欧拉积分及其应用(共14页)

1、欧拉积分及其应用摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma函数和Bate函数的性质及其在求定积分时的应用。对r函数与B函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出的计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。关键词：含参变量积分； Gamma函数； Bate函数； 余元公式1、 知识预备 1.1、(Bohr-Mollerup定理)如果定义于（0，+ ）的函数f（x）满足以下条件：（1）f(x)>0 （0，+ ） f(1)=1；（2） （0，+ ）（3）为凸函数，那么必有f(x)=

2、r(x) （0，+ ）。 1.2、对于p不是整数时 1.3、对于0<p<1时，1.4、瓦里斯公式： 1.5、对于，我们有 2、欧拉积分2.1、定义含参变量的广义积分 s>0 (1) p>0,q>0 (2)它们统称欧拉积分，其中前者又称格马Gamma函数（r函数），后者称贝塔Bate函数（B函数）。（即r函数与B函数实际上是含参变量非正常积分表示的两个特殊函数）2.2、性质2.2.1、r函数的性质（1）r(s)在定义域时连续，且具有各阶连续导数（2）递推公式 (s>0) 如果s取整数n，那么有（3）延拓后r(s)的函数在外均收敛（4）根据及=， =可得到图像：

3、（5）函数的其他形式）当 (p>0),则有r(s)= = （s>0,p>0）当,则有r(s)= = = 2.2.2、B函数的性质（1）在p>0,q>0内连续（2）对称性：（3） (p>0,q>1) (p>1,q>0) (p>1,q>1) （4）B函数的其他形式 ）在（2）式中，令，则有）在（2）式中，令 (y>0)，于是有再对第二个式子令，整理得：所以（p>0,q>0）2.3、B函数与r函数联系 p>0,q>0证明：对于任意取定的q>0，我们考察这样的一个函数，以下证明该函数满足预备知识中定理

4、的三个条件：（1） 显然有f(p)>0 （0，+ ），并且（2）（3） 对于任意的q>0，因为和)都是变元x的凸函数，所以也是变元x的凸函数。这样我们就证明了f(p)=r(p)3、有关欧拉公式的证明3.1、证明余元公式r(s)r(1-s)= 注：余元公式的证明有很多方法，下面我就介绍一个比较简单的方法。证明：因 p>0,q>0;令q=1-p，则有 r(p)r(1-p)=B(p.1-p)= 再令，则 ，那么上式可化成（预备知识3），由预备知识2得r(p)r(1-p)= 即r(s)r(1-s)= 3.2、证明 证：由r函数的性质（2）得其中同理我们利用得到（证明略）4、欧拉

5、积分的应用4.1、通过对式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，再利用欧拉积分的有关性质，计算出积分的值。例题1 求积分 解：令，则， 其实例题2 求积分解： 例题3 求积分 解： 当然，此题也可以根据B函数的性质（4）得到例题4 求积分解： 4.2、形如定积分的计算 例题1 对积分求值。 解：令，则，由定义及余元公式得 其实对于例题1我们更有一般方法 例题2 计算 解：令，则 例题3 计算 解：由于被积函数是偶函数，所以 令，则，将其代入上式，得 令 则 所以 4.3、形如的定积分计算 例题1 计算（0<k<1） 分析：这道题目被积函数形式复杂，若变换技巧使用不当，导致计算过程极为复

6、杂，甚至无从下手。但用欧拉积分的方法就变得简便了。 解：令，则有。利用三角恒等式可得将其代入原式，得 例题2、计算的值 解：令，则，于是 例题3、 化简 分析：利用欧拉积分进行积分化简是一种简便方式。 解： 注：本题中我们应用，需牢记4.4、形如的计算 说明：在概率与数理统计中应用。1） 求的值 分析：我们易看出它与r函数很相似，所以令，则问题得到解决。解：令，则，所以有 其实此题也可以利用余元公式 即令则在数理统计中我们经常遇见求的值其实 此时应用了r(s)在定义域联系这一性质。 同理可求积分 5、Gamma函数的推广本文中的一些结果是我在多方查资料中获得的，对欧拉积分性质的研究有重要意义，

7、所以我将其载录下来。对欧拉积分中的一些问题的证明有新的思路：5.1、Gamma函数的另一表示式。 预备知识中提到为凸函数，而凸函数的定义知它的一阶导数是单调递增。令,因为，所以,因为f(x)凸函数，所以对于应有也就是 即因此得到由（1）(2)式得由此得到我们就证明了即有了这一表达式我对余元公式得到另一证明方法如下：因 （这里用到了预备知识2）5.2、的计算对于欧拉积分的r()值我们由定义很容易算出，但是我们经常会遇见要计算、的值，经我多方的查询得到。下面我们来探讨的求法：因为r(s) = s>0 令，则有 令 ， 有因为所以可以证明积分与极限可交换次序，从而 对于积分 ，若令，则有令 ，

8、则可得递推公式:依此类推，得 （注：（4）中得！共有m个！，且N！表示N的m阶阶乘。如10！=10*7*4*1）另外，已知再由余元公式，得由上式得 而有瓦里斯公式 可以推出： 将（7）代入（6）式得 （若n=2时 ） 有了的计算表达式对类似例题4的积分求解我们就会更加具体的结果：结束语 经这次论文的撰写，使我对大学所学知识有较系统的回顾，特别是对有关定积分计算有了新的认识。但是本人认为由于所学知识的有限论文有些方面还是不够完善，比如在求等非的形式上，我曾试图求与的关系但是没有新的发现。这是本文的遗憾，今后的学习我还将朝着这个方向努力。同时要感谢这次为我指导论文的惠老师及所有给我帮助的老师和同学

9、。参考文献1数学分析（下册）。华东师范大学数学系编。高等教育出版社，2001 6：190-1962数学分析新讲（第三册）。张筑生编著，北京大学出版社 1991：243-2563数学分析教程 常庚哲，史济怀编. 高等教育出版社 20044 徐森林 金亚东 薛春纤编著数学分析（第三册）2007 4： 222-2435魏宗舒等编. 概率与数理统计 高等教育出版社19836硕士研究生入学试题（数一） 西安交通大学出版社 20087王政 宋元平主编 数学分析（下册） 科学出版社 2008 09： 227-2318郭大钧 陈玉妹 裘卓明 数学分析 山东科学技术出版社 1982：454-4609【美】W.卢

10、丁著 赵慈庚 蒋锋译 数分原理（下册）人民教育出版社 1986 06： 56-6010欧阳光中 姚允龙 周渊编著 数学分析（下册） 复旦大学出版社 2004 08 ：236-243Euler integral and its applicationsLin mei fu(Department of Mathematics，Xi' an University of Arts and Science,Xi'an 710065，China)Abstract: In this paper, the definition of Euler integral with emphasis o

11、n Gamma function and the nature of Bate and its application for the application of definite integral is given. Function of r and B-type functions to prove the relationship between the proposed method is simple, the calculation of the final launch of expression, and r (x) a new expression, resulting in new Yuan prove the formula method. Euler points makes with a deeper understanding of knowledge for the definite integral of