矩阵的秩与矩阵的初等变换

1、上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强1第五节第五节 矩阵的秩与矩阵的初等变换矩阵的秩与矩阵的初等变换一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换三、三、 初等矩阵初等矩阵四、四、 小结小结上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2.,min 1 . 52阶子式阶子式的的称为称为阶行列式，阶行列式，构成的构成的个元素按原来的次序所个元素按原来的次序所位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的（列列行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义定义kAkknmkkkAnm 一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念. 个个阶子式共有阶子式共

2、有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强3).()(2 . 5ArARAA或或的的秩秩，记记作作矩矩阵阵数数称称为为中中不不为为零零子子式式的的最最高高阶阶矩矩阵阵定定义义).()( 1ARART 、. 0)( oR零，即零，即规定：零矩阵的秩等于规定：零矩阵的秩等于 .,min)(2nmAR 、由定义由定义5.25.2可得下列结论；可得下列结论；上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强4例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3.

3、 03221 ，且且0 A. 2)( AR上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强5例例2 2，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强6，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩

4、阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强7.)(11 . 5kARkkA 阶阶子子式式全全为为零零，则则而而所所有有阶阶子子式式不不为为零零，中中至至少少有有一一个个若若矩矩阵阵定定理理阶阶子子式式全全为为零零，的的所所有有由由矩矩阵阵证证1 kA开开后后知知其其必必为为零零，阶阶子子式式按按行行（或或列列）展展的的任任一一故故2 kA子子式式皆皆为为零零，阶阶进进而而全全部部高高于于1 k.)( kAR 所所以以由由定定义义有有注：注：按定义求矩阵的秩按定义求矩阵的秩需要计算行列式需要计算行列式，故

5、只，故只适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵比较困难比较困难，为此下面介绍一个简便方法。，为此下面介绍一个简便方法。上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强8定义定义12下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；）；记作记作两行两行互换两行（互换互换两行（互换jirrji,1 乘乘以以某某一一行行以以数数02 ）记作记作行乘行乘（第（第iri , .3）记记作作行行上上去去，加加到到第第行行乘乘的的元元素素上上去去（第第后后加加到到另另一一行行对对应应把把某某一一行行各各元元素素乘乘jirri

6、j 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强9定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为初等变换初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr ir 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1( iirr 或或jirr 逆变换逆变换.)(jijirrrr 或或上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强10问题：问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？经过

7、初等变换矩阵的秩变吗？证证矩阵秩的求法矩阵秩的求法).()( BRARBA 则则，经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为先证明：若先证明：若. 0 )( rDrArAR阶子式阶子式的某个的某个，且，且设设 . BRARBA ，我我们们要要证证明明矩矩阵阵实实施施初初等等变变换换后后得得到到不不妨妨设设矩矩阵阵定理定理5.2 对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变。对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变。上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强11时，时，或或当当BABAijirrr 时，分三种情况讨论：时，分三种情况讨论：当当BAjirr ,.rrDDB相对应的子式相对应的子

8、式中总能找到与中总能找到与在在, rrrrrrDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，从而，从而因此因此行行；行行但但不不含含第第中中含含第第）（行行；行行和和第第中中同同时时含含第第）（行行；中中不不含含第第）（jiDjiDiDrrr321上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强12.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子式子式对应的对应的中与中与两种情形，显然两种情形，显然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDDrrrrD , 0 rD若若,非零子式非零子式阶阶行的行的中有不含第中有不含第行知行知中不含第中不含第因因riAiDr

9、.)(rBR 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强13, 0 rD若若).()( BRARBA ，则，则经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为若若 ,AB为为也可经一次初等变换变也可经一次初等变换变又由于又由于.)(, 0rBRDDrr 也有也有则则).()(BRAR 因此因此).()(ARBR 故也有故也有 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学

10、与计算科学学院 王文强14,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(,BRARBA 则则经初等变换变为经初等变换变为若若综上综上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()( TTBRAR ),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强15利用初等行变换求下列矩阵的秩：利用初等行变换求下列矩阵的秩： 97963422644121121112A 9796321132211124121121rr 23 r上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强16 31

11、000620000111041211 9796321132211124121113322rrrr 143rr 3433063550022204121113322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强17C 00000310003011040101 3100062000011104121143rr 342rr B 0000031000011104121143rr 342rr 21rr 32rr .都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵CB上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强

12、18行阶梯矩阵特点：行阶梯矩阵特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；C 00000310003011040101（2）、每个阶）、每个阶梯只有一行。梯只有一行。注：注：从行阶梯矩阵中容易看到其中一个不为零从行阶梯矩阵中容易看到其中一个不为零的最高阶子式，如的最高阶子式，如, 1100010001 . 3)( AR故故即即矩阵矩阵A的秩等于其中不全为零的行的行数的秩等于其中不全为零的行的行数。上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强19.1 的的列列的的其其他他元元素素都都为为零零，且且这这些些元元素素非非零零元元为为即

13、即非非零零行行向向量量的的第第一一个个的的行行最最简简形形，还还称称为为矩矩阵阵行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵AC., 和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵nmA 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形标准形上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强20 00000310003011040101C214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 000

14、00301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵AF上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强21），阶阶单单位位矩矩阵阵（的的左左上上角角是是一一个个)(ARrrF 标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点特点：.其其余余元元素素全全为为零零上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强22等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性

15、）（ AA 1; , 2BAAB则则若若对称性对称性）（. , 3ACAB,BC 则则若若）（传递性等等价价，记记作作与与，则则称称矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换化化为为如如果果矩矩阵阵定定义义BABABA4 . 5 . ,5.2 BRARBA 则则知：若知：若由定理由定理上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强23 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例3的秩的秩求矩阵求矩阵设设AA,41461351021632305023 阶阶梯梯形

16、形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法：上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强24 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强25 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强26 1281216011791201134041461 4146135102

17、1632305023 A4241rrrr 141332rrrr 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强27 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强28定义定义5.4 5.4 若矩阵若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵经过有限次初等变换化为矩阵B,则称则称A与与B等价等价, ,记为记为AB.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反反身身性性; A

18、A.,CACBBA则则若若 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性矩阵等价矩阵等价;,ABBA则则若若上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强29定义定义5.5 5.5 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、三、 初等矩阵初等矩阵 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数互换两行

19、或两列；互换两行或两列； . 30. 2. 1上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强30，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第互互换换)(,jirrjiE互互换换两两行行或或两两列列、1 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强31 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 ).()(0 iErii矩矩阵阵，得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数 1111)( iE行行第第 i上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强32上去上去列列加

20、到另一行加到另一行列列乘某行乘某行、以数、以数)()(03 ，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjiccjiErrijE 1111)(,( jiE行行第第i行行第第j上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强33初等矩阵的应用初等矩阵的应用。阶阶初初等等矩矩阵阵右右乘乘相相当当于于用用相相应应的的实实施施一一次次初初等等列列变变换换，；对对阶阶初初等等矩矩阵阵左左乘乘相相应应的的初初等等行行变变换换，相相当当于于用用实实施施一一次次矩矩阵阵，则则对对是是一一个个设设定定理理AnAAmAnmA 3 . 5简

21、称：简称：左行右列左行右列。对于定理对于定理5.35.3我们在此可以做下面工作直接验证得到。我们在此可以做下面工作直接验证得到。上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强34，得，得左乘左乘阶初等矩阵阶初等矩阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行互换行互换行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强35，右右乘乘矩矩

22、阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列互换列互换列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强36；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)(iriA mnmminiinmaaaaaaaaaAiE212111211)( 行行第第 i类类似似地地，左乘矩阵左乘矩阵以以AiEm)( ).( )(inciAAiE 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结

23、果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强37，左左乘乘矩矩阵阵以以AjiEm)(,( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaaaaaaaaaAjiE2121221111211)(,( ).(jirrijA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强38 ).()(,(ijnccjiAAjiE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmimjmimnijinijinaaaaaaaaaaaaaa

24、ajiAE 1222221111111 )(,(上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强39 ),(),(1；的的逆逆变变换换是是其其本本身身，知知变变换换jiEjiErrji );1()(11 iEiErrii ，知知的的逆逆变变换换为为变变换换，的的逆逆变变换换为为变变换换jijirrrr)( 初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵. )(,()(,(1 jiEjiE知知上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强40 定理定理5.4 5.4 设设A为可逆阵，则存在有限个初等方阵为可逆阵，则存在有限个初等

25、方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强41利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有，有时，由时，由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAP

26、PPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强42. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例4 4 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强43 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r上一页上一页下一页下一页返返 回回湘潭大学数学与计算科学学院 王文强44四、小结1. 矩阵秩的