数量关系讲义第二部分

1、第三讲 平均数、方阵与植树基础知识与经典例题一、平均数总和平均数×个数等差数列中：平均数=中位数=（首数+尾数）÷ 2注意：平均数是一个非常小的模块，但是在很多题目里都有所体现。【例1】一个房间里有10个人，平均年龄是27岁。另一个房间里有15个人，平均年龄是37岁。两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？（ ）A.30 B.31 C.32 D.33【参考答案】D【解析】方法一：直接算。（10×27+15×37）/(10+15)=33方法二：运用十字交叉原理计算。请同学们尝试着用十字交叉原理进行口算【例2】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配

2、到该单位的7个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？  A.10   B.11   C.12   D.13【参考答案】B【例3】为估算湖中鲤鱼的数量，某人撒网捕到鲤鱼300条，并对这300条鱼作了标记后又放回湖中，过了一段时，他又撒网一次捕到鲤鱼200条，发现其中鲤鱼有5条有标记，由此他估算湖中鲤鱼的数量约为： A.1200条 B.12000条 C.30000条 D.300000条【解析】300条做了标记，那么有标记的鱼占总数的比

3、例为300/X，而下一次捕到的200条中有5条带标记，则有300/X=5/200,得到x=12000。此题的意思相当于，平均40条有一条带标记，那么300条带标记的鱼占总数的比例。【例4】甲、乙、丙、丁四人，其中每三个人的岁数之和分别是55、58、62、65。这四个人中年龄最小的是（ ）。A.7岁 B10岁 C15岁 D18岁【解析】将55、58、62、65直接相加，可知其值等于原来四个数之和的3倍，于是得到(55+58+62+65)/3=80，所以最小的数字就是80-65=15。【例5】某班一次期末数学考试成绩，平均分为95.5分，后来发现小林的成绩是97分，被误写成79分，再次计算后，该班

4、平均成绩是95.95分，则该班人数是： A.30人 B.40人 C.50人 D.60人【解析】增加的分数不过是被全体同学平均分配罢了，那么有，（97-79）/人数=95.95-95.5,那么有人数=40【例6】小王和小李一起到加油站给汽车加油，小王每次加50升93#汽油，小李每次加200元93#汽油，如果汽油价格有升有降，那么给汽车所加汽油的平均价格较低的是： A小王 B小李 C一样的 D无法比较【解析】小王每次加50升，平均价格等于总钱数，除以单位提及，那么(50a+50b+50c+.)/50n=a+b+c+.,其中abc表示第一次，第二次，第三次加油时候的价格，而n表示总的次数。这是算术平

5、均数。小王每次200元，那么有200n/(200/a+200/b+200/c+.)，这称之为几何平均数。请同学们记住一个结论，算术平均数总是大于或者等于几何平均数，且只有在全部数字相等的时候取等号。换一个角度，我们用十字交叉法的原理来理解，对于小王，他加高价格和低价格的油的数量是一样多的（都是50升），而对于小李，加高价格的油自然少于低价格的油，所以平均价格较低。所以此题选B。练习一下：1、某项射击资格赛后的统计表明，某国四名运动员中，三名运动员的平均环数加上另一运动员的环数，计算后得到的环数分别为92、114、138、160，则此国四名运动员资格赛的平均环数是: A.63 B.126 C.1

6、68 D.2522、某一天节秘书发现办公桌上的台历已经有9天没有翻了，就一次翻了9张，这9天的日期加起来，得数恰好是108，问这一天是几号？（ ）A.14 B.13 C.17 D.193、某人购买A、B两种调料的单价分别为20元/千克、30元/千克。假设购买这两种调料所花费的钱数额一样，则由A、B两种调料混合后的新调料每千克的成本是： A.23元 B.24元 C.25元 D.26元二、方阵方阵实际上就是一个等差数列，每一层就是一项，每一层边长之差为2，人数之差为8。周长=边长×4-4=（边长-1）×4；方阵总人数=最外层每边人数的平方（面积）；方阵最外层每边人数=（方阵最外

7、层总人数÷4）+1；方阵每相邻两层人数之差为8；去掉m行、n列的矩阵，人数减少=列边长×m+行边长×n-mn；如果是增加，视为负数即可。【例1】某部队阅兵，上级要求其组成一个正方形队列。预演时上级要求将现有队形减少一行一列，这样将有 35人被裁减。那么原定参加阅兵士兵多少人？A.289 B.324 C.256 D.361【解析】方法一：代入法。答案应满足是完全平方数，且选项减去35也是完全平方数。只有B（对于完全平方数的熟悉有助于迅速得到答案）。方法二：设方阵最外层每边人数为n，则减少一行一列，人数减少：n+n-1=35,n=18,总人数为182=324【例2】有

8、一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（ ）A.296人 B.308人 C.324人 D.348人【解析】方法一：中间一层共有44人，中间一层×层数=总人数，则总人数是11的倍数，只有B。方法二：直接计算，（68-44）/8=3，则共有7层。总人数为44×7=308方法三：直接枚举，每层差8人，则有68，60，52，44，36,28,20加起来即可。【例3】一些解放军组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。则原长方形阵共有（ ）人A.196 B. 225 C.2

9、56 D.289【参考答案】B【解析】方法一：直接代入，增加6行，减少10列之后人数不变，则选项中方阵减少6行，增加10列，人数不变。只有B。方法二：设方阵最外层每边人数为n，由该方阵变为长方阵，相当于减少了6行，增加了10列，则人数变化为：6n+(-10)n-6×（-10）=0，n=15，共有人数152=225人。练习一下：鲜花队准备排成一个正方形队列，由于服装不够，只好减少 27 人，使横竖各减少了一排，鲜花队现在的人数是：A169人 B144 人 C196 人 D225 人四、植树植树问题主要有两种基本类型：非封闭问题和封闭问题。在非封闭问题里，树木的数量=间隔+1，即要计算端

10、点位置的数目，在封闭问题里，树木的数量=间隔，因为起点和终点重合。注意：与此类似的，还有数字的数量=数字的间隔+1，日期的数量=日期的间隔+1等等，都是类似的原理。【例1】长度为250米的马路上每隔5米植树一棵，则该条路上共有树木几棵？A.50棵 B.51棵 C.52棵 D.53棵【参考答案】B【例2】在一周长为50m的花坛周围种树，如果每隔5m种一颗，共要种多少棵树？（ ）A.9 B.10 C.11 D.12【参考答案】B【例3】某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5米种1棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩20棵。若每隔4米种1棵树且路尾最后两棵树之间的距离为3米，则这批树苗刚好

11、可覆盖整个路段。这段路长为( )。A.195米 B.205米 C.375米 D.395米【解析】方程法。设路程为s，则2s/5+2+20=2（s+1）/4+2,s=195【例4】某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的( 不相交 )两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（    ）。A.8500棵 B.12500棵C.12596棵       D.13000棵【解析】方法一：方程法。设共有树

12、苗x，根据路长相等，可以得到相等关系：(x+2754-4)×4=（x-396-4）×5，x=13000方法二：比例法，路的间隔数与间隔长成反比（因为路长是一样的，不变的）。间隔长度为4:5 间隔数为5:4 （2754+396）/1×5+4-2754=13000【提醒】比例法中，间隔数×间隔长度为定值，间隔长度与间隔数（非树棵树）成反比，间隔数=树棵树-4（两条路，四条边）和例3一样，路长是建立等式的关键，而行测的数量关系，大部分题目也不过是如此，找到合适的相等关系，设立合理的未知数。课后练习1、某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分一给好成等差

13、数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少?（ ） A.602 B.623 C.627 D.6312、学校用从A到Z的顺序给班级编号，再按照班级号码在后面加01、02、03的顺序给学生编号，已知从AK每个班级是按照15的数量依次递增1人，之后依次递减2人，那么第256名同学的编号是多少?A.M12 B.N11 C.N10 D.M133、100个人参加7个活动，每人只能参加一个活动，并且每个活动的参加人数都不一样，那么参加人数第四多的活动最多有多少人?A.22 B.21 C.24 D.234、假设五个相异正整数的平均数是15，中位数是18，则此五

14、个正整数中的最大数的最大值可能为（）。A24 B32 C35 D405、现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。A7 B8 C9 D106、一个细胞1小时分裂为3个，9个小时可以把一个容器装满。请问要使分裂的细胞能装到容器的九分之一，需要多少时间？A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时7、某班一次期末数学考试成绩，平均分为 95.5分，后来发现小林的成绩是97分误写成79分。再次计算后，该班平均成绩是95.95分。则该班人数是（ ）。A.30人 B.40人 C.50人 D.60人8、某校学生刚好排成一个方阵，最外层人数112人，问这个

15、学校共有学生多少人？A.800人 B.841人 C.925人 D.1000人9、一条路长400米，从距离起点 192米的地方开始在路的两旁植树，每四米一棵，直至路的末端，共要植树多少棵？A.106 B.53 C.50 D.10010、一张考试卷共有10道题，后面的每一道题的分值都比其前面一道题多2分。如果这张考卷的满分为100分，那么第八道题的分值应为多少？(  )。  A.9 B.14 C.15 D.1611、一小圆形场地的半径为100米，在其边缘均匀种植200棵树木，然后又在其任两条直径上，每隔2米栽种一颗树木，问至少要种植多少棵树木？A397 B398 C399 D4

16、0012、一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？A.296      B.324      C.328      D.384第四讲 容斥原理,抽屉原理以及最不利原则基础知识与经典例题容斥原理也是公考的一个常考知识点，解题主要利用公式与文氏图。根据原理列出等式后，通常都可以考虑利用尾数法来判断选项。1、容斥原理的基本思想先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象

17、的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目再减去，使得计算的结果既无重复也无遗漏。2、两集合容斥原理公式：AB =A+B（AB）（A或B的个数A的个数 +B的个数A且B的个数）3、三集合容斥原理公式：ABC=A+B+C（AB+BC+CA）+（ABC）4、分类方法：将总人数分为只参与一种，参与两种与参与三种（不用考虑到底参加哪两种）。参加一种的人数*1+参加两种的人*2+参加三种的人数*3=总人次；参加一种的人数+参加两种的人数+参加三种的人数=总人数。简单例题：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠

18、部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：A.15 B.16 C.14 D.18【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（ ）。A.27人 B.25人 C.19人 D.10【解析】设两种实验都做对的人数为x，则有40+31-x+4=50，解得x=25（尾数法速算，选B）。【例2】某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？（ ）A.12 B.14 C.15

19、 D.29【解析】设穿黑上衣黑裤子的人数为x，则29+34-x+12=60，解得x=15（尾数法速算，选C）【提醒】两元容斥。黑上衣+黑裤子-黑上衣且黑裤子+既非黑上衣又非黑裤子（白上衣蓝裤子）=总人数【例3】小明和小强参加同次考试，如果小明答对的题目占题目总数的 3/4 小强答对了 27 道题，他们两人都答对的题目占题目总数的2/3 ，那么两人都没有答对的题目共有： A.3道 B.4道 C.5道 D.6道【解析】采取假设法，根据3/4和2/3，可以知道，题目的总数为12的倍数，而小强答对了27，可以假设题目总数为36。【例4】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计

20、师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？ A.120 B.144 C.177 D.192【解析】选择两种考试参加，不包含选择三种考试的人数。63+89+47-46-24×2+15=总人数，计算的时候可以只计算尾数（为什么？因为选项尾数不同！），选A。【例5】某大学的文艺社团中，会跳舞的、会吹口琴的会弹古筝的共有38人，其中只会跳舞的有10人，只会吹口琴的有7人，既能弹古筝又会吹口琴的有6人，既会跳舞又会吹口琴的有5人，既会

21、跳舞又会弹古筝的有9人，三种都会的有3人，则只会弹古筝的有多少人？（ ）A.4人 B.6人 C.7人 D.11人【解析】注意，在会两样的人中，都包含了会三样的人，所以，会两样或三样的人应该是：6+5+9-3*2=14人（计算了三次，所以减去两次），那么只会古筝的人就是38-10-7-14=7人【例6】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、 日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人（ ）A.4人 B.5人 C.6人 D.7人【解析】能教英语或者日语的有：8+6+5+3+4-2

22、5;2=22（其中三种都能教的加多加了两次，所以需要减去）则只能教法语的有27-22=5【提醒】此类问题可以结合图画的方法进行理解，“只”字题目通常采用逆向思维。如本题：总人数-能教英语或者日语=只能教法语。【例7】某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（ ）A.148 B.248 C.350 D.500【解析】容斥原理的核心是要减去重复计算的部分。设三种上网方式都使用的有x个，则使用两种上网方式的客户有352

23、-x个，前者重复计算了2次，后者重复计算了1次。得到方程，1258+1852+932-2x-(352-x)=3542，解得x=148。注意：使用不只一种上网方式的客户数=使用两种+使用三种【例8】在一次国际会议上，人们发现与会代表中有10人是东欧人，有6人是亚太地区的，会说汉语的有6人。欧美地区的代表占了与会代表总数的2/3以上，而东欧代表占了欧美代表的2/3以上。由此可见，与会代表人数可能是（）。A.22人 B.21人 C.19人 D.18人【解析】10人是东欧人，东欧代表占了欧美代表的2/3以上，则欧美代表不足15人（最多14人）。欧美代表占了与会代表总数的2/3以上，则与会代表不足21人

24、（最多20人）。又欧美代表占了与会代表的2/3以上，则亚太地区代表不足1/3,则总人数大于18人（至少19人）。所以总人数是19或20人，选C。【提醒】这题考查了逆向思维。题眼就是我们要尽可能的把题目中给的数字与不等式结合起来。【例9】小赵，小钱，小孙一起打羽毛球，每局两人比赛 ，另一人休息，三人约定每一局的输方下一局休息，结束时算了一下，小赵休息了2局，小钱共打了8局，小孙共打了5局，则参加第9局比赛的是：A.小钱和小孙 B.小赵和小钱C.小赵和小孙 D.以上皆有可能【解析】小赵休息了2局，则小钱与小孙对打了2局，则总局数为：8+5-2=11又小孙打了5局，则小孙休息了6局，由于小孙不能连着

25、休息，则小孙只能在第1、3、5、7、9、11局的时候休息。则第9局比赛的是小钱和小赵。【例10】一个读书小组共有赵、钱、孙、李、周、吴6位书友，现有6本书，书名分别是A、B、C、D、E、F。他们每人至少读过其中一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2、2、4、3、5本书，图书A、B、C、D、E分别被小组的1、4、2、2、2位书友读过，问吴一定读过的书是哪本?A. 书A B. 书B C. 书F D. 无法确定【解析】赵钱孙李周一共读过16本书，而ABCDE被11人读过，又每人至少读过其中一本，那么赵钱孙李周吴一共至少读过17本，书F被读过至少6次，一共有6人，说明每人都读过F。思考一下：学

26、术会议正在举行分组会议，某一组有8人出席，分组会主席问大家原来各自认识与否。结果是全组中仅有一个人认识小组中的三个人，有三个人认识小组中的两个人，有四个人认识小组中的一个人。 若以上统计是真实的，则最能得出以下哪项结论?A会议主席认识小组的人最多，其他人相互认识的少。 B此类学术会议是第一次召开，大家都是生面孔。 C有些成员所说的认识可能仅是在电视上或报告会上见过而已。 D虽然会议成员原来的熟人不多，但原来认识的都是至交。 抽屉原理 基础知识与经典例题抽屉原理模型：现在有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽

27、屉原理”。 关键在于构造合适的抽屉，根据题目要求将小球（苹果）放进去。知识点：将抽屉构造好后，开始铺被子（即每个抽屉一个，视为一层，每个抽屉两个，视为两层，以此类推），然后，观察剩余小球如何放置。与此同时，要注意抽屉的容量是否到达上限。 【例1】任意400人中至少有几个人的生日相同？A.2 B.3 B.35 D.36 【例2】在所有的自然数中，至少任意取几个不同的自然数，就能保证两个数的差是7的倍数？A.2 B.13 C.7 D.8【例3】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？A.6 B.14 C.9 D.12

28、【例4】小学生数学竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给1分，答错一题倒扣1分，若有1978人参加竞赛，问至少有多少人得分相同。 A.49 B.48 C.50 D.51【例5】五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在7595分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？A.3 B.4 C.21 D.33【例6】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几题？A.4题 B.8题 C.12题 D.16题【参考答

29、案】A【解析】方法一： 68+58+78-100×2，算尾数，选A。方法二：画图法【提醒】方法一原理：相当于求把68+58+78=204个苹果（做对204题次）放到100个抽屉（100道题）里面去，每个抽屉最多放三个苹果，放三个苹果的抽屉最少为多少个。显然，每个抽屉尽可能的放两个苹果，可以放200个苹果。多余的204-200=4个苹果必须也放4个抽屉，这4个抽屉，每个就有三个苹果。【例7】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，15题分别有80人，92人，86人，78人，和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？A.30 B.55

30、 C.70 D.74【参考答案】C【解析】方法一：正向思考。做对题的总人次是80+92+86+78+74=410，要使得通过考试的人最少，则没通过考试的人做对的题尽可能多，每人做对2道，可以做对2×100=200道，多出410-200=210，要使得通过考试的人最少，则通过考试的人做对的题尽可能多，210=70×3，所以至少有70人通过考试。方法二：逆向思考。总共做错500-410=90道题，要使得通过考试的人最少，则没有通过考试的人尽可能多，则没通过考试的每人做错题尽可能少90=3×30,100-30=70方法三：做对且仅做对1、2、3、4、5、0道题的人数各为

31、A、B、C、D、E、X，则有A+B+C+D+E+X=100A+2B+3C+4D+5E=80+92+86+78+74=410要使得C+D+E最小，则让B尽量大，则A=X=0，B+C+D+E=100，C+2D+3E=210，210=70×3方法四：通过画图进行理解和解答。 【例8】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，15题分别有80人，92人，86人，78人，和59人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？ A.65 B.66 C.67 D.68【参考答案】D【解析】方法一：正向思考。总做对人次80+92+86+78+59=395，39

32、5-100×2=195195=59×3+9×2通过考试的有59+9=68方法二：逆向思考。总做错题次500-395=105,100-59=41105=41×1+32×2则共有100-32=68人能通过考试方法三：设做对且仅做对1、2、3、4、5、0道题的人数依次为A、B、C、D、E、X，则A+B+C+D+E+X=100，A+2B+3C+4D+5E=80+92+86+78+59=395C+D+E尽可能小，则B得尽可能大，A、X取0则B+C+D+E=100，C+2D+3E=195=59×3+9×2,59+9=68【提醒】注意题中

33、陷阱。考试建议采用方法一，正向思考，更容易理解一些。练习一下：三亚举办军演，共有57支队伍参加，每支队伍至少参加一个项目，共有4个军演项目。有20支队伍没有参加打飞机，有30支队伍没有参加打坦克，40支队伍没有参加定点爆破，50支队伍没有参加建造沟壑铁丝网项目。问至少有多少支队伍参加了不止一个项目与至多有多少支队伍参加了不止一个项目的差值是多少？ A. 31 B. 12 C. 19 D. 20上题修改一下，又该怎么做？请思考：三亚举办军演，共有57支队伍参加，共有4个军演项目。有20支队伍没有参加打飞机，有30支队伍没有参加打坦克，40支队伍没有参加定点爆破，50支队伍没有参加建造沟壑铁丝网项

34、目。问至少有多少支队伍参加了不止一个项目与至多有多少支队伍参加了不止一个项目的差值是多少？【例9】一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？A.12人             B.14人              C.15人     &

35、#160;        D.16人【参考答案】C【例10】某班共有学生60人，其中有40人会游泳，45人会骑自行车，48人会打乒乓球，这三项运动都会的学生有22人，问这个班级最多有多少学生这三项运动都不会？ A.4 B.6 C.7 D.11【解析】方法一：三项运动都不会的最多，则会两项的最多。先把会三项的减掉40-22=18,45-22=23,48-22=26这样题目就和上题一样了，转化成求会两项的最多有多少。（18+23+26）/2=331余1有一个人会且只会一项运动。33个人会且只会两项运动，由于18、23、26能组合

36、成三角形，所以是可以实现的。三项都不会的有60-1-33-22=4方法二：令会且仅会1、2、3、0种运动的人各为A、B、T、X人，则A+B+T+X=60，A+2B+3T=133T=22，整理得A+B+X=38，A+2B=67，要使得X最大，则B尽可能大，B=33，A=1，X=4补充知识点：最不利原则，是指的在最差（最倒霉的情况下），有多少元素才能满足题目的要求。最不利原则的处理方法很简单，分为两种：平均取和极限取。平均取即每一类取一样多，极限取意味着某一类（最多的一类）全部取出，再取其他。对于简单题，可以直接判断是平均取，还是极限取，对于复杂题，可以既平均取，又极限取，取两者中更大的一个。注意

37、：特殊元素先取例：有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同?(2)四种花色都有?【例1】一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？A.4 B.6 C.7 D.9【参考答案】D【解析】此题平均取即可，那么1，2，3，4号各取2块，然后再取任意一块都会出现3块号码相同。【例2】有红、黄、绿三种颜色的袜子各6双，装在一个黑色布袋里，从袋子里任意取出袜子来，为确保至少有2双袜子不同颜色，则至少要取出的袜子只数是（） A15只 B13只 C12只 D10只【参考答案】A【解析】

38、此题应为极限取，即将一种袜子全部取出来，比如红色12只，然后黄色1只，绿色1只，于是14只之后，任取一只就实现2双袜子不同色，于是选A。【例3】在2011年世界产权组织公布的公司全球专利申请排名中，中国中兴公司提交了2826项专利申请，日本松下公司申请了2463项，中国华为公司申请了1831项，分别排名前3位，从这三个公司申请的专利中至少拿出多少项专利，才能保证拿出的专利一定有2110项是同一公司申请的专利？A. 6049 B. 6050 C. 6327 D. 6328【参考答案】B【解析】特殊元素先取，那么，华为1831单独取出来，然后中兴和松下平均取2109，得到1831+2109x2+1

39、=6050。从尾数法角度来看，尾数必须为0，也可以直接选B。【例3】某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球各5只，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球和6只另一种颜色的球，问最少必须从袋中取出多少只球?（）A. 13 B. 33 C. 35 D. 36【参考答案】D【解析】此题较为难，那么我们看平均取，则有5白+5黑+6红+6黄+6蓝+6绿=34，然后任取一个得到35，符合题目要求；再看极限取，则有5白+5黑+10红+5绿+5黄+5蓝=35，然后任取一个得到36，综合极限取和平均取，应该取更大值，所以选D。【例4】从1到100这10

40、0个自然数当中，至少取出多少个数才能确保有2个自然数相差8?A.55 B.53 C.52 D.49【参考答案】B【解析】先考虑最不利情况，即最多可以取多少能保证取得的数中，没有2个自然数相差8。1-8可以取出来，9-16则不能再取。所以，可以16个一组，取8个。100/16=64，最后这4个也可以取，总共可以取6×8+4=52在最不利情况下再取一只，必然能保证有2个自然数相差8。所以有52+1=53。课后练习1、某单位有78个人，站成一排，从左向右数，小王是第50个，从右向左数，小张是第48个，则小王小张之间有多少人?（ ）A.16 B.17 C.18 D.202、对中关村某影院10

41、0名观众进行的随机调查显示，喜欢 十月围城的有57人，同时喜欢十月围城和阿凡达的有45人，另外有16人表示这两部影片都不喜欢。请问在调查中表示喜欢阿凡达的观众应该为多少人？A.27 B.45 C.72 D.753、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？A.37 B.36 C.35 D.344、某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动

42、都喜欢？（    ）          A.5 B.6 C.7  D.85、高三文科班100名学生参加了5次测验，这五次测验及格率分别为94%，86%，67%，89%和65%，每个同学五次测验至少要有3次及格才不用参加寒假补习，则不用参加寒假补习的同学至少是多少人？( )A. 67 B. 68 C. 69 D. 706、有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至

43、少有多少人参加了不止一个项目？A7 B10 C15 D207、一个班里有50名学生，有32人会跳拉丁舞，有38人会跳肚皮舞，有40人会跳芭蕾舞，问至多有多少人会跳两种舞蹈？（ ）A.38人 B.40人 C.45人 D.50人8、某部门共有82人，其中男性62人，本省籍42人，不是本省籍的女性11人，则本省籍的男性人数有（  ）A33 B21 C22 D239、一个布袋里有大小相同，颜色不同的一些小球，其中红的10个，白的9个，黄的8个，蓝的2个，一次至少取多少个球，才能保证4个相同的颜色的（ ）A.12 B.13 C.14 D.1510、某大学生志愿者队伍下乡搞支援慰问活动

44、，已知该队伍中每20个大学生当中至少有13名女生，每25个大学生中至少有6个男生，该大学生志愿者队伍最多有多少名大学生（      ）？A.31 B.26 C.45 D.33第五讲 统筹与优化基础知识与经典例题【例1】某洗车店洗车分外部清洁和内部清洁，两道工序时间均不少于30分钟，而且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下辆车。现有辆车需要清洗，汽车进出洗车间的时间可忽略不计，则洗完辆车至少需要的时间为：A.330分钟 B.300分钟 C.270分钟 D.250分钟【参考答案】C【解析】洗一辆车需要60分钟。洗两辆车我们

45、也需要60分钟。洗甲、乙、丙三辆车我们可以按照如下操作进行： 甲1 乙1 30分钟 甲2 丙1 30分钟 乙2 丙2 30分钟由此可见，洗三辆车只需要90分钟，平均每辆车30分钟。因此，当车辆数大于等于2时，平均每辆车只需要30分钟。题目中洗9辆车，需要9×30=270分钟。练习一下：1、用一个平底锅煎饼，每次只能放两个饼，煎一个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎3个饼至少需要几分钟？（） A.3分钟 B.4分钟 C.6分钟 D.5分钟2、用一个平底锅煎饼，每次只能放两个饼，煎一个饼需要3分钟（假定正面需2分钟,反面需要1分钟），问煎3个饼至少需要几分钟？（） A.3分钟

46、B.4分钟 C.6分钟 D.5分钟【例2】A、B、C、D四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A谈完要18分钟，B谈完要12分钟，C谈完要25分钟，D谈完要6分钟。如果使四人留在这个单位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟? A.91分钟 B.108分钟 C.111分钟 D.121分钟【参考答案】D【例3】某公司要买100本便签纸和100支胶棒，附近有两家超市。A超市的便签纸0.8元一本，胶棒2元一支且买2送1。B超市的便签纸1元一本且买3送1，则胶棒1.5元一支，如果公司采购员要在这两家超市买这些物品，则他至少要花多少元钱? A. 183.5 B. 208.5 C. 225 D. 230【参考

47、答案】B【解析】统筹的目的很简单，就是实现尽量便宜，A超市胶棒相当于2/3元每只，B超市便签纸相当于3/4元每本，所以有3/4*100+4/3*99+1.5=208.5【例4】一个车队有三辆汽车， 担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要 7、9、4、10、6 名装卸工，共计 36 名；如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装却工就能完成装卸任务。那么在这种情况下，总共至少需要要（ ）名装卸工才能保证各厂的装卸需求？A.26 B.27 C.28 D.29【参考答案】A【解析】对于此类题目，有M辆汽车，而有N家工厂，那么，直接将需要人数最多

48、的前M家工厂需要的工人相加即可，即：10+9+7=26【提醒】如果把人全部放工厂，就需要五个数相加，如果我在三辆车上各安排1个人，则可以在五个工厂各减1个人，依次类推。减至只有三个工厂有人时，放车和工厂所需人数是一样的，此时所需人数取得最小值10+9+7=26。当工厂减少至少于三个工厂有人时，如果再减少工厂人数，则车上增加人数会更多。【例5】在一条公路上每隔100公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要运费（ &

49、#160;  ）。A.4500元 B.5000元 C.5500元 D.6000元【参考答案】B【解析】只要观察仓库两端哪端更重，放到哪段就运费更少。由于4010+20，所以放在五号仓库运费最少。需要运费：（10×4+20×3）×100×0.5=5000【提醒】原理：举例说明，对比三号仓库与四号仓库哪个更省，不管放到三号还是四号仓库，10吨货物一号到三号与20吨货物二号到三号这两段路程是少不了的，同样，40吨货物五号到四号仓库这段路程也省不了，有差别的就是三号与四号仓库之间这段。如果放到三号仓库，相当于要要搬动40吨货物从四号到三号；如果放到四号

50、仓库，就相当于要搬10+20=30吨货物从三号到四号。显然，放到四号比三号适合。【例6】某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组， 甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子)，则7天内这四个组最多可以缝制衣服（    ）。A110套          B115套      

51、  C120套      D125套【解析】这种题，让每个人都去做自己最擅长的事情即可。如果都做上衣，每天可以做8+9+7+6=30件，如果都做裤子，每天可以做10+12+11+7=40件。30+40=3:4衣服：裤子，甲=8:103:4；乙=9:12=3:4；丙=7:113:4；丁=6:73:4所以，让甲丁做衣服，丙做裤子，乙机动。甲丁7天可做衣服（8+6）×7=98件丙7天可做裤子11×7=77件则乙做3天衣服，4天裤子刚好。共可做衣裤98+3×9=125套【例7】小王和小刘手工制作一种工艺品，每件工

52、艺品由一个甲部件和一个乙部件组成，小王每天可以制作150个甲部件，或者制作75个乙部件；小刘每天可以制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。现两人一起制作工艺品，10天时间做多可以制作该工艺品（ ）件。A. 660 B. 675 C. 700 D. 900【解析】同例6一样，我们也只需要关注小王和小刘做什么效率最高，小王做甲乙的效率是2：1，小刘做甲乙的效率是5：2，将2：1看作是4：2，那么，4：2和5：2相比，显然小刘做甲更合适，那么小王做乙，小刘做甲，10天600个，小王做乙，10天750个，那么两人一共做600个工艺品，小王还剩下150个乙，而对于小王，一个乙可以换2个甲，于是拿出50个乙取换甲，得到100个甲，而且剩下100个乙，于是得到600+100=700。练习一下：1、甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月生产2700套，生产上衣和裤子的时间比是2：1，乙厂每月生产服装3600套,生产上衣和裤子的时间比3：2，若两个厂合作一个月，最多能生产服装多少套？A.5600 B.6700 C.6900 D.72002、 某制衣厂两个制衣小组生产同一规格的上衣和裤子，甲组每月18天时间生产上衣，12天时间生产裤子，每月生产600套上衣和裤子；乙组每月用15天时间生产上衣，15天时间生产裤子，每月生产600套上衣和裤子。如果两组合并，每月最多可以生产多少套上衣和裤子？ A.