元(du yun)概率分布 一个向量，若它的分量(fn ling)都是随机变量，则称之为随机向量。 随机变量x的分布函数： 随机向量 的分布函数：12,px xxx F aP xa121122,pppF a aaP xa xaxa第1页/共39页第一页，共39页。三、多元(du yun)概率密度函数 一元的情形： 多元的情形： 多元密度(md)f (x1, ,xp)的性质： d( )d ,daF xF af xxf xx1111111( ,)( ,)dd( ,)( ,)paapppppppF aaf xxxxf xxF xxxx1111(1) ( ,)0,( ,)dd1ppppf xxx

2、xf xxxx， 对一切实数；(2)。第2页/共39页第二页，共39页。四、边缘(binyun)分布 设x是p维随机向量，由它的q(0。 （2）设A为常数矩阵，b为常数向量，则 当p=1时，上述等式就是我们熟知(shzh)的如下等式： VVAxbAx A 2V axba V x第13页/共39页第十三页，共39页。 例2.3.2 设随机向量x=(x1,x2,x3)的数学期望和协方差矩阵(j zhn)分别为5412219372325 和令y1=2x1x2+4x3, y2=x2x3, y3=x1+3x22x3,试求y=(y1,y2,y3)的数学(shxu)期望和协方差矩阵。第14页/共39页第十四

3、页，共39页。例2.3.3 的分量之间存在(cnzi)线性关系（以概率1）。在实际问题中，有时|=0，其原因是指标之间存在(cnzi)着线性关系，如某一指标是其他一些指标的汇总值，这在一般数据报表中是常出现的。我们通常可以通过删去“多余”指标的办法来确保|0。因此，我们总假定 0并不失一般性，这样可保证1存在(cnzi)，从而可使数学问题得以简化。 0 x第15页/共39页第十五页，共39页。（3）设A和B为常数(chngsh)矩阵，则（4）设 为常数(chngsh)矩阵，则Cov,Cov,Ax ByAx y B1212,nmA AAB BB和1111Cov,Cov,nmnmiijjiijji

4、jijA xB yAx yB第16页/共39页第十六页，共39页。推论 证明(zhngmng) （先证推论，再证性质（4）1111111111Cov,Cov,nmijijnnmmiijjiijjnmiijjijnmijijEEEEEE xyxxyyxxyyx y1111Cov,Cov,nmnmijijijijxyx y第17页/共39页第十七页，共39页。 （5）设k1,k2, ,kn是n个常数(chngsh)，x1,x2, ,xn是n个相互独立的p维随机向量，则 111111Cov,Cov,Cov,nmnmiijjiijjijijnmiijjijA xB yA x B yAx yB211nn

5、iiiiiiVkk Vxx第18页/共39页第十八页，共39页。三、相关矩阵 随机变量(su j bin lin)x和y的相关系数定义为 的相关阵定义为 Cov,x yx yV x V y1212( ,)(,)pqx xxy yyxy和111212122212,qqpppqx yx yx yxyxyxyxyxyxyx y第19页/共39页第十九页，共39页。 若(x,y)=0，则表明x和y不相关。 x=y时的相关阵(x,x)称为(chn wi)x的相关阵，记作R=(ij)，这里ij=(xi,xj), ii=1。即 R=(ij)和 =(ij)之间有关系式： R=D1D1 其中 ；R和的相应元素之

6、间的关系式为 12121212111ppppR1122diag,ppD第20页/共39页第二十页，共39页。前述关系式即为ijijiijj1212121211111112121222222212111110000110000110000pppppppppppppp第21页/共39页第二十一页，共39页。标准化变换(binhun) 在数据处理时，常常因各变量的单位不完全相同而需要对每个变量作标准化变换，最常用的标准化变换是令 记 ，于是即标准化后的协差阵正好是原始向量的相关阵。可见(kjin)，相关阵R也是一个非负定阵。*,1,2,iiiiixxip*12(,)px xxx*,EVxxR0第22

7、页/共39页第二十二页，共39页。矩阵(j zhn)代数的相关知识第23页/共39页第二十三页，共39页。1 定义(dngy)111212122212qqpppqaaaaaaaaaApq矩阵(j zhn)：12paaaap维列向量(xingling)：q维行向量： a=(a1,a2, ,aq)向量a的长度：22212paaaaa a单位向量：1a第24页/共39页第二十四页，共39页。 若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。 若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22, ,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。 若方阵A的对角线下方的元素全为

8、零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。 若方阵A的对角线上方(shn fn)的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。第35页/共39页第三十五页，共39页。正定(zhn dn)矩阵和非负定矩阵的基本性质 (1)设A是对称矩阵，则A是正定(或非负定)矩阵，当且仅当A的所有(suyu)特征值均为正(或非负)。 (2)设A0，则A的秩等于A的正特征值个数。 (3)若A0，则A10。 (4)设A0，则A0，当且仅当|A|0。 (5)若A0(或0)，则|A|0(或0)。 (6)BB0，对一切矩阵B成立。 (7)若A0(或0)，则存在矩阵L 0(或0)，使得 L称为A的平方根矩阵，记作 。 (8)设A0是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B，使得A=BB。2LA 2/1A第36页/共39页第三十六页，共39页。平方根矩阵(j zhn)的性质 若A为p阶对称矩阵(j zhn)，有谱分解 则 有如下性质：11221210=,0ppi i iipp ttA TTt ttt tt121pi i iiAtt第37页/共39页第三十七页，共39页。平方根矩