论学生推理能力的培养

1、著名数学家和教育家格波利亚指出：“一个学习数学的有心人，如果他立志把数学作为终身事业，那他就必须学习证明推理，但他若还想获得真正的成就，就还必须学习似真推理。即使非专业的或业余的数学爱好者，在他一切活动的初始，都更需要似真推理。” 似真推理，不全都依据数学公理体系和数学定理进行推理，而是运用了一些特殊的推理方法，从所得命题的真假性来看，不像证明推理所得的命题那样严密和稳定。似真非真和似真确真这两种情况都有可能发生。因此，被称为似真推理。 在小学数学教学中有意识地培养学生的似真推理能力，是十分有意义的工作。这是因为： 第一，对传统的教学思想的反思。现代教学观认为，教师在教学中，应充分体现“教师为

2、主导，学生为主体”的思想，学生应在教师的指导下，主动积极地进行学习，在自行发现新的数学结论的过程中培养能力、发展智力。 第二，小学数学教材的结构与小学生的认知特点。鉴于小学生的年龄与认知特点，他们不可能通过具有严格标准的逻辑推理来发现和掌握数学原理和概念。因此，在小学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比等似真推理的方法。 第三，培养学生对数学的兴趣和良好的思维习惯的需要。教师有意识地强化对学生似真推理能力的培养，让他们通过想象、智力和思维的训练，使他们获取难得的发现与创新，必将激发学生的学习欲望。 下面介绍小学数学教学中常见的似真推理方法，即类比、枚举归纳与数学猜想。 （）类比 类

3、比对于打开学生思路，活跃思维，培养良好习惯起到重大作用。教师在引导学生进行类比时，应让他们先注意到在某些方面具有类似性质的两类不同研究对象，猜测这两类对象在别的性质上也可能相同。在小学数学教学中，有许多地方可运用类比法来进行。例如，根据整数和小数的记数原则与法则相同这一性质，可以猜测在整数和小数之间有好些相同的性质。因此，当讲到小数的四则运算法则时，可以由整数的四则运算法则引入；小数的运算性质，也可由整数的运算性质来引入。 如果说，类比是通向发现的阶梯，那么，细心的观察与丰富的联想就是这阶梯的基础。类比之所以能进行并行之有效，就在于它抓住了事物普遍存在的相似性，把相差甚远的两类对象按其内在联系

4、的相似性加以类比。例如，把平面几何中的面积与立体几何中的体积比较：     平  面  几  何    立  体  几  何     长方形面积=长X宽    长方体体积=长X宽X高     求圆面积的方法：把圆若干等分拼成近似的长方形    求圆柱体体积的方法：把圆柱

5、体底面分成若干相等的扇形，拼成近似的长方体     圆面积S = r2    圆柱体体积V = r2h     要注意，并不是所有通过类比而得到的命题都是真命题，需要经过证明。由于小学生受年龄的限制，一般不给予严密论证，而采用实例验证。 例如，小学数学“分数的基本性质”的教学，可与整数除法“商不变”的性质进行类比。 然后猜测初步结论：由在整数除法里，被除数、除数同时乘以（或除以）一个数（零除外）商不变，可以推知，分数的分子、分母同时乘以（或除以）一个数（零

6、除外），分数的大小不变。 还可以通过分数的分母和分子扩大（或缩小）同数倍后的相等以及直观操作来说明上述命题是真命题。 （二）枚举归纳 如果说，类比是一种从特殊猜测特殊的推理，那么，枚举归纳就是从特殊猜测一般，即从特殊的前提猜测一般结论的推理方法。人们知道，数学是以高度抽象著称的，抽象寓于具体之中。研究抽象问题，应该尽量具体化。面对无穷多特殊的具体情况，进行枚举，寻找规律性的东西，这就是枚举归纳。 教师有意识地对学生进行枚举归纳的训练，对于培养学生的学习兴趣和探索精神，掌握科学的思维方法是大有益处的。 枚举归纳的一般程序是，先确定枚举对象，然后枚举足够多的特殊情况，边枚举边清理诸特殊情况共同的结

7、构，拟出猜想命题。 在小学数学教材中，枚举归纳的实例是很多的。加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律，乘法对于加法的分配律等，都是从观察一些特殊的算式后概括出来的。 分数与小数的互化，就是从观察几个特殊情况概括出来的。如把0.9,0.03,1.21,0.425化成分数。结论：小数化分数，原来有几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 又如把分数化成小数，结论：分数化小数，用分母去除分子时，有的能除尽，化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数。 不搞枚举归纳，学生根本无从预测其结果。通过枚举归纳，就比较容易猜到其结果的结构。当然，在数学领域里，任

8、何一个结论的形成，往往都要经历一个猜想和论证的过程，即所谓合情推理和论证推理的过程。一般说来，数学归纳法是判断归纳推理正确性的有力工具。教师当然不必向小学生讲授数学归纳法。但为人师者，对上述一类的命题，却不可不运用数学归纳法予以证明。因此，在枚举归纳过程中，教师本身不仅要寻找规律性的东西，而且要抓住或创造出相邻特殊情况之间在论证结构上出现的递归性，为运用数学归纳法创造条件。 （三）数学猜想 在传统的数学教材和教法中，启发学生思维活动的内容与时间太少。教师一味讲方法、类型、规律，不仅削弱了学生认知的发生阶段，而且导致学生因循守旧，不敢或不愿提出猜想。这对于培养学生的创造能力是不利的。为了发展学生

9、的创造性思维，教师应该教给学生思维方法，鼓励学生对具体问题和具体教材进行分析，通过观察、实验、模拟、类比、归纳等手段提出猜想，而且从觅取命题的手段来看，归纳与类比和数学猜想类似。这样做，不仅有助于学生掌握数学知识，而且将激发学生的求知欲望，学会探求知识的方法。 例如，枚举不列情况：6=3+3                8=3+5         

10、0;           10=3+7=5+5           12=5+7                     14=3+11=7+7   

11、       16=3+13=5+11                          可以归纳出如下数学猜想：“任何大于4的偶数都是两个奇数之和。” 实验也是诱发数学猜想的手段之一。 例如，圆锥体的体积公式的教学： 实验用同底同高的圆柱体（空心杯状玻璃器皿）和圆锥体（空心漏斗状玻璃器皿）互相倒沙土。     观察    V锥 = 1/3 V柱     猜想    V锥 = 1/3 V柱 = 1/3 Sh = 1/3