正弦定理和余弦定理(共5页)

1、正弦定理和余弦定理高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，解决不同的三角形问题2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，

2、b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解难点正本疑点清源1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B；tanA+tanB+tanC=t

3、anA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换1 在ABC中，若A60°，a，则_.2 (2012·福建)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_3 (2012·重庆)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，b3，则c_.4 (2011·课标全国)在ABC中，B60°，AC，则AB2BC的最大值为

4、_5 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为()A2 B8C. D.题型一利用正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和边c.思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断探究提高(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则角A的大小为_题型二利用余弦

5、定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积思维启迪：由，利用余弦定理转化为边的关系求解探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用 已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例3(2012·课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a

6、cos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角 在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，试判断ABC的形状审题视角(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示(2)判断三角

7、形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角温馨提醒(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形(3)易错分析：方法一中由sin 2Asin 2B直接得到AB，其实学生忽略了2A与2B互补的情况，由于计算问题出错而结论错误方法二中由c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)不少同学直接得到c2a2b2，其实是学生忽略了a2b20的情况，

8、由于化简不当致误结论表述不规范正确结论是ABC为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值解后反思(1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2正、

9、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2Asin2Bsin2C2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明失误与防范1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012·广东)在ABC中，若A60°，B45°，BC3，则AC等于()A4 B2 C. D.2 (2011

10、83;浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos Absin B，则sin Acos Acos2B等于()A B. C1 D13 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形4 (2012·湖南)ABC中，AC，BC2，B60°，则BC边上的高等于()A. B. C. D.二、填空题(每小题5分，共15分)5 (2011·北京)在ABC中，若b5，B，sin A，则a_.6 (2011·福建)若ABC的面积为，BC2，

11、C60°，则边AB的长度等于_7 在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_.三、解答题(共22分)8 (10分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ，·3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值9 (12分)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b、c的值B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012·上海)在ABC中，若sin2Asin2B<sin2C，则ABC的形状是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定2 (2011·辽宁)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则等于()A2 B2 C. D.3 (2012·湖北)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b20acos A，则sin Asin Bsin C为()A432 B567C543 D654二、填空题(每小题5分，共15分)4 在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2