随机变量及分布实用教案

1、问题(wnt)的提出实际中，人们(rn men)经常对随机变量的函数很感兴趣.1、已知圆的直径(zhjng) d 的分布，求园的面积S= d 2 的分布.例如：2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布已知，求 位移S=vt的分布.归纳：1、随机变量X 的分布已知，Y=g (X) ，求 Y 的分布？2、设随机变量(X,Y)的联合分布已知，Z=g (X,Y) , 如何 由 (X,Y) 的分布求 Z的分布？第1页/共37页第一页，共37页。一、一维随机变量(su j bin lin)函数Y=G(X)的分布解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应(duyng)值 5，7，13X=a与Y=2a+

2、3两事件同时(tngsh)发生，两者具有相同的概率.故1、离散型Y=g(X)第2页/共37页第二页，共37页。X -2 -1 0 1 2Y 2 0 0 2 6 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3Y 0 2 6P0.2 0.5 0.3再对等值合并(hbng)第3页/共37页第三页，共37页。解：设X，U的分布函数(hnsh)分别为 FX (x) , FU(u) 2、连续型Y=g(X)设函数(hnsh)Y=g(X)严格单调(递增)Y=g(X)非严格(yng)单调时，分段单调，分段求反函数即可。第4页/共37页第四页，共37页。U 的概率密度第5页/共37页第五页，共37页。当 y0 时,)

3、()(yYPyFY)(2yXP 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，0)(yFY)(xFX)(yFY解： 设Y和X的分布函数分别为 ， 第6页/共37页第六页，共37页。则 Y=X2 的概率密度为：第7页/共37页第七页，共37页。 启示(qsh)：从例3-4中看到，在求F(y)=P(Yy) 过程中，关键就是设法从 g(X) y 中解出X，从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .目的(md)：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率. 求连续型随机变量(su j bin lin)F(x)或f(x)的通用做法。第8页/共37页第八页，共37页。 例5（P63,例4） 设随机变量(su

4、 j bin lin)X在(0,1)上服从均匀分布。求：（1）(略).（2）Y=-2lnX的概率密度.第9页/共37页第九页，共37页。二、二维(X,Y)函数(hnsh)的分布1、离散(lsn)型Z=g(X,Y)第10页/共37页第十页，共37页。X Y - 1 1 2-12 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20（X，Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2) P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解: 将(X,Y)及各函数值列表(li bio)如下：第11页/共37页第十一页，共37页。合并后可得各变量

5、的分布(fnb)律如下：Z=X+Y - 2 0 1 3 4P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20W=X-Y - 3 -2 0 1 3P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20M=max(X,Y) - 1 1 2P 5/20 2/20 13/20 N=min(X,Y) - 1 1 2P 16/20 3/20 1/20 第12页/共37页第十二页，共37页。设(X，Y)的联合(linh)概率密度为 f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度. 分析: Z=X+Y的分布(fnb)函数是积分区域D=(x, y): x+y z是直线(zhxin)x+y =z 左下方半平面2、Z=X+

6、Y的分布(重点） FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)第13页/共37页第十三页，共37页。Z=X+Y的概率密度为 由对称性特别(tbi): 当X和Y独立时，设(X,Y) 的边际密度为fX(x) , fY(y)卷积公式(gngsh) 第14页/共37页第十四页，共37页。解: 由卷积公式(gngsh)第15页/共37页第十五页，共37页。解: 由卷积公式(gngsh)第16页/共37页第十六页，共37页。第17页/共37页第十七页，共37页。设X、Y是两相互独立的随机变量，分布(fnb)函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布(fnb)函数.3、

7、 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布(fnb)（重点）FM(z) =P(Mz)=P(max(X,Y) z)=P(Xz,Yz)=P(Xz)P(Yz)= FX(z)FY(z) 即 FM(z)= FX(z)FY(z) FN(z) =P(Nz)=P(min(X,Y) z)=1-P(min(X,Y) z)=1-P(Xz,Yz)=1- P(Xz)P(Yz)即 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) 第18页/共37页第十八页，共37页。特例(tl): 当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时N=min(X1,Xn)的分布(fnb)函数是M=max(X1,Xn)的分布(fnb)

8、函数为: FN(z)=1-1-F(z) n推广:设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 (i =0,1，, n) ，则FM(z)=F(z) n第19页/共37页第十九页，共37页。解（1）串联方式： 系统(xtng)L的寿命 Z=min(X,Y)第20页/共37页第二十页，共37页。第21页/共37页第二十一页，共37页。（2）并联方式： 系统(xtng)L的寿命 Z=max(X,Y)( )( )ZZfzFz第22页/共37页第二十二页，共37页。（3）备用方式： 系统(xtng)L的寿命 Z=X+Y第23页/共37页第二十三页，共37页。本节重点(zhngdin)总结一、

9、连续型随机变量(su j bin lin)函数Y=g(X)的分布二、二维连续型(X, Y)函数的分布 1、Z=X+Y的分布。 2、M=Max(X, Y)和N=Min(X,Y)的分布。第24页/共37页第二十四页，共37页。1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算；2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算；3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件(shjin)的概率；4、边际分布律、边际概率密度；4、随机变量独立的定义与性质；5、连续型随机变量函数的分布计算 Y=g(X) 、相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。本章重点(zhngdin)总结第25页/共37页第二十五页，共37页

10、。备选(bi xun)1：若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.解: )()(rYXPrZP=a0br+a1br-1+arb0 由独立性此即离散(lsn)卷积公式r=0,1,2, 第26页/共37页第二十六页，共37页。解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)记1-p=q 备选2：设随机变量X1,X2相互独立(dl),并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2

11、)的分布 .n=0,1,2,第27页/共37页第二十七页，共37页。解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1)11(2)nnnpqqqn=0,1,2,第28页/共37页第二十八页，共37页。第29页/共37页第二十九页，共37页。第30页/共37页第三十页，共37页。第31页/共37页第三十一页，共37页。第32页/共37页第三十二页，共37页。)()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 当0y1时, 第33页/共37页第三十三页，共37页。 =P(0 X arcsiny)+P( -