FIR数字滤波器的设计方法

1、1会计学FIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法2 IIR数字滤波器在前述设计中只强调了幅频特性，其数字滤波器在前述设计中只强调了幅频特性，其相频特性不好，虽然可以用全通网络给以校正，仍不算好。相频特性不好，虽然可以用全通网络给以校正，仍不算好。在图象处理及数据传输中，要求线性相位（只产生群延时，在图象处理及数据传输中，要求线性相位（只产生群延时，不产生波形畸变），用不产生波形畸变），用FIR滤波器较适宜。滤波器较适宜。 FIR滤波器是多项式形式，没有分式分母部分，易于滤波器是多项式形式，没有分式分母部分，易于用用FFT法实现。由于非线性相位系统一般可用法实现。由于非线性相位系统一般可用

2、IIR滤波器实滤波器实现，故这里讨论线性相位现，故这里讨论线性相位FIR。一、FIR与IIR相比较：时间时间 t幅幅度度原始信号原始信号时间时间 t幅幅度度相移相移90o时间时间 t幅幅度度相移相移 180odd)()(f1 f2f时时延延f1 f2f时时延延f1 f2f ( )f1 f2f ( ) 系统相位特性决定了信号不同频率的时延系统相位特性决定了信号不同频率的时延输入波形输入波形DFT变换变换忽略相忽略相位信息位信息IDFT变换变换输出波形输出波形constant)(ddgg)(NpgpTTph00)(sin- 系统的群延迟系统的群延迟9对于对于FIR滤波器，单位冲激响应滤波器，单位冲

3、激响应 )(nh的的Z变换为变换为 10)()(NnnznhzH，共，共N个样点长，个样点长，N-1阶多项式，阶多项式，有有N-1个零点，个零点，N-1阶极点阶极点z=0在原点处。在原点处。一、线性相位条件一、线性相位条件 当 )(nh为实数， 10 Nn，且满足下列条件之一： )1()(nNhnh )1()(nNhnh 偶对称 奇对称 则具有线性相位特性。则具有线性相位特性。 10又由于N分为奇、偶两种情形，故组合出四种情形。 偶对称，N为奇情形偶对称，N为偶情形11奇对称，N为奇情形 奇对称，N为偶情形注意：无论是奇对称还是偶对称，对称中心在注意：无论是奇对称还是偶对称，对称中心在n=(N

4、-1)/2处。处。 12二、线性相位特点二、线性相位特点 这里推导一下满足偶对称或奇对称的这里推导一下满足偶对称或奇对称的 )(nh具有线性具有线性相位，即相位，即)()()( jjeHeH （7-2） )( H是幅度，是幅度， )( 是相角。是相角。 其中其中 bk )(，k，b是常量，是常量， -k称为群延时称为群延时 kdd )(，131. )(nh是偶对称的情况是偶对称的情况 )1()(nNhnh 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH 10)1(10)1()()(1NmmNNmmNzmhzzmhnNm从而从而 )()(1)1( zHzzHN，进而：，进而： 10)1(1

5、)1()(21)()(21)(NnnNnNzzznhzHzzHzH14 102121212)(NnNnNnNzznhz 102121cos)()(NnNjjNnnheeH 比较（比较（7-2），幅度、相位分别为：），幅度、相位分别为： 21)(21cos)()(10NnNnhHNn （7-17）（7-18） 152. )(nh是奇对称的情况是奇对称的情况 )1()(nNhnh 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH 10)1(10)1()()(1NmmNNmmNzmhzzmhnNm从而有从而有 )()(1)1( zHzzHN，进而：，进而： 10)1(1)1()(21)()(21

6、)(NnnNnNzzznhzHzzHzH16 10)21()21(212)(NnNnNnNzznhz在单位圆上：在单位圆上： 102121sin)()(NnNjjNnnhjeeH 1022121sin)(NnjNjnNnhe 17221)(21sin)()(10 NnNnhHNn（7-20）（7-21） 线性相位，但有固定相移线性相位，但有固定相移 。 90三、幅度函数的特点三、幅度函数的特点 幅度函数的讨论不仅对偶对称和奇对称不同，且幅度函数的讨论不仅对偶对称和奇对称不同，且N为为奇偶也不同。奇偶也不同。 181.h(n)是偶对称，是偶对称，N为奇数为奇数 由（由（7-17）式）式 1021

7、cos)()(NnnNnhH 其中其中 )(nh是偶对称，而是偶对称，而 )1(21cos21cos21cosnNNNnnN 也对也对 21 N处成偶对称，故整个处成偶对称，故整个 )( H关于关于 21 N成偶对称，成偶对称，除中点除中点21 N处外，可以把第一点与最后一点合并处外，可以把第一点与最后一点合并2，第二，第二点与倒数第二点合并点与倒数第二点合并2，则有，则有19 2)3(021cos)(221)(NnnNnhNhH 2)1(1)cos()21(221)(NmmmNhNhH 令令 nNm 21，则可记做可记做 2)1(0)cos()()(NnnnaH 其中其中 21)0(Nha，

8、 nNhna212)(21, 2 , 1 Nn，20)( H关于关于 2 , 0 呈偶对称呈偶对称 0)( H 2 h(n)是偶对称，是偶对称，N为奇数为奇数212.h(n)是偶对称，是偶对称，N为偶数为偶数 与与 N为奇数不同在于为奇数不同在于 )( H合并偶对称项时，没有合并偶对称项时，没有中间项中间项 21Nh，可写成：，可写成： 2112021cos)2(2221cos)(2)(NmNnmmNhmNnnNnhH 令令记作：记作： 21)21(cos)()(NnnnbH 其中其中 nNhnb22)(2, 2 , 1Nn ，22 0)( H，在在 1 z处有一个零点处有一个零点 )( H关

9、于关于 2 , 0 呈偶对称，对呈偶对称，对 呈奇对称呈奇对称 （不可用作高通、带阻）。（不可用作高通、带阻）。 0 )( H 2h(n)是偶对称，是偶对称，N为偶数为偶数233.h(n)是奇对称，是奇对称，N为奇数为奇数 由（由（7-20）式）式 1021sin)()(NnnNnhH 2121121NhNNhNh021 Nh由由知知，即中间项为零。，即中间项为零。 )1(21sin21sin21sinnNNNnnN 故也是奇对称的，合并相等项故也是奇对称的，合并相等项 24 2)3(021sin)(2)(NnnNnhH )sin(21221211 mmNhnNmNm 令令可表示为：可表示为：

10、 )sin()()(211 nncHNn 其中其中 nNhnc212)(21, 2 , 1 Nn，在在 2 , 0 处处 0)( H，即，即 )(zH在在 1z处为零点。处为零点。 25 0)( H 2 h(n)是奇对称，是奇对称，N为奇数为奇数)( H关于关于 2 , 0 呈奇对称呈奇对称 264. h(n)是奇对称，是奇对称，N为偶数为偶数 与与3.情况相同，但无中间项情况相同，但无中间项 12021sin)(2)(NnnNnhH 令令 nNm 2 )21(sin22)(21mmNhHNm ，则记做：记做： )21(sin)()(21nndHNn 其中其中 nNhnd22)(2, 2 ,

11、1Nn ，27在在 2 , 0 处处 0)( H)(zH在在 1 z处为零点处为零点 )( H在在 2 , 0 呈奇对称，在呈奇对称，在 呈偶对称呈偶对称（不可用作低通、带阻）。（不可用作低通、带阻）。 0)( H 2 h(n)是奇对称，是奇对称，N为偶数为偶数28四、零点位置四、零点位置 由于由于线性相位线性相位FIR滤波器的系统函数总满足滤波器的系统函数总满足 )()(1)1( zHzzHN0)( izHiz，是是 )(zH的零点的零点 0)()()1(1 iNiizHzzH，故，故 1 iz也是也是 )(zH的零点的零点 加之加之 )(nh是实数，对应是实数，对应 )(zH的零点总是成共

12、轭对的零点总是成共轭对出现，故一般出现，故一般 总是总是4个零点个零点一组同时出现一组同时出现 当零点是复零点时当零点是复零点时总是总是4 4个一组出现个一组出现29图图 1Re(z)j Im(z)0 1111411111111)1()(zerzerzerzerzzzHiiiijijijijikki 一般情况)cos2)(cos21(12122212 zzrrzrzrriiiiiii 30有几个特例情况，即零点在单位圆上或在实轴上，需要另外讨论。有几个特例情况，即零点在单位圆上或在实轴上，需要另外讨论。 1. 零点在单位圆上，但不在实轴上时，也需呈共轭对。零点在单位圆上，但不在实轴上时，也需呈

13、共轭对。 121111)( zezezHiijkji 21cos21 zzi 1Re(z)j Im(z)0二阶二阶FIR滤波器滤波器 1 312. 零点在实轴上，但不在单位圆上时，实数的倒数仍是实数，零点在实轴上，但不在单位圆上时，实数的倒数仍是实数，也成对出现。也成对出现。 1Re(z)j Im(z)0 211211)1(1111)( zzrrzrzrzHiiikii二阶二阶FIR滤波器滤波器 1 323. 零点在单位圆上，且在实轴上时。零点在单位圆上，且在实轴上时。 1Re(z)j Im(z)011)( zzHi一阶一阶FIR滤波器滤波器 5 . 0 33对对 为偶数时，如为偶数时，如 奇

14、对称，有奇对称，有 ，在，在N)(nh0)0( H1 z处是零点（不适合低通、带阻）处是零点（不适合低通、带阻）对对 为偶数时，如为偶数时，如 偶对称，有偶对称，有 ，在，在N)(nh0)( H1 z处是零点（不适合高通、带阻）处是零点（不适合高通、带阻）对对 为奇数时，如为奇数时，如 奇对称，有奇对称，有 ， ，N)(nh0)0( H 处是零点（不适合低通、高通、带阻）处是零点（不适合低通、高通、带阻）0)( H1z这三种情况必有零点这三种情况必有零点 111 zzz或或或或返回34 提到窗函数，首先有两点要搞清楚，一是什么是窗，二是这提到窗函数，首先有两点要搞清楚，一是什么是窗，二是这里是

15、什么窗。窗的概念是取已知序列的一部分，该部分每点值要里是什么窗。窗的概念是取已知序列的一部分，该部分每点值要对应乘上窗的值。对应乘上窗的值。 窗函数设计法（时窗设计法）的过程窗函数设计法（时窗设计法）的过程如下：如下： 2. 取窗函数，去掉取窗函数，去掉 0 n部分，得到物理可实现系统部分，得到物理可实现系统 3. 其其Z变换对应物理可实现系统函数变换对应物理可实现系统函数 ， )(zH其幅频特性其幅频特性将近似于原理想滤波器将近似于原理想滤波器1. 给定理想的数字滤波器给定理想的数字滤波器 )( jdeH，求得其对应时域单位，求得其对应时域单位采样响应为采样响应为)(nhd。)(nhd是物理

16、不可实现系统是物理不可实现系统0 n时时 0)( nhd）（因为（因为35设计流程：设计流程：)( jdeHIDTFT)(nhd选择窗选择窗)()()(nwnhnhd DTFT)( jeH检验检验窗函数设计法的优点是简单实用（特别是窗函数设计法的优点是简单实用（特别是Hamming窗、窗、Hanning窗）；缺点是截止频率不易准确控制，有时需多次寻优计算逼近。窗）；缺点是截止频率不易准确控制，有时需多次寻优计算逼近。 36 从这一过程可看到取的是时窗，而这一过程称从这一过程可看到取的是时窗，而这一过程称FIR滤波器的窗滤波器的窗函数法。由于这一方法涉及时域到函数法。由于这一方法涉及时域到Z域的

17、变换，可用域的变换，可用FFT快速计算，快速计算，故又称傅立叶级数法。故又称傅立叶级数法。 全过程的数学描述如下：全过程的数学描述如下： 对已知滤波器对已知滤波器 )( jdeH，其时域采样响应，其时域采样响应 )(nhd用用 1 F表示为：表示为： deeHnhnjjdd)(21)(例：对理想低通例：对理想低通 )()(sin21)( nndeenhcccnjjdcc37进一步设窗函数为进一步设窗函数为 )(nw，得物理可实现，得物理可实现 )(nh为为 )()()(nhnwnhd 其中其中2/ )1( N 设选矩形时窗，窗宽设选矩形时窗，窗宽 N，即，即 其它其它0101)(Nnnw此时此

18、时 其它其它0102121sin)(NnNnNnnhccc图图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗39如上得到时域结果。如果要求如上得到时域结果。如果要求Z域结果，一种简单方法是求出域结果，一种简单方法是求出 ) 1(,),1 (),0(Nhhh后，后，)1(321)1()3()2()1()0()( NzNhzhzhzhhzH就是有限长就是有限长FIR滤波器的系统函数。滤波器的系统函数。 这种方法求出的这种方法求出的 )(zH和和 )(zHd差距有多大，如何减少差距差距有多大，如何减少差距是下面要进一步分析的内容。是下面要进一步分析的内容。傅立叶变换具有一个

19、重要的性质：傅立叶变换具有一个重要的性质： 时域的卷积对应频域的乘积时域的卷积对应频域的乘积 时域的乘积对应频域的卷积时域的乘积对应频域的卷积 40由于由于 )(nh是是 )(nw与与 )(nhd之积构成，故之积构成，故 )( jeH是是 )( jdeH与与 )( jeW的卷积，的卷积， )( jdeH是理想矩形，而是理想矩形，而 )(nw是矩形时，是矩形时， )2sin()2sin()()21(10NNeeeWNjNnnjjR deWeHeHjRjdj)()(21)()(是卷积关系，从图形上看一下这一卷积的效果。是卷积关系，从图形上看一下这一卷积的效果。 图图7-7、7-8 图图7-8 矩形

20、窗的卷积过程矩形窗的卷积过程42如果窗函数的频谱是一个如果窗函数的频谱是一个 )( ，则卷积能保持原，则卷积能保持原 )( dH的理想形式，的理想形式， 但但 )( 要求时域窗是常数，无限长，无法物理要求时域窗是常数，无限长，无法物理实现，故选窗函数的主要构想是选具有主瓣窄高，旁瓣小的频实现，故选窗函数的主要构想是选具有主瓣窄高，旁瓣小的频域特性的时窗。（但两者是矛盾的）域特性的时窗。（但两者是矛盾的）主瓣窄，则过渡带窄；旁瓣小，则衰减大；实际应用中是用主瓣窄，则过渡带窄；旁瓣小，则衰减大；实际应用中是用主瓣宽度换取较大衰减。主瓣宽度换取较大衰减。下面介绍几种时窗：下面介绍几种时窗： 首先介绍

21、描述窗函数频谱中几个参数。首先介绍描述窗函数频谱中几个参数。 43对对 )( jeW进行归一化：进行归一化： dBeWeWeWjjj)()(lg20)(0 1）3dB带宽带宽B 是主瓣下降是主瓣下降-3dB时的带宽，时的带宽，N 2 以以 为单位为单位1。 2）主瓣宽度（过零点带宽）主瓣宽度（过零点带宽 ），带宽越小越好，减少过渡带宽度，更陡带宽越小越好，减少过渡带宽度，更陡 3）旁瓣峰值（最大旁瓣峰值旁瓣峰值（最大旁瓣峰值 A(db)），越小越好，减少波动（阻带最小衰减），越小越好，减少波动（阻带最小衰减） )/(octdBD4）是旁瓣峰值衰减速度。是旁瓣峰值衰减速度。 0B44（1）矩形窗

22、）矩形窗 otherNnnRnwN0101)()( 2sin2sin)(21NeeWNjjR主瓣宽度为主瓣宽度为 ， 旁瓣较大旁瓣较大4N45（2）三角窗（）三角窗（Bartlett窗）窗） 12112221012)(NnNNnNnNnnw 2122sin41sin12)(NjjeNNeW主瓣宽度为主瓣宽度为 ， 旁瓣较小旁瓣较小8N46（3）汉宁（）汉宁（Hanning）窗：升余弦窗窗：升余弦窗 )(12cos121)(nRNnnwN 21)()(NjjeWeW )2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR 8N主瓣宽度为主瓣宽度为 ， 旁瓣电平变小旁瓣电平变小4N47（4）海

23、明（）海明（Hamming）窗：改进升余弦窗窗：改进升余弦窗 )(12cos46.054.0)(nRNnnwN )2(23. 0)2(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR 8N主瓣宽度为主瓣宽度为 ， 旁瓣幅度更小旁瓣幅度更小48（5）布莱克曼（）布莱克曼（Blackman）窗：二阶升余弦窗窗：二阶升余弦窗 )(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN 其中其中 14cosNn 为二阶谐波分量为二阶谐波分量 )14(04. 0)14(04. 0)12(25. 0)12(25. 0)(42. 0)( NWNWNWNWWWRRRRR12N主瓣宽度为主瓣宽度

24、为 为最大，为最大， 旁瓣电平最小旁瓣电平最小49（6）凯泽（）凯泽（Kaiser）窗窗 由贝塞尔函数构成，可以通过参数由贝塞尔函数构成，可以通过参数 调整，适应性强。调整，适应性强。另有几十种，例如另有几十种，例如Chebyshev窗，窗，Gaussian（高斯）窗。高斯）窗。 50常用的六种窗函数常用的六种窗函数(N=25)51六种窗函数的窗谱六种窗函数的窗谱(N=25)52重点看重点看P342P342，表，表7 7-3 3)( jdeH)(nhd)()()(nhnwnhd )( jeH2,( )w n2AN当当 不是很复杂时，可以直接计算积分，不是很复杂时，可以直接计算积分，否则必修用求

25、和代替积分，以便在计算机上否则必修用求和代替积分，以便在计算机上计算，也就是，要计算离散傅里叶反变换，计算，也就是，要计算离散傅里叶反变换，一般都采用一般都采用FFT来计算来计算)( jdeH57%方法二方法二wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;for n=1:N; m=n-1; if m=a hd(n)=wc/pi; else hd(n)=sin(wc*(m-a)/(pi*(m-a); endend%方法一方法一wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;n=0:N-1;m=n-a+eps; %通过加任意小值 eps避免%了n=a时零比零的出现。hd=sin(wc*m)./(pi*m);58

26、h(n)=hd(n)*w(n)hd(n)w(n)020-0.1-0.0500.00.25Ideal Impulse Reponsehd(n)02000.811.2Hamming Windoww(n)020-0.1-0.0500.00.250.3h(n)Actual Impulse Response5900.20.41-500DecibelsMagnitude Response in dB00.51-3-2-10123phasePhase Response60用窗函数设计法设计不同类型用窗函数设计法设计不同类型HP、BP、BS的方法的

27、方法 对低通单位抽样响应：对低通单位抽样响应： nnnndeenhccnjjdcc , ,)()(sin21)(21 N矩形时窗则取矩形时窗则取 1, 2 , 1 , 0)()( Nnnhnhd61对高通、带通、带阻，只需改变（对高通、带通、带阻，只需改变（1）式的上下限即可）式的上下限即可 。1）高通：）高通： ccjjdeeH00)(则则 nnnnndedenhccnjnjdcc ,1 ,sinsin2121)()()(高通滤波器全通滤波器低通滤波器高通滤波器全通滤波器低通滤波器622）带通：）带通： othereeHhljjd0)( nnnnndedenhlhlhnjnjdhllh ),

28、(1 ,sinsin2121)()()(带通滤波器（带通滤波器（1,21,2）低通滤波器（）低通滤波器（22）低通滤波器（）低通滤波器（11）633）带阻：）带阻： othereeHhljjd0,0)( hllhdededenhnjnjnjd)()()(21)( nnnnnnhlhl ),(1 ,sinsinsin带阻滤波器（带阻滤波器（1,21,2）低通滤波器（）低通滤波器（11）高通滤波器（）高通滤波器（22）64可以观察到：高通全通低通可以观察到：高通全通低通 带通低通带通低通1低通低通2 带阻低通高通带阻低通高通全通全通带通带通窗函数法还可用于设计其它形式的滤波器窗函数法还可用于设计其

29、它形式的滤波器 例：用窗函数法设计一个例：用窗函数法设计一个 90移相器，其理想频率响应为：移相器，其理想频率响应为： 00)(jjeHjd，称为希尔伯特（，称为希尔伯特（Hilbert）变换器变换器 65 deeHnhnjjdd)(21)( 002121djedjenjnj 为为奇奇数数为为偶偶数数nnnnn 20)1(1取取 15 N)(nhd奇对称，奇对称，N为奇数，为奇数， )( H奇对称奇对称 )()21()(nwNnhnhd 66如如 )(nw是矩形窗，则有：是矩形窗，则有： 0)13()3()1( hhhn为奇数为奇数 72)14()0( hh 52)12()2( hh 32)1

30、0()4( hh 2)8()6( hh得到得到 )(nh，如需要可写成，如需要可写成 )(zH形式。形式。 为偶数为偶数21 Nn67窗函数设计法是令时域窗函数设计法是令时域 )(nh与理想与理想 )(nhd相近，相近，设计滤波器。设计滤波器。 而频率抽样法是令频域而频率抽样法是令频域 )()(kHkHd 来设计滤波器。来设计滤波器。 即：即： 令令kNjddeHkHkH 2)()()( 1, 1 , 0 Nk得到得到 )(kH后利用后利用3.7节的插值公式（节的插值公式（3-90），则有），则有 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH 10)2()()(NkjkNkHeH 其中其中 2

31、1)2sin()2sin(1)(NjeNN 68一、线性相位的约束一、线性相位的约束 如果用频率抽样法设计，又附加线性相位滤波要求，则对应滤波器如果用频率抽样法设计，又附加线性相位滤波要求，则对应滤波器的对称性有一定的要求，具体讨论如下：的对称性有一定的要求，具体讨论如下： 1. 对对 )(nh是偶对称，且是偶对称，且 N为奇数时：为奇数时： 由表由表7-1第一栏：第一栏： 21)()(NjjeHeH69其中 )2()( HH是偶对称 相位特性函数： 21)(N线性的 对 抽样，则 )11(Nkk kNkHH ，2. 对 )(nh是偶对称，且 N为偶数时： 由表7-1第二栏： )2()( HH

32、奇对称 3. 对 )(nh是奇对称，且 N为奇数时： 由表7-1第三栏： )2()( HH奇对称 kNkHH 或)11(2Nkk kNkHH 或)11(Nkk 704. 对对 )(nh是奇对称，且是奇对称，且 N为偶数时：为偶数时： 由表由表7-1第四栏：第四栏： )2()( HH奇对称奇对称 kNkHH 或或)11(2Nkk 二、二、 频率抽样的两种方法（两种起点）频率抽样的两种方法（两种起点） I型型 kNjdeHkH 2)()( 已讨论过已讨论过 II型情况下：型情况下： )21(22 kNkNN 图图7-17两种频率抽样两种频率抽样72代入代入 )( jdeH 10)21(2)21(2

33、)()()()(NnnkNjkNjddenheHkHkH 101)21(21)(1)(NkkNjNzekHNzzH这时这时（7-100） 10)21()21()21(2sin)()2cos()(NkkNjNjjkNjekHeNNeH（7-101）73三、用 )(kH的模 )(kH表示线性相位滤波器 上面I型、II型表达式是已知 )(kH时求对应线性相位的滤波器 )( jeH，有时为设计方便，往往已知 )(kH而相位要求线性相位，来设计)( jeH，此时 )(kH可表示成模及幅角形式： )()()(kjekHkH 1, 1 , 0 Nk，三、线性相位第一种频率抽样三、线性相位第一种频率抽样由于由

34、于210( )( )NjnkNnH kh n e*( )()( )()NNH kHNkRkHNk当当h(n)为实数时，满足为实数时，满足( )()( )()H kH NkkNk 由此得出由此得出即即H(k)的模以的模以k=N/2为对称中心呈偶对称，为对称中心呈偶对称，H(k)的相角的相角 (k)以以k=N/2为对称中心呈奇对称。为对称中心呈奇对称。利用线性相位的条件即可得到：利用线性相位的条件即可得到：当当N为奇数时，有为奇数时，有211,0,22( )211(),122NNkkNkNNNkkNN当当N为偶数时，有为偶数时，有21,0,12221( )(),1,1220,2NNkkNNNkNk

35、kNNNk由此可知，当由此可知，当N为奇数时，有为奇数时，有21221()21( ),0,1,2( )1(),12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN同样，当同样，当N为偶数时，有为偶数时，有21221()2( )0,1,12( )02(),1,12NjkNNjN kNNH k ekNH kkNH Nk ekN把上式带入式把上式带入式7-90b，可以得到，可以得到11221sinsin(0) sin( )222()sinsinsin222NNjjkkkNNNHH kNNH eekkNNNNNN对线性相位第一种频率抽样，当对线性相位第一种频率抽样，当N为奇数时为奇数时112

36、21sinsin(0) sin( )222()sinsinsin222NNjjkkkNNNHH kNNH eekkNNNNNN当当N为偶数时为偶数时对于线性相位第二种频率抽样，分析相同，自己看书对于线性相位第二种频率抽样，分析相同，自己看书78四、过渡带抽样的优化设计 为了减轻偏离理想滤波器的起伏振荡，可放宽“理想程度”，加宽过渡带，增加过渡抽样点数，从而使整体性能更好。 增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减加一点：加一点：不加过渡抽样点：不加过渡抽样点：220dB 240 54dB 加两点：加两点：加三点：加三点：260 75dB 280 95dB u增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过增

37、加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽渡带变宽u增加增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量加了计算量u优点：频域直接设计优点：频域直接设计u缺点：抽样频率只能是缺点：抽样频率只能是2 /N或或 /N的整数倍，截的整数倍，截止频率止频率 c不能任意取值不能任意取值例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为的理想低通滤波器，截止频率为0.5 ，抽样点，抽样点数为数为N=33，要求滤波器具有线性相位。，要求滤波器具有线性相位。解：理想低通频率特性解：理想低通频率特性10()0

38、cjwdHe其它按第一种频率抽样方式，按第一种频率抽样方式，N=33，得抽样点，得抽样点则：则：110Int24( )10Int122ccNNkH kNNk 将这些值带入（将这些值带入（7-111）式，可得）式，可得816133sin 33sin 33sin2332332()33sin33sin33sin2233233jjkkkH eekk为了改善频率特性，以满足指标要求，可在通带和阻带交界为了改善频率特性，以满足指标要求，可在通带和阻带交界处安排一个或几个不等于零也不等于处安排一个或几个不等于零也不等于1的抽样值，在本例中的抽样值，在本例中，在，在k=9处增加一个抽样值处增加一个抽样值如果要

39、进一如果要进一步增加阻带步增加阻带衰减，可再衰减，可再添加第二个添加第二个不等于不等于1也也不等于零的不等于零的抽样，这样抽样，这样过渡带又加过渡带又加宽了。宽了。8550dB,4 . 0,2 . 0ssp 861022 . 01 N8788抽样点数抽样点数N=10，过渡带上无抽样点。，过渡带上无抽样点。00.20.4100.351Ideal Amplitude ResponseHr(k)0510-0.3Impulse Responseh(n)00.20.4100.351Amplitude Responsefrequency in pi unitsHr(w)00.20.41

40、-500DecibelsMagnitude Responsefrequency in pi units892022 . 02 N9091抽样点数抽样点数N=20，过渡带上一个抽样点。，过渡带上一个抽样点。00.20.4100.351Ideal Amplitude ResponseHr(k)05101520-0.3Impulse Responseh(n)00.20.4100.351Amplitude Responsefrequency in pi unitsHr(w)00.20.41-500DecibelsMagnitude Responsefrequency in pi units923022 . 03 N9394抽样点数抽样点数N=30，过渡带上两个抽样点。，过渡带上两个抽样点。00.20.4100.11550.61951Ideal Amplitude ResponseHr(k)0102030-0.3Impulse Responseh(n)00.2